山东省淄博市临淄区梧台镇中学高三数学理联考试题含解析

山东省淄博市临淄区梧台镇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是虚数单位，和都是实数，且，则（

）A．B．C．D．参考答案：D

【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4因为和都是实数，且，所以可得：，解得，所以，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出和的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简．2.已知全集，则集合（

）A．

B．C．

D．参考答案：A试题分析：因为=，所以；故选A．考点：集合的交、并、补集运算．3.已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是A.

B.C.

D.参考答案：A4.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（A）640

（B）520

（C）280

（D）240参考答案：B5.设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={3，4}，集合Q={1，3，6}，则P∩CUQ=（

）A．{4}

B．{2，5}

C．{3}

D．{1，3，4，6}

参考答案：A因为P={3，4}，CUQ={2，4，5}，所以P∩CUQ={4}，故选择A。6.实数

的值为（）A．2

B．5

C．10

D．20参考答案：D略7.若，则A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】：

函数为增函数8.已知R上的单调函数满足，则实数a的取值范围是（

）A. B.(0,1) C. D.参考答案：C【分析】根据可求得，可知在时单调递减，从而得到在上单调递减；根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】

当时，单调递减为上的单调函数

，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，关键是明确分段函数在上单调需保证在每一段上单调，且在临界点位置大小关系满足单调性，属于常考题型.9.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（） A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB参考答案：D【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用． 【分析】利用垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法即可判断出结论． 【解答】解：A．∵∠CEB=∠AED，∠BCE=∠DAE，∴△BEC∽△DEA，因此A正确； B．∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠B=∠ACE，因此B正确； C．连接OC，则OC⊥PC，又CD⊥AB，∴CE2=OEEP，CE=ED，∴ED2=OEEP，因此C正确； D．由切割线定理可知：PC2=PAPB≠PAAB，因此D不正确． 故选D． 【点评】熟练掌握垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法是解题的关键． 10.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（

）

A.

B.

C．

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数z满足（i为虚数单位），则｜z｜＝＿＿＿参考答案：略12.已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：(A)对任意实数k与q，直线l和圆M相切；(B)对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；(C)对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切(D)对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）参考答案：答案：（B）（D）解析：圆心坐标为（－cosq，sinq）d＝故选（B）（D）13.一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是

．参考答案：14.已知两个单位向量互相垂直，且向量，则

．参考答案：5

因为两个单位向置互相垂直，且向量，所以，，.15.对于任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知，，且有一个非零实数，使得对任意实数，都有，则__________________

参考答案：5略16.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为

．参考答案：（1，）．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．17.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2＝_____．参考答案：4试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可。解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为4.考点：平均值点评：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半

轴长为半径的圆与直线相切,过点（4，0）且不垂直于轴的直线与椭圆相

交于、两点。(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求的取值范围；(Ⅲ)若点关于轴的对称点是，证明：直线与轴相交于定点。参考答案：(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为

由得： ---------------4分

由得：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①---------- 6分

∴

略19.（本小题满分12分）设函数，其中为常数。

（1）当

时，曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值。参考答案：解：（1）当

时，，，

所以，。

∴切线方程为，整理得。（2）由由已知，令，得，。

∵，∴。令，得；令，得或。因此在和单调递减，在单调递增，极大值为，极小值为。20.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．21.（本小题满分13分）设是函数的两个极值点，（1）若，求证：（2）如果，，求的取值范围参考答案：（1）由已知得：，是方程的两根，

且，所以，，即，而

ks5u（2）由韦达定理，所以，即，当时，由，得，这时，由，得所以是关于的增函数，故；当时，由得，这时，由，得，所以也是关于的增函数，故；综上可得：的取值范围是。略22.设函数