联考班一轮复习教案

第一部分第1章：集合与简易逻辑1.1集合要点梳理1．元素与集合（1）集合中元素的两个特性：确定性、互异性．（2）元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.（3）集合的表示方法有列举法、描述法和维恩（Venn）图法．（4）常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN＋或N*ZQRC2.集合间的关系eq\o(\s\up7(表示),\s\do5(关系))文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A⊆B，B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A中任意一个元素均为集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素AB空集空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A，∅B（B≠∅）3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A.夯基释疑1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}． （）（2）{1,2,3}＝{3,2,1}． （）（3）∅＝{0}． （）（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C. （）（5）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N. （）（6）若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁UP＝{2}． （）2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于 （）A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}3．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 （）A．1 B．3 C．5 D．94．已知集合M＝{x|（x－1）2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于 （）A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．题型剖析题型一集合的基本概念例1（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 （）A．3 B．6 C．8 D．10（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.跟踪训练（1）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为 （）A．0 B．1 C．2 D．3（2）若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.题型二集合间的基本关系例2（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 （）A．1 B．2 C．3 D．4（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m跟踪练习（1）设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有 （）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个（2）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.题型三集合的基本运算例3(1)已知全集为R,集合A＝,B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－6x＋8≤0))，则A∩（∁RB）等于 ()A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}（2）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.跟踪练习（1）设集合A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R|\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－3≤0))))，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B等于 （）A．{x|2<x≤3} B．{3} C．{2,3} D．{x|－1≤x<2}（2）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．题型四集合中的新定义问题【例4】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是 （）A．1 B．2 C．3 D．4跟踪练习设U为全集，对集合X，Y，定义运算“□”，满足X□Y＝（∁UX）∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X□（Y□Z）等于 （）A．（X∪Y）∪（∁UZ） B．（X∩Y）∪（∁UZ）C．[（∁UX）∪（∁UY）]∩Z D．（∁UX）∪（∁UY）∪Z易错警示典例：若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．方法与技巧1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．失误与防范1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩（∁UB）＝∅这五个关系式的等价性.1.2充分条件、必要条件要点梳理1．充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．（2）如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．夯基释疑1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）“x2＋2x－3<0”是命题． （）（2）“sin45°＝1”是真命题． （）（3）“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的必要不充分条件． （）（4）若α∈（0,2π），则“sinα＝－1”的充要条件是“α＝eq\f(3,2)π”． （）2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的 （）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的 （）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型剖析题型一充要条件的判定例1已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是 （）A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：；q：y＝f（x）是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA跟踪训练（1）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是 （）A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0（2）设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的 （）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型二充分条件与必要条件的应用例2函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点的充分不必要条件是 （）A．a<0 B．0<a<eq\f(1,2) C．eq\f(1,2)<a<1 D．a≤0或a>1跟踪训练（1）若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．（2）已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am（a>0），命题q：实数m满足方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．思想与方法：等价转化思想在充要条件中的应用典例：已知集合A＝{y|y＝x2－eq\f(3,2)x＋1，x∈[eq\f(3,4)，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．第二章：函数2．1函数及其表示基础知识1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应法则叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量．(2)函数的定义域、值域定义域：函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)函数的两个要素：定义域和对应法则．2．映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)＝eq\f(x2,x)与g(x)＝x是同一个函数． ()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等． ()(3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<5}． ()(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(1－x2)－1≤x≤1,x＋1x>1或x<－1))，则f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(1－x2)－1≤x≤1,－x＋1x>1或x<－1))． ()(5)函数f(x)＝eq\r(x2＋4)＋1的值域是{y|y≥1}． ()(6)函数是特殊的映射． ()2．函数y＝eq\r(x)ln(1－x)的定义域为 ()A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]3．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是 A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x4．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(g(π))的值为 ()A．1 B．0 C．－1 D．π5．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝eq\r(x－2)＋eq\r(2－x)是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ④函数的定义域和值域一定是无限集合．其中正确命题的序号有________．题型剖析题型一函数的概念例1有以下判断：f(x)＝eq\f(|x|,x)与g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x≥0,－1x<0))表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0．其中正确判断的序号是________．跟踪训练1(1)下列四个图象中，是函数图象的是 ()A．(1) B．(1)(3)(4) C．(1)(2)(3) D．(3)(4)(2)下列各组函数中，表示同一函数的是 ()A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2) B．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2C．f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)题型二求函数的解析式例2(1)如果f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于 ()A．eq\f(1,x)B．eq\f(1,x－1) C．eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f((3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)－1，则f(x)＝________．跟踪训练2(1)已知f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)满足2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝3x，求f(x)的解析式．题型三求函数的定义域例3(1)函数f(x)＝eq\f(ln2＋x－x2,|x|－x)的定义域为 ()A．(－1,2) B．(－1,0)∪(0,2) C．(－1,0) D．(0,2)(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x－10)的定义域为________．跟踪训练3(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋eq\f(1,2))＋f(x－eq\f(1,2))的定义域是________．(2)函数y＝eq\f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定义域为________________．题型四分段函数例4(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ()A．－3 B．－1 C．1 D．3(2)设函数y＝f(x)在R上有定义．对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤M，,M，fx>M，))则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为 ()A．2 B．1 C．eq\r(2) D．－eq\r(2)跟踪训练4已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1－1≤x<0，,－x＋10<x≤1，))则f(x)－f(－x)>－1的解集为 ()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1，－eq\f(1,2))∪(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．[－1，－eq\f(1,2)]∪(0,1)分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_____．方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集2．2函数的单调性基础知识1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ()(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数． ()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ()(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)． ()(6)函数y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的最大值为1． ()2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是 ()A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减3．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数f(x)＝eq\f(2x,x＋1)在[1,2]的最大值和最小值分别是________．5．函数y＝(2x2－3x＋1)的单调减区间为________．题型剖析题型一函数单调性的判断例1讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．跟踪训练1(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq\r(a)]上是减函数，在[eq\r(a)，＋∞)上是增函数；(2)求函数y＝eq\r(x2＋x－6)的单调区间．题型二利用函数的单调性求参数例2(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a>－eq\f(1,4) B．a≥－eq\f(1,4) C．－eq\f(1,4)≤a<0 D．－eq\f(1,4)≤a≤0(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x<1，,ax，x≥1，))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，那么a的取值范围是________．跟踪训练2(1)函数y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ()A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(axx>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2x≤1))是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)题型三函数的单调性和最值例3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．跟踪训练3(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥eq\f(1,2)时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为 ()A．2 B．3 C．4 D．－1(2)函数f(x)＝eq\f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，则a＋b＝_______函数单调性的应用典例：函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2．失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．2．3函数的奇偶性与周期性基础知识1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ()(4)若函数f(x)＝eq\f(x,x－2x＋a)为奇函数，则a＝2． ()(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2014)＝0． ()2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)等于 ()A．－2B．0 C．1 D．23．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋bA．－eq\f(1,3)B．eq\f(1,3) C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2015)等于 ()A．－2 B．2 C．－98 D．985．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．题型剖析题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(9－x2)＋eq\r(x2－9)；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0,0x＝0,－x2－2x<0))．题型二函数周期性的应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)等于 ()A．335 B．336 C．1678 D．2012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105．5)＝________．跟踪训练2(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于 ()A．－1B．1 C．－2 D．2(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))等于()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4) C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是 ()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则 ()A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)忽视定义域致误典例：(1)若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．失误与防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．2．4一次函数、二次函数与幂函数基础知识1．一次函数与二次函数的解析式(1)一次函数：y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．(2)二次函数 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．一次函数与二次函数的定义及性质函数名称一次函数二次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象k>0k<0a>0a<0b>0b>0b<0，c>0b>0，c<0定义域RR值域R[eq\f(4ac－b2,4a)，＋∞)(－∞，eq\f(4ac－b2,4a)]单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数在(－∞，－eq\f(b,2a)]上是减函数；在[－eq\f(b,2a)，＋∞)上是增函数在(－∞，－eq\f(b,2a)]上是增函数；在[－eq\f(b,2a)，＋∞)上是减函数3．常用幂函数的图象与性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a)． ()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数． ()(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)． ()(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数． ()(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±eq\f(\r(2),2)． ()(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2． ()2．eq\r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为 ()A．9 B．eq\f(9,2) C．3 D．eq\f(3\r(2),2)3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上 ()A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不经过原点，则实数m的值为________．题型剖析题型一二次函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．跟踪训练1(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．(2)若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．题型二二次函数的应用例2已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R．(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．跟踪训练2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．题型三幂函数的图象和性质例3(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 ()A．－3 B．1 C．2 D．1或2(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是 ()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2)))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞)) C．(－1,2) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2))跟踪训练3已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，eq\r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．分类讨论思想在函数中的应用典例：已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．失误与防范1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．5指数与指数函数基础知识1．根式的性质(1)(eq\r(n,a))n＝a(n>1，且n∈N＋)．(2)当n为奇数时eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa<0))．2．有理指数幂(1)幂的有关概念①正整指数幂：②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整指数幂：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N＋)．④正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a>0，m、n∈N＋，且eq\f(m,n)为既约分数)．⑤负分数指数幂：＝eq\f(1,)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m、n∈N＋，且eq\f(m,n)为既约分数)．(2)有理指数幂的运算法则设a>0，b>0，对任意有理数，α、β有aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα．3．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)(eq\r(4,－4))4＝－4． ()(2)(－1)＝(－1)＝eq\r(－1)． ()(3)函数y＝a－x是R上的增函数． ()(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)． ()(5)函数y＝2x－1是指数函数． ()(6)函数y＝(eq\f(1,4))1－x的值域是(0，＋∞)． ()2．若a＝(2＋eq\r(3))－1，b＝(2－eq\r(3))－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是 ()3．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则 ()A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．5．已知0≤x≤2，则y＝－3·2x＋5的最大值为________．题型剖析题型一指数幂的运算例1化简：(1)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),)(a>0，b>0)；(2)(－eq\f(27,8))＋(0．002)－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0．跟踪训练1(1)化简eq\r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得 ()A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y(2)(eq\f(1,4))·eq\f(\r(4ab－1)3,0.1－1·a3·b－3)＝________．题型二指数函数的图象、性质例2(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________．跟踪训练2(1)函数y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)的图象大致为 ()(2)若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________．题型三指数函数的应用例3(1)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|)．①若f(x)＝eq\f(3,2)，求x的值；②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．跟踪训练3设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝eq\f(3,2)，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．换元法解决与指数函数有关的值域问题典例：(1)函数y＝(eq\f(1,2))的值域是 ()A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞)(2)函数y＝(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________．方法与技巧1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．失误与防范1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．6对数与对数函数基础知识 1．对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质(1)N>0；(2)loga1＝0；(3)logaa＝1．3．对数的运算法则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMα＝αlogaM(α∈R)．4．两个重要公式(1)对数恒等式：＝N(2)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)．5．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数6．反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5． ()(2)2log510＋log50．25＝5． ()(3)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2． ()(4)log2x2＝2log2x． ()(5)当x>1时，logax>0． ()(6)当x>1时，若logax>logbx，则a<b． ()2．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ()A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c3．已知x，y为正实数，则 ()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，则不等式f()>0的解集为________________．题型剖析题型一对数式的运算例1(1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于 ()A．eq\f(9,4)B．eq\f(5,4) C．eq\f(10,3)D．eq\f(4,3)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))则f(f(1))＋f(log3eq\f(1,2))的值是 ()A．5 B．3 C．－1 D．eq\f(7,2)跟踪训练1已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥4，,fx＋1，x<4，))则f(2＋log23)的值为________．题型二对数函数的图象和性质例2(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是 ()(2)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f()，c＝f(0．2－0．6)，则a，b，c的大小关系是 ()A．c<a<bB．c<b<a C．b<c<a D．a<b<c跟踪训练2(1)已知a＝21．2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0．8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为 ()A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a(2)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________．题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．跟踪训练3已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[eq\f(1,2)，2]上的值域．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(1)设a＝0．50．5，b＝0．30．5，c＝log0．30．2，则a，b，c的大小关系是 ()A．a>b>c B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b(2)已知a＝，b＝，c＝(eq\f(1,5))，则 ()A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20．2)·f(20．2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是 ()A．b>a>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．3．失误与防范在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．2．7函数的图象基础知识1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换(3)伸缩变换夯基础释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同． ()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同． ()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称． ()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． ()(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象． ()(6)不论a(a>0且a≠1)取何值，函数y＝loga2|x－1|的图象恒过定点(2,0)． ()2．函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为 ()3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于()A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－14．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为 ()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x>m，,x2＋4x＋2，x≤m))的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ()A．(－∞，－1] B．[－1,2) C．[－1,2] D．[2，＋∞)题型剖析题型一作函数的图象例1分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1;(4)y＝eq\f(x＋2,x－1)．跟踪训练1作出下列函数的图象．(1)y＝sin|x|；(2)y＝eq\f(x＋2,x＋3)．题型二识图与辨图例2(1)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是 ()(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0,\r(x)，0<x≤1))，则下列函数的图象错误的是 ()跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝eq\f(1,lnx＋1－x)，则y＝f(x)的图象大致为 ()(2)把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是 ()A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1题型三函数图象的应用例3(1)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是 ()A．(0，eq\f(\r(2),2)) B．(eq\f(\r(2),2)，1) C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)(2)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为 ()A．3 B．2 C．1 D．0跟踪训练3(1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有 ()A．10个 B．9个 C．8个 D．1个(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例：函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象大致是 ()二、函数图象的变换问题典例：若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为 ()三、图象应用典例：已知函数y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．方法与技巧1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝eq\r(1－x2)的图象．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．失误与防范1．解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”；2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．2．8函数与方程基础知识1．函数的零点(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．(3)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0．3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)＝0，则c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)<0，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))；(3)若f(b)f(c1)<0，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2个1个0个夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0． ()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点． (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． ()(5)函数y＝2sinx－1的零点有无数多个． ()(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1<k<－eq\f(1,2)． ()2．函数f(x)＝2x|log0．5x|－1的零点个数为 ()A．1 B．2 C．3 D．43．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 ()A．(－eq\f(1,4)，0) B．(0，eq\f(1,4)) C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))5．________．题型剖析题型一函数零点的判断和求解例1(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 ()A．4 B．5 C．6 D．7(2)设函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)(x≠0)．当a>1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．跟踪训练1(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ()A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 ()A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个题型二二次函数的零点问题例2是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．跟踪训练2已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．题型三函数零点的应用例3若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．跟踪训练3已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1<x≤1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是 ()A．(1,5) B．(0，eq\f(1,5))∪[5，＋∞)C．(0，eq\f(1,5)]∪[5，＋∞) D．[eq\f(1,5)，1]∪(1,5]函数与方程思想的应用典例：已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．方法与技巧1．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．失误与防范1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．9函数的应用基础知识1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种函数模型的性质eq\o(\s\up7(函数),\s\do5(性质))y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：夯基释疑1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． ()(2)幂函数增长比直线增长更快． ()(3)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0． ()(4)美缘公司20XX年新上市的一种化妆品，由于脱销，在20XX年曾提价25%,20XX年想要恢复成原价，则应降价25%． ()(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利． ()(6)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)． ()2．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ()A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 ()4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是 ()A．118元 B．105元 C．106元 D．108元5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位