高中数学空间中的垂直关系

高中数学空间中的垂直关系2014高考导航考纲展示备考指南1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小．2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等.第2页,共41页，2024年2月25日，星期天本节目录教材回顾夯实双基考点探究

讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关第3页,共41页，2024年2月25日，星期天教材回顾夯实双基1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任何第4页,共41页，2024年2月25日，星期天(2)直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的_________都垂直，则该直线与此平面垂直相交直线l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂α，b⊂α第5页,共41页，2024年2月25日，星期天(2)直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也_____这个平面垂直a∥ba⊥α第6页,共41页，2024年2月25日，星期天(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线_________平行a⊥αb⊥α第7页,共41页，2024年2月25日，星期天2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直垂线l⊥αl⊂β第8页,共41页，2024年2月25日，星期天(2)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于______的直线垂直于另一个平面交线α⊥βl⊂βl⊥a

α∩β＝a第9页,共41页，2024年2月25日，星期天3．线面角和二面角的概念(1)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.第10页,共41页，2024年2月25日，星期天(2)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_____________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．两个半平面垂直于棱第11页,共41页，2024年2月25日，星期天课前热身1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(

)A．平行B．垂直但不相交C．异面D．相交但不垂直答案：B第12页,共41页，2024年2月25日，星期天2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(

)A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β答案：B第13页,共41页，2024年2月25日，星期天3．(教材习题改编)△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是__________．答案：4第14页,共41页，2024年2月25日，星期天4．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤

(2)②⑤第15页,共41页，2024年2月25日，星期天考点探究讲练互动例1第16页,共41页，2024年2月25日，星期天【解】

(1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，故AB⊥PH.∵PH为△PAD中AD边上的高，故AD⊥PH.∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.第17页,共41页，2024年2月25日，星期天第18页,共41页，2024年2月25日，星期天(3)证明：如图，过E作EG∥AB交PA于G，连接DG.∵E为PB的中点，∴G为PA的中点．∵DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，∴DG⊥PA.第19页,共41页，2024年2月25日，星期天第20页,共41页，2024年2月25日，星期天【名师点评】

(1)在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化．(2)解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理．第21页,共41页，2024年2月25日，星期天跟踪训练第22页,共41页，2024年2月25日，星期天证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.第23页,共41页，2024年2月25日，星期天由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.第24页,共41页，2024年2月25日，星期天例2第25页,共41页，2024年2月25日，星期天【证明】

(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.第26页,共41页，2024年2月25日，星期天因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.第27页,共41页，2024年2月25日，星期天【名师点评】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造．第28页,共41页，2024年2月25日，星期天跟踪训练2.(2011·高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.第29页,共41页，2024年2月25日，星期天证明：(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.第30页,共41页，2024年2月25日，星期天(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.第31页,共41页，2024年2月25日，星期天例3第32页,共41页，2024年2月25日，星期天【解】

(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.第33页,共41页，2024年2月25日，星期天(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC.因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.第34页,共41页，2024年2月25日，星期天【名师点评】解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．第35页,共41页，2024年2月25日，星期天第36页,共41页，2024年2月25日，星期天2．证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥