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文档简介
2023年高考数学模拟试卷
考生须知:
1,全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色
字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位,若z=l+ai,Zz=2»则实数"=()
A.一忘或夜B.-1或1C.1D.④
2.已知定义在R上的偶函数满足/(l+x)=/(l-x),当xe[0,l]时,/(%)=-x+1,函数g(x)=/T
(-1<^<3),则函数/(x)与函数g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()
A.2B.4C.5D.6
3.如图所示的程序框图,若输入。=4,b=3,则输出的结果是()
A.6B.7C.5D.8
4.抛物线;产「彩小我"小的焦点为产,准线为/,A,3是抛物线上的两个动点,且满足乙4用=7,设线段A3
的中点M在/上的投影为N,则上\M3N\的最大值是()
\AB\
A.3B.且C.在D.73
432
5.已知函数/0)=:—x(a>0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方,
则实数a的取值范围为()
A.B.(0,e)C,(e,+co)D.1I
6.在三棱锥。一ABC中,AB=BC=CD^DA^\,且43_13。,。。,94,用,"分别是棱8。,CO的中点,
下面四个结论:
①AC_L8O;
②MN//平面ABD;
③三棱锥A-CMN的体积的最大值为显;
12
④AD与8C一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是()
A.①②③B.②③④C.①④D.①②④
7.若xG(0,1),a=lnx,b=g),c=elnx,则a,b,c的大小关系为()
A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c
8.已知双曲线C:r-与=1(。>0力>0)的左、右焦点分别为K,F,,点尸是C的右支上一点,连接与y轴交于
a-b-
点若忻O|=2|OM|(。为坐标原点),尸耳_LP8,则双曲线C的渐近线方程为()
A.y=±3xB.y=±&C.y=±2xD.y=±42x
9.设点A(f,0),P为曲线y=,上动点,若点A,尸间距离的最小值为卡,则实数1的值为()
cIn2cIn3
A.y/5C.2+——D.2+—
22
10.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图,则下列说法中不正确的是()
与
I去
U年
同
8期
f相
t比
4增
K
T率
-
《
O卓
苏
南
东
江
宁
河
山
辽
》
1=>£!
A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B.与去年同期相比,该年第一季度的GDP总量实现了增长
C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
U.已知产是双曲线c:丘2+V=4k।a为常数)的一个焦点,则点F到双曲线c的一条渐近线的距离为()
2kB.4kC.4D.2
12./(x)=485(5+夕)(4>0,0>0)的图象如图所示,g(x)=-Asin(<yx-^),若将y=/(x)的图象向左平
移a(a>0)个单位长度后所得图象与y=g(x)的图象重合,则“可取的值的是()
7II
C.---71D.—n
12121212
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知过点。的直线与函数y=3'的图象交于A、B两点,点A在线段08上,过A作N轴的平行线交函数y=9'
的图象于。点,当8C〃x轴,点A的横坐标是
x>0
14.已知x,y满足约束条件<x+,则z=3x+2),的最小值为.
2x+y<2
15.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于
齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率
为.
fX-y-l>0
16.已知x,y满足约束条件卜+)-3SO,贝!Jz=2x-y的最小值为一
{2y+1>0
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆。马+1=1(a>0,。>0)的长轴长为4,离心率e=#
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,8分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点,户是椭圆C上在第一象限的一点,直线Q4与.V轴交于
点M,直线与x轴交于点N,问APMN与AR43面积之差是否为定值?说明理由.
18.(12分)已知函数F(x)=-4x3+x2+2a,G(x)=alnx,设/(x)=尸(尤)一G(x).
6
(1)当。=一3时,求函数/(X)的单调区间;
a+/3
(2)设方程/'(x)=c(其中。为常数)的两根分别为a,B〈a训,证明:<0.
2
(注:r'(x)是r(x)的导函数)
19.(12分)设/为抛物线C:V=4x的焦点,P,。为抛物线C上的两个动点,。为坐标原点.
(I)若点尸在线段PQ上,求|PQ|的最小值;
(II)当时,求点Q纵坐标的取值范围.
20.(12分)已知数列的前〃项和为S,,且满足a“=gs“+l(〃eN*).
(1)求数列仅“}的通项公式;
(2)若a=log?%,c“=#—,且数列{%}前〃项和为7“,求7”的取值范围.
21.(12分)已知数列{%}满足4M=2a,+2"M+l(〃eN)4=1,等差数列{6“}满足2+2〃=2〃一+4(〃=2,3,),
(1)分别求出{可},{0}的通项公式;
(2)设数列{4}的前”项和为S",数列'।〃-1+5什」的前〃项和为&证明:Tn<l.
Ot+l1g
n
22.(10分)已知函数f(x)=ac-(a+l)lnx+2(awR).
(1)讨论函数/(%)单调性;
(2)当a=—2时,求证:f[x)<ex-2x--.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
由题意得,zz=(l+az)(l-«z>l+«2,然后求解即可
【详解】
,:z=\+ai9.*•zz=+—由)=l+c『.又:zz=2,;・l+a?=2,;・a=±1.
【点睛】
本题考查复数的运算,属于基础题
2.B
【解析】
由函数的性质可得:/(x)的图像关于直线x=l对称且关于)’轴对称,函数g(x)=e+T(-1<X<3)的图像也关
于x=l对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线x=l对称,则/(x)与g(x)的图像所有
交点的横坐标之和为4得解.
【详解】
由偶函数/(x)满足/(1+力=/(1一切,
可得/(x)的图像关于直线x=1对称且关于>轴对称,
函数g(x)=e+T(-l<x<3)的图像也关于x=l对称,
-1L;
函数y=/(x)的图像与函数g(x)=e+T(-l<x<3)的图像的位置关系如图所示,
可知两个图像有四个交点,且两两关于直线x=l对称,
则/(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为4.
故选:B
【点睛】
本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.
3.B
【解析】
列举出循环的每一步,可得出输出结果.
【详解】
i—4,S=3,S〉"%?不成立,S=3?=9,i=4+l=5;
5>筋〃不成立,S=92=8Hi=5+l=6;
不成立,5=812=6561»i=6+l=7;
S>a2b2成立,输出i的值为7.
故选:B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.
4.B
【解析】
试题分析:设在直线/上的投影分别是4田,则|A耳=|胡|,忸月=忸4|,又M是43中点,所以
|.“v.|=21(l.⑨.1+1.网I.),则I舄wl=51.1/14号,1+1^1方|AF在|+|5F|由中
|AB|2=|AF|2+\BFf-2|AF||BF|cos^=\AFf+\BFf+\AF\\BF\(\AF\+\BF\)2-\AF\\BF\>(|AF|+|BF|)2
一(T\AF\^+\BFF\,M3+,|,,即「兀所但以目气+怛石尸产94即|4刊+忸K『273所以\MN\周£故选民
考点:抛物线的性质.
【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线
平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦A3的中点M到准线的距离首先等于
A8两点到准线距离之和的一半,然后转化为A,8两点到焦点户的距离,从而与弦长|AB|之间可通过余弦定理建立
关系.
5.B
【解析】
XXX
函数y=/(X)的图象恒在X轴的上方,幺一X>0在(0,+。)上恒成立.即J>x,即函数的图象在直线y=X
aaa
上方,先求出两者相切时a的值,然后根据。变化时,函数y=C的变化趋势,从而得。的范围.
a
【详解】
XX
由题“一无>0在((),+(»)上恒成立.即—>%,
aa
y=—的图象永远在y=X的上方,
a
设卜=《与〉=》的切点(小,%),贝人;,解得a=e,
—=尤0
a
易知。越小,y=C图象越靠上,所以()<a<e.
a
故选:B.
【点睛】
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系,考查转化与化归思想,首先函数图象转化为不等式恒成立,然后不等式恒
成立再转化为函数图象,最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值,然后得出参数范围.
6.D
【解析】
①通过证明AC_L平面OBO,证得AC_L8£>;②通过证明MN//BO,证得MN//平面液;③求得三棱锥
A-CWN体积的最大值,由此判断③的正确性;④利用反证法证得AO与一定不垂直.
【详解】
设AC的中点为0,连接。伐。力,则ACLQB,AC1OD,又OBOD=O,所以AC_L平面所以
AC_L80,故①正确;因为MN//BD,所以MN//平面A3。,故②正确;当平面ZMC与平面A8C垂直时,VA^CMN
最大,最大值为匕“N=X,ACM=」X'X受=",故③错误;若AO与BC垂直,又因为AB_L8C,所以BCL
平面河,所以又8D_LAC,所以50_L平面ABC,所以3£>_LQB,因为。B=OD,所以显然3。
与08不可能垂直,故④正确.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断,考查空间想象能力和逻辑推理能力,
属于中档题.
7.A
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】
VxG(0,1),
.,.a=/nx<0,
b=(—)lnx>(—)0=1,
22
0<c=e/nx<e°=l,
'.a,b,c的大小关系为b>c>a.
故选:A.
【点睛】
本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
8.C
【解析】
利用三角形与鸟尸相似得归浦=2归国,结合双曲线的定义求得。也c的关系,从而求得双曲线的渐近线
方程。
【详解】
设耳(―c,0),K(c,0),
由忻q=2|OM|,与APF/相似,
所以招={3=2,则叫=2|明,
又因为|P用-|帆|=2。,
所以|「耳|=4a,|尸鸟|=2",
所以4c2=16/+4/,即。2=5。2,〃=4",
所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.
故选:c.
【点睛】
本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。
9.C
【解析】
设P(x,e'),求|AP「,作为x的函数,其最小值是6,利用导数知识求『的最小值.
【详解】
设P(x,/),贝111Api2=(x—f)2+e21记g(x)=e2x+*_f)2,
g'(x)=2e2x+2(x-t),易知/")=202*+2。一,)是增函数,且g'(x)的值域是R,
二g'(x)=O的唯一解与,且x<x()时,g'(x)<0,x>x()时,g'(x)>0,即g(x)m"g(xo),
2x
由题意g(Xo)=/~+(%-/)2=6,而g'(Xo)=2/~+2(%-。=0,x0-t=-e°,
1c
.••e2%+e5=6,解得e22=2,x0=-y.
/=e2x°+/=2+(.
故选:C.
【点睛】
本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对毛和/的关系的处理是解题关键.
10.D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质,对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确,该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确;4632.1-(1+3.3%)«4484<4500.
故D项不正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别,考查学生的阅读能力、数据处理能力,属于中档题.
11.D
【解析】
分析可得k<(),再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】
当Z20时,等式收+y2=4|。不是双曲线的方程;当k<0时,依2+y2=4|右=-43可化为上--L=l,可得虚
—4k4
半轴长b=2,所以点尸到双曲线C的一条渐近线的距离为2.
故选:D
【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
12.B
【解析】
根据图象求得函数y=/(力的解析式,即可得出函数y=g(x)的解析式,然后求出变换后的函数解析式,结合题意
可得出关于“的等式,即可得出结果.
【详解】
由图象可得A=l,函数y=/(x)的最小正周期为7=4'(卷一?1=万2万
/.co———2
Tf
/惜卜cos(2喑++3仔+夕卜-1,
!JT-rr■rr
则---be=»+2左乃(AwZ),:,(p-+2k兀(keZ),取"=——,
666
/(X)=cos(2x-:],贝(Jg(x)=-sin^2x+^=cos^2x+^-^,
g(x)=/(x+a)=cos(2x+2a一高,2〃一看=整+2%万,可得好二•^+攵乃(攵£Z),
5万
当Z=0时,〃=
故选:B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数解析式,同时也考查了利用函数图象变换求参数,考查计算能力,属于中等题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.log32
【解析】
通过设出A点坐标,可得C点坐标,通过BC〃x轴,可得B点坐标,于是再利用人以=勺8可得答案・
【详解】
根据题意,可设点A(”,3"),则C(a,9"),由于8C〃x轴,故丘=兀=9",代入y=3l
可得4=2。,即B(2a,9"),由于A在线段OB上,椒3小,即贵=汇,解得
''a2a
a=log32.
14.2
【解析】
作出可行域,平移基准直线3x+2y=0到(0,1)处,求得二的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示,由图可知平移基准直线3x+2y=0至1](0,1)处时,z取得最小值为2.
本小题主要考查线性规划求最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
1
15.
3
【解析】
分析:由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解:由题意可知了,比赛可能的方法有3x3=9种,
其中田忌可获胜的比赛方法有三种:田忌的中等马对齐王的下等马,
田忌的上等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的中等马,
31
结合古典概型公式可得,田忌的马获胜的概率为2=§=§.
点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少
时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,
以及计数原理的正确使用.
16.-
2
【解析】
先根据约束条件画出可行域,再由y=2x-维示直线在y轴上的截距最大即可得解.
ix-y-1>0
X,y满足约束条件x+y-3S。,画出可行域如图所示.目标函数Z=2x-y,即v=2x-z.
\2y+l>0
平移直线v=2x-z,截距最大时即为所求.
(2y+1=0.1/、
=0点4
][3
Z在点A处有最小值:z=2x-+-=-,
222
故答案为:
7
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
17.(1)二+/=1(2)是定值,详见解析
4
【解析】
a=2
(1)根据长轴长为4,离心率e=@,则有<T求解•
2a2
a2-b2=c2
⑵设「(%,%)(%>0,%〉0),则4/2+为2=4,直线相:了=上山一1),令x=0得,yM=^~,则
/_1%一]
\BM\=\2-yM\,直线P8:y=小心x+2,令y=0,得龙”=二^,则14Vl=|1-/|,再根据
X2为一Z
S"MN一S居人!)=(^AMAN~^APAN)~(^MiAN~^tiPAN)=^AMAN~^ABAN求解♦
【详解】
a=2
c>/3
(1)依题意得〈——=—
a2
a2-b2=c2
a=2
解得《
b=i
2
则椭圆。的方程匕+¥=1.
4
2
(2)设P(%,y0)(x0>0,%>0),贝!14/2+y0=4,
直线PA:y="v(xT),
玉)T
令x=o得,yM=-
贝()忸闸=|2_%|=2+4,
工0一1|
直线PB:y=^2X+2,
X2
令.得v言
则|A7V|="XM=1+悬
,・SwMN~=(S&^V-SAP/W)—(SM/W-MXN~^&BAN
=^\AN\-\BM\=^
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,还考查了平面几何知识和运算求解的能力,属于中档题.
18.(1)/(x)在(0,3)上单调递增,在(3,+8)上单调递减.⑵见解析
【解析】
(1)求出导函数/(X),由/'(x)>0确定增区间,由/'(x)<0确定减区间;
(2)求出含有参数。的/‘(X),再求出尸(X),由/"(x)=c•的两根是//7,得a户=a,
计算广,(41£),代入。=皿后可得结论.
【详解】
解:f(x)=Fr(x)-G(x)=-1x2+2x-«Inx,函数的定义域为((),+“),
f'(x}=-x+2--=-r+2”-“
XX
2
(1)当a=-3时,/(X)=T+2x+3x—2x—3(x—3)(x+1)
XXX
由/'(x)>。得0<x<3,由/'(x)vo得光>3,
故函数/(x)在(0,3)上单调递增,在(3,+8)上单调递减.
(2)证明:由条件可得ra)=—x+2-x>o,.•..ru)=-i+4»
xX
方程/'(x)=c的两根分别为a,£(e<0,••J'(a)=c,且/'(0=c,可得a/?=a.
(4a=4邓=-。-外<0
7I2J(a+外(a+外g+尸产•
【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性,考查导数的运算、方程根的知识.在可导函数中一般由/'(*)>0确定增区间,由
r(x)<。确定减区间.
19.(I)4(II)(-00,-8][8,4W)
【解析】
(1)由抛物线的性质,当PQ,X轴时,|尸。|最小;(2)设点p(%,X),Q(w,%),分别代入抛物线方程和OPPQ=0
得到三个方程,消去孙吃,得到关于必的一元二次方程,利用判别式即可求出内的范围.
【详解】
解:(1)由抛物线的标准方程,P=2,根据抛物线的性质,当轴时,归。最小,最小值为2〃,即为4.
(2)由题意,设点尸(王,弘),。(孙%),其中
贝||y;=4玉,①%=4x2>②
因为。尸_LPQ,OP=(x,yJ,PQ=(x2-x],y2-yi),
所以OP-PQ=可(w_西)+x(%—y)=°•③
由①®③,得4+必必+16=0,
由MGR,且ywO,得A=y;-64N0,
解不等式,得点。纵坐标内的范围为(-A—8]」8,”).
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题,考查运算能力,此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能
力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等,易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解.
20.(1)。“=2"⑵Tneplj
【解析】
(1)由G=;S1+1,可求4,然后由〃..2时,%=,-5,1可得4,=241,根据等比数列的通项可求
1111
<2)由2=1啕4,=陛22"=〃,而孰=昕=而而=7一石,利用裂项相消法可求小
【详解】
(1)当〃=1时,<2|=—5|+1,解得q=2,
当〃..2时,a,i=gs,i+l…①
a“=gs"+l…②
a
②一①得an-=g4,,即n=2a“t,
,数列{4}是以2为首项,2为公比的等比数列,
an-2";
(2)bn=log2an=log,2"=n
.111__1_
,•C"她+i〃("+1)nn+\'
.T।1111111.1
・・T=1-----1---------1---------F...H------------=1---------,
〃22334nn+1〃+l
nwN*,〃:]£(0,g]
【点睛】
本题考查递推公式/=s“-s“T(几.2)在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数
与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
21.⑴4=〃2-1,勿=2〃(2)证明见解析
【解析】
(1)因为%”=2a“+2""+l(〃wN.),所以.+l=2a“+2"“+2(〃wN*),
所以竽^铝+i,即守-竽=1,又因为卬=1,
所以数列{铝}为等差数列,且公差为1,首项为1,
则与9=1+(〃-1)x1=〃,即。“=一2"-1.
设{。“}的公差为d,则包一b,i=2勿_1-2〃+4-b„_}=-2〃+4=",
所以%T=2〃―4+d(〃=2,3,…),则2=2(”+1)_4+4(neN,)»
所以4=2一4T=[2(〃
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