2020-2021学年丽水市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年丽水市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.如图图形中，是中心对称图形的是（）

2.二次函数y=3/-刀一4的二次项系数与常数项的和是（）

A.1B.—1C.7D.—6

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线。4过点（2,1）,直线04与x轴的

夹角为a,贝！Itana的值为（）

A.在

5

C.2

D.V5

4.下列说法中正确的是（）

A.“任意画一个三角形，其内角和为360。”是随机事件

B.在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值

C.检测一批灯泡的使用寿命，采用全面调查

D.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投十次可投中6次

5.抛物线丁=一（无一2产+1的顶点坐标为（）

A.（-2,1）B.（2,-1）C.（1,2）D.（2,1）

6.已知一矩形的周长是24cm,相邻两边之比是1：2,那么这个矩形的面积是（）

A.24cm2B.32cm2C.48cm2D.128cm2

7.如图，小，2、G两两相交于4、B、C三点，它们与y轴正半轴分别交于点D、E、F,若4、B、C三

点的横坐标分别为1、2、3,且OO=OE=1,则下列结论正确的个数是（）

=p®S^ABC=1,③。尸=5,④点B的坐标为(2,2.5)

A.1个

8.如图，在△4BC中，ZC=90°,AC=12,4B的垂直平分线E『交4c于点

D,连接BD,若COSNBOC=5，则BC的长是（）

A.10

B.8

C.4V3

D.2V6

9.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.3%2—2xy—5y2=oB.x2—4x—5=x2

C.（%2+5）x=0D.%2+2%=0

10.下列图形中对称轴的数量小于3的是（）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如图，在平面直角坐标系中，菱形A8C0的顶点4在x轴负半轴上，顶点B在不轴正半轴上.若抛

物线y=ax2-5ax+4（a>0）经过点C、D,则点B的坐标为.

12.上表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，以命中率（投进球数与投球次数的比值）来比较投球成绩

的好坏，得知他们的成绩一样好，下面有四个a、b的关系式：①a-b=5；②a+b=18；③a：

的人物是三国以后的人物的概率是.

14.已知，在菱形力BCD中，4ABe=120。，对角线BD将菱形4BCD分成2个三角形，点E、F将对角

线三等分，BD=12,点P在菱形力BCD的边上（含顶点），则能够满足PE+PF=11的点P的

个数有个.

16.如图，在MBCD中，对角线AC、BC相交于点。.如果48=8,AC=14,BD=x,那么x的取值

范围是.

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

17.如图，在正方形4BCD中，E是4D上一点，F是B4延长线上的一

点，AF=AE.

(1)求证：△力BE三△4DF；

(2)线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使AABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

19.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△2BC的三个顶点均

在格点上，请按要求完成下列各题：

(I)在网格中画出oABCD；

(II)线段AC的长为,CC的长为,4。的长为二ACD

为三角形，必BCD的面积为.

20.嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照，现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如图所

不：

牌照末尾数字567

数量(个)112

(1)嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率为；

(2)请列表或用树状图的方法求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率.

21.已知抛物线y=ax?+(i_2a)x+c(a,c是常数，且a。0),过点(0,2).

(1)求c的值，并通过计算说明点(2,4)是否也在该抛物线上；

(2)若该抛物线与直线y=5只有一个交点，求a的值；

(3)若当0WXW2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围.

22.十字相乘是重要的等式变形方法，在高中学习中有着广泛的应用，请解决下列问题：

(1)甲、乙两人在对二次三项式/+px+q进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解结果为Q—

2产，乙看错了常数项，分解结果为2)(x-3),写出准确的二次三项式；

(2)分解因式：3/一5X一2；

(3)若"+町,一2y2=0,求代数式要著詈的值•

23.已知抛物线的顶点是(4,2),且在％轴上截得的线段长为8,求此抛物线的解析式.

24.如图在△力B。中，以。为圆心，以。4为半径作。0,交OB于D,连接AD,Z0=2^BAD.

(1)求证：力B与。0相切.

(2)取04上一点E,连接。E,若乙4DE=45。，求证：AB=BD+AE.

(3)在(2)的条件下，若E是。4的中点，BD=2,延长DE交。。于凡求DF的长.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：4、不是中心对称图形，故此选项错误；

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

。、是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

根据中心对称图形的概念求解.

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.答案：B

解析：

此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉

符号.

根据二次函数的解析式可得二次项系数与常数项，再相加即可.

解：二次函数丫=3/一%一4的二次项系数是3,常数项是一4,

•・,-4+3=—1,

故选：B.

3.答案：B

解析：解：过点C(2,l)作COlx轴于C,如图所示：

则OD=2,CD=1,

在RtAOC。中，tana=^=才,一丈

故选：B.

过点C(2,l),作CD_L无轴于D,则。。=2,CD=1,由三角函数定义即可得出答案.

本题考查了三角函数定义、坐标与图形性质；作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

4.答案:B

解析：解：4、“任意画一个三角形，其内角和为360。”是不可能事件，故错误，不符合题意；

8、在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确，符合题意；

C、检测一批灯泡的使用寿命，因范围广宜采用抽样调查，故错误，不符合题意；

。、己知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投十次可能投中6次，故错误，不符合题意；

故选：B.

利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确的选项.

本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机

会大也不一定发生，机会小也有可能发生.

5.答案：D

解析：解：•.•抛物线解析式为y=—(x—2)2+i,

抛物线的顶点坐标为(2,1),

故选：D.

利用抛物线顶点式y=a(x-九)2+k的顶点坐标为(八次)，即可求得答案.

本题考查了二次函数的性质，记住抛物线顶点式顶点坐标公式是解决问题的关键.

6.答案：B

解析：解：设长为xcm,宽为ycm.

「一矩形的周长是24cm,

:.2(%+y)=24,

--x+y=12,

•••相邻两边之比是1：2,

•••x=8cm、y=4cm,

二面积S=xy=8x4=32cm2.

故选8.

根据矩形的性质，两对边相等，可以求出相邻两边的和，进而求出各边的长度，根据面积公式求解

即可.

本题考查矩形的性质，由很多个小的知识点组合而成，求解长宽即可求得面积.

7.答案：C

解析：解:①如图，,••0E〃44'〃CC',且04=1,0C'=3,

:.-EA=-O-A-i=—1,

EC0C'3

故①正确；

②设过点B且与y轴平行的直线交4c于点G(如图)，贝IJS-BC=SMGB+SABCG，

VDE=1,0A'=1,

,e,S^AED=-xlxl=-,

VOE//AA,//GB,,0Af=4的,

:.AE=AG,

AGB且/目彳以比=1,

・•・△i4FD=AAGB,

c—1

“ABG~2f

同理得：G为/C中点，

**,S&ABG=S&BCG=2f

**•S^ABC=1，

故②正确；

③由②知：△AEDNA/GB,

.・.BG=DE=1,

・・・BG//EF,

・•.△BGC~>FEC,

/.—BG=—CG=—1,

EFCE3

EF=3,即OF=5,

故③正确；

④易知，点B的位置会随着点4在直线x=1上的位置变化而相应的发生变化,

故④错误；

故选：C.

①如图，由平行线等分线段定理（或分线段成比例定理）易得：笠=黑=全

②设过点B且与y轴平行的直线交AC于点G,贝IJSA4BC=SA4GB+SABCG，易得：S“ED=3,△ZEDM

4GB且相似比=1,所以，△AED三△4GB,所以,SA4GB=：，又易得G为居中点，所以,S-GB=SABGC=

p从而得结论；

③易知，BG=DE=1,又XBGC-4FEC,列比例式可得结论；

④易知，点B的位置会随着点A在直线x=l上的位置变化而相应的发生变化，所以④错误.

本题考查了图形与坐标的性质、三角形的面积求法、相似三角形的性质和判定、平行线等分线段定

理、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力.考查学生数形结合的数学思想方法.

8.答案：D

解析:

本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解

题的关键.

设CD=5x,BD=7x,则BC=2显x，由AC=12即可求x,进而求出BC；

解：vZC=90°,COS/.BDC=I，

设CD=5x,BD=7x,

BC=2>[6xi

•••4B的垂直平分线E尸交4c于点D,

・•・AD=BD=7x,

:.AC=12%,

••AC=12,

AX=1,

.・.BC=2A/6;

故选：D.

9.答案：D

解析：解析：解答本题应按一元二次方程的定义求解即可，即只含一个未知数，并且含未知数的最

高次数是二次的方程是一元二次方程.

解：

-29-5，=0,是含两个未知数的方程，故此选项错误；

i2

B.x-4x-5=x,化简后未知数的最高次数是1次，故此选项错误；

C.(%2+5)X=0,化筒后，未知数的最高次数是3次，故此选项错误；

D.j^+2x=0,符合一元二次方程的定义，故正确.

故选。.

10.答案：D

解析：解：4有4条对称轴，故此选项不合题意；

8.有4条对称轴，故此选项不合题意；

C.有4条对称轴，故此选项不合题意；

。.有1条对称轴，故此选项符合题意；

故选：D.

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴

对称图形的定义进行解答即可.

此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可

重合.

11.答案：(2,0)

解析：【试题解析】

解：：抛物线y=aM-5ax+4,

该抛物线的对称轴是直线％=|,点。的坐标为：(0,4),

:.OD-4,

・.・抛物线〉=Q%2—5Q久+4(a>0)经过点c、D,CD//AB,

CD=-x2=5,

2

:.AD=5,

TZ.AOD=90°,0。=4,AD=5,

・・・AO=y/AD2-OD2=V52-42=3，

•・•AB=5,

・,.OB=5—3=2,

・,•点8的坐标为(2,0),

故答案为：(2,0).

根据抛物线丫=。/-5必+49>0)经过点。、。和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线

的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得力。的长，从而可以求得OB的长，进

而写出点B的坐标.

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题

意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

12.答案：②③④

解析：解：•.•命中率相同，

.Y=且

1518

a=12.

b=18—12=6.

a—b=12—6=6,故①错误.

a+b=12+6=18,故②正确.

a：b=12：6=2：1,故③正确.

a：18=12：18=2：3,故④正确.

故答案为：②③④.

根据甲乙的命中率相同可求出Q的值，进而求出b的值，可判断：①Q-b=5；②Q+匕=18；③a：

b=2：1；（4）a：18=2：3.四个关系式哪些正确.

本题考查理解题意的能力，关键是根据命中率求出a和b的值，然后判断四个关系式的正误即可.

13.答案：|

解析：解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，三国以后的人物的3人.

.•.在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为三国以后的人物的概率|,

故答案为|.

先找出三国以后的人物，然后依据概率公式计算即可.

本题主要考查的是概率公式，在上述5人中，确定出三国以后的人物人数是解题的关键.

14.答案：0

解析：解：作点E关于40的对称点口，连接EF交4。与点P,连接49，EE',作E'K垂直于4C于点K,

•・•^LABC=120°,

・•・/,BAD=60°,Z.DAC=-Z-BAD=30°,

2

•:BD=12,

1

••・DO=-BD=6,

2

•••AD=BD=12,AO=V3BO=66，AC=2AO=126，

•••AE=EF=FC=-AC=4后

3

・・・AE=AE\乙E'AE=2^DAO=60°,

••.△EZE为等边三角形，K为4E中点，KE=\AE=273,

KE'=WKE=6，KF=KE+EF=6A/3，

在RtAE'KF中，由勾股定理得，

E'F=y/E'K2+KF2=12，

•••PE+PF的最小值为12.

12>11,

•••不存在满足PE+PF=11的点P.

故答案为：0.

先作点E关于4。的对称点E',连接EF交4。与点P,求出PE+PF的最小值，再求出P与4重合及P与。

重合时PE+P尸的值判断4D边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解.

本题考查菱形与最值问题.熟练掌握求四边形中的最值问题为解题关键.

15.答案：（一1,—2）

解析：解：•・•点4与B关于原点对称，

B点的坐标为（-1,一2）.

反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握.

16.答案：2cx<30

解析：试题分析：根据平行四边形的性质求出。4OC,根据三角形的三边关系定理得到48-。力<

^x<AB+OA,代入求出即可.

vABCD是平行四边形，AB=8,AC=14,

111

OA=-2AC=7,2OB=-B2D=-x,

・・・8-7<"V8+7,即2VXV30.

故答案为：2<x<30.

17.答案：证明：⑴•・•四边形48CD是正方形,

:.AD=AB,AFAD=Z.EAB=90°,

在与△ADF中，

(AB=AD

\AEAB=Z.FAD,

VAE=AF

ADF(SAS).

(2)延长BE交。尸于G,如图，

ABE^is.ADF,

•••BE=DF,Z.ABE=Z.ADF,

vAAEB=乙DEG,4BAE=90°

•••/.ABE+^AEB=^ADF+乙DEG=90°,

4DGE=90°,

即BE1DF.

故BE=DF且BE1DF.

解析：⑴根据正方形的性质得出AD=4B,^FAD=^EAB=90°,根据SAS即可推出答案.

(2)延长BE交DF于G,根据全等三角形的性质得BE=OF,/.ABE=AADF,得到乙4BE+〃EB=

^ADF+Z.DEG=90°,即BE1DF,所以BE=DF且BE1DF.

本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能正确运用性质

进行推理是解此题的关键.

18.答案：解：⑴

・•・OB=1,

•・•OC=20B=2,

AC(-2,0),

Rt△ABC^p,tanZ-ABC=2,

ACc

・•・一=2,

BC

AC0

y=2,

-AC=6,

・・・4(—2,6),

把4(一2,6)和8(1,0)代入旷=-x2+bx+c得：｛］：~

解得邛=：3,

lc=4

•,・抛物线的解析式为：y=-/一3x+4；

(2)①•”(-2,6),B(1,O),

易得AB的解析式为：y=-2x+2,

设P(x,—/-3x+4),则E(x,-2x+2),

"PE=-2DE,

一42—3x+4一(-2x+2)=—(-2%+2),

x=1(舍)或一1,

•••P(-l,6)；

②在直线PD上，且P(-l,6),

设

2

AAM=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6>，

BM2=(1+1产+/=4+y2,

AB2=(1+2>+62=45,

分三种情况：

i)当N4MB=90。时，^AM2+BM2=AB2,

.-1+(y-6)2+4+V=45,

解得：y=3土V1T,

M(-1,3+VTT)或(一1,3-VTT)；

it)当ZABM=90。时，有AB?+BM2=AM2,

・・・45+4+y2=i+(y-6产

y=-1,

：•M(—1,—1),

iii)当N84M=90。时，^AM2+AB2=BM2,

・•・1+(y-6y+45=4+y2,

13

y=3，

综上所述，点M的坐标为：M(-1,3+VH)或(一1,3-dil)或(一1,一1)或(一1,孩).

解析：(1)先根据已知求点4的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

(2)①先得2B的解析式为：y=-2x+2,根据PD1X轴，设P(x,_3x+4),则E(x,—2x+2),

根据PE=^DE,列方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：△4BM为直角三角形

时，分别以力、B、”为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.

此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，

直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用.

19.答案：2遥遥5直角10

解析：解：(I)如图，平行四边形4BCD即为所求作.

(H')AC=y/22+42=2>/5，CD=V22+I2=V5>AD=A/32+42=5，△ACC是直角三角形，平行

四边形ABCD的面积=V5X2V5=10，

故答案为：2遍，V5,5,直角，10.

(I)根据平行四边形的定义画出图形即可.

(11)利用|勾股定理，数形结合的思想解决问题即可.

本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

20.答案：;

解析：解：(1)一共有四个牌照，四种等可能结果，其中末尾数字是6的只有一种等可能结果，所以P(

摇到牌照末尾数字是6)=i；

故答案为：

4

(2)将这四个牌照编号，末尾数字为5的记为a,末尾数字为6的记为b,末尾数字为7的分别为J,。2,

列表如下：

abRQ

(a,b)(a,q)(a,c2)

a

b(b,a)(瓦q)也c2)

J(q,a)G，b)G，C2)

Q©，a)©/)(C2，C1)

一共有12种等可能结果，其中末尾数字正好差1有六种等可能结果，

所以P(末尾数字正好差1)=今

(1)直接根据概率公式计算即可；

(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的情况数,

然后根据概率公式即可得出答案.

本题主要考查了列表法和树状图，概率公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题.

21.答案：解：(1)•:抛物线、=&/+(1-2(1汝+。(见£：是常数，且a。。)，过点(0,2),

-c=2,

•••抛物线y=ax2+(1-2a)x4-2,

当％=2时，y=4Q+2(1—2a)+2=4a+2—4a+2=4,

即点(2,4)在该抛物线上；

(2)•.•抛物线y=ax2+(1-2d)x+2,该抛物线与直线y=5只有一个交点，

.4ax2-(l-2a)2__

4a

解得，a=*,

2

即a的值是3或士更；

22

(3)・・・当04工工2时，y随汇的增大而增大，抛物线y=a/+(i—2a)%+2,

Aa<0,—>2,

2a

解得，a>—p

即a的取值范围是一3Wa<0.

解析：(1)根据抛物线y=a/+(i-2a)x+c(a,c是常数，且aR0),过点(0,2),可以得至k的值,

然后将x=2代入抛物线解析式，即可得到y的值，从而可以判断点(2,4)是否也在该抛物线上；

(2)根据该抛物线与直线y=5只有一个交点，可知该抛物线顶点的纵坐标是5,从而可以求得a的值；

(3)根据当0<%<2时，y随x的增大而增大，可知a<0,该抛物线的对称轴-啜22,从而可以

求得a的取值范围.

本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函

数的性质解答.

22.答案：解：(1)(x-2)2=/-4%+4,(x-2)(x-3)=x2-5x+6,

又•••甲看错了一次项系数，分解结果为-2产，乙看错了常数项，分解结果为。一2)。-3),

•••p=—5,q=4,

••・准确的二次三项式为/一5%+4；

(2)3X2-5X-2,

1-2

X

—6+1=-5

・♦・3%2—5%—2=(%—2)(3%+1)；

(3)v%24-xy-2y2=o,

-(%+2y)(x-y)=0,

・•・x+2y=0或％—y=0,

・•・x=_2y或x=y,

当__2V时2M+3盯+V_(2%+y)(x+y)_[2(_2y)+y]Q-2y+y)_3y2_1

二,'x2-2xy+y2(x-y)2(-2y-y)29y23’

当％=y时，爱瑞箓没有意义，

故代数式誓需的值端

解析：(1)根据题意得，甲看到的常数项是4,乙看到的一次项系数是-5,据此可得到准确的二次三

项式；

(2)运用十字相乘法进行因式分解即可；

(3)运用十字相乘法解方程/+町,一2y2=0,得到x与y的关系式，代入代数式求解即可.

此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.

23.答案：解：根据题意得抛物线的对称轴为直线％=4,

而抛物线在*轴上截得的线段长为8,

所以抛物线与％轴的两交点坐标为(0,0),(8,0),

设抛物线解析式为y=ax(x-8),

把(4,2)代入得。・4・(-4)=2,解得a=一；,

O

所以抛物线解