湖南省邵阳市太平中学高三数学文联考试卷含解析

湖南省邵阳市太平中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，若，则的形状是A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角形参考答案：B2.已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为

（

）（A）（B）

（C）

（D）

参考答案：A，由所以当时，；当时，；所以要使的解集中有且只有一个正整数，需，选A.

3.已知向量，，若，则

满足的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.下列有关命题的说法正确的是（） A． 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” B． “x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C． 命题“对任意x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“存在x∈R使得x2﹣x+1＜0” D． 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题参考答案：考点： 命题的真假判断与应用．专题： 综合题．分析： 根据否命题的定义，写出原命题的否命题，比照后可判断①；根据充要条件的定义，判断“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的充要关系，可判断②；根据全称命题的否定方法，求出原命题的否定命题，可判断③；根据三角函数的定义，可判断原命题的真假，进而根据互为逆否命题的真假性相同，可判断④；解答： 解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；“x=6”时，“x2﹣5x﹣6=0”成立，但“x2﹣5x﹣6=0”时“x=6或x=﹣1”，“x=6”不一定成立，故“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“对任意x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“存在x∈R使得x2﹣x+1≤0”，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”为真命题，故命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题也为真命题，故D正确；故选D点评： 本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题，全称命题的否定，是命题与逻辑的综合应用，难度不大，属于基础题．5.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧（左〉视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm3)A.

B.C.

D.参考答案：A6.已知公比不为1的等比数列的首项为1，若成等差数列，则数列

的前5项和为(

)

A.

B.

C.121

D.31参考答案：A7.如图，矩形的长为，宽为2，以每个顶点为圆心作4个半径为1的扇形，若从矩形区域内任意选取一点，则该点落在阴影部分的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()（A）

(B)

（C）

(D)

参考答案：B9.某人向一个边长为2的正方形盘面上均匀地撒了400粒大米，其中落在该正方形的内切圆里有314粒，据此可估计圆周率的值约为（ ） A.2 B.3 C.3.14 D.4参考答案：C10.

设集合，，则=A.

B.

C.

D.U参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的值为

。参考答案：12.已知实数x，y满足则z=的取值范围为

．参考答案：[]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是

参考答案：a<314.在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿参考答案：15.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________。参考答案：1416.双曲线的两条渐近线方程为．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想17.过双曲线：的右顶点A作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为

▲

；参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）设抛物线M方程为，其焦点为F，P（（为直线与抛物线M的一个交点，（1）求抛物线的方程；（2）过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．

参考答案：解：（1）

（舍去）

--5分

（2）若直线的斜率不存在，则Q只可能为，此时不是等边三角形，舍去，--7分若直线的斜率存在，设直线的方程为（），设直线与抛物线的交点坐标为A（）、B（）

，设存在，，设Q到直线的距离为有题意可知：---10分

由①可得：------③③代入②得：，化简得：----14分，为所求点-----15分19.

本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，平面//，，，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面.参考答案：证明：（Ⅰ）连接.因为//,//所以//……………2分又所以四边形是平行四边形所以//…4分又平面，平面

所以//平面．…………6分（Ⅱ）取的中点,连接,则.又//，故四边形是平行四边形.所以所以是直角三角形，所以⊥…………8分又所以⊥

………11分又,,所以………12分20.直线与曲线交于A，B两点，A与B的中点N横坐标为2.（1）求曲线C的方程；（2）过A，B两点作曲线C的切线，两切线交于点E，直线NE交曲线C于点M，求证：M是线段NE的中点.参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）设，求出，即得曲线C的方程；（2）先求出两切线方程，再求出，求出直线NE的方程为，与抛物线方程联立可得由，可得M是线段NE的中点.【详解】（1）设，则，于是直线AB的斜率所以曲线C的方程为.（2）抛物线在点处的切线方程为：，整理得：，同理：抛物线在点处的切线方程为：联立方程组解得：解得：，即而，所以直线NE的方程为：;与抛物线方程联立可得由，可得M是线段NE的中点.【点睛】本题主要考查抛物线的方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握和分析推理能力.21.（本小题满分10分）在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。（1）求证：；

（2）若AC=3，求的值。参考答案：（1）， ～， 又 （5分）

（2） ～，

（5分）22.已知函数f（x）=ln（x+1）﹣，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；

（Ⅱ）证明：＜ln（1+）＜，n∈N+．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对a分类讨论求得函数零点的个数，（Ⅱ）取a=2或a=，由（1）知函数单调性，即可证明．【解答】证明：（Ⅰ），解f′（x）=0得x=0，或x=a2﹣2a①a=1时，，若x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，若x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点，②1＜a＜2时，﹣1＜a2﹣2a＜0，x（﹣1，a2﹣2a）a2﹣2a（a2﹣2a，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗

↘

↗由上表可知，f（x）在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点x=0，f（a2﹣2a）＞f（0）=0，又，任取，，f（x）在区间（t，a2﹣2a）有一个零点，从而f（x）有两个零点，③a=2时，，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，有一个零点x=0，④a＞2时，a2﹣2a＞0，x（﹣1，0）0（0