上海市第十中学高一数学理测试题含解析

上海市第十中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l过点P（2，4），且与圆O：x2+y2=4相切，则直线l的方程为（）A．x=2或3x﹣4y+10=0 B．x=2或x+2y﹣10=0C．y=4或3x﹣4y+10=0 D．y=4或x+2y﹣10=0参考答案：A【考点】圆的切线方程．【分析】切线的斜率存在时设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．切线斜率不存在时，直线方程验证即可．【解答】解：将点P（2，4）代入圆的方程得22+32=13＞4，∴点P在圆外，当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，由点斜式可得切线方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4=0，∴=2，解得k=．故所求切线方程为3x﹣4y+16=0．当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=2，也满足条件．故所求圆的切线方程为3x﹣4y+16=0或x=2．故选A．2.已知函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则a的取值范围是(

)A．（0，2） B．（1，2） C．（1，2] D．[2，+∞）参考答案：C【考点】对数函数的图像与性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则y=logat为增函数，且当x=2时，t=4﹣ax≥0，解得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，∴y=logat为增函数，且当x=2时，t=4﹣ax≥0，即，解得：a∈（1，2]，故选：C．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．3.若α、β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0B．－π<2α－β<πC．－<2α－β<D．0<2α－β<π参考答案：C解析：选C.由－<α<β<，得－π<α－β<0，又－<α<，所以－π<α＋(α－β)<，即－π<2α－β<.4.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案： C【考点】映射．【分析】A中的元素为原象，B中的元素为象，令2n+n=20即可解出结果．【解答】解：由2n+n=20求n，用代入法可知选C．故选C【点评】解决象与原象的互化问题要注意以下两点：（1）分清象和原象的概念（2）确定对应关系5.函数的图像必经过点（

）

A．（0,2）

B.（0,1）

C.（2,1）

D.（2,2）

参考答案：D略6.直线被圆截得的弦长等于A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知在△ABC中，P为线段AB上一点，且，若，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．【详解】∵，∴，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．8.设，与是的子集，若，则称为一个理想配集。若将与看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是（

）

（A）4；

（B）8；

（C）9；

（D）16。

参考答案：C9.函数零点个数为()（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：C10.为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点的（

） A．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后向左平移个单位 B． 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后向右平移个单位 C． 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位D．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位参考答案：B试题分析：横坐标伸长为原来的倍变为，平移时由“左加右减”可知应向右平移个单位可得．考点：三角函数平移问题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象恒过定点,在幂函数的图象上，则_______________.

参考答案：27略12.等差数列、的前n项和分别为Sn、Tn，，则＝

.参考答案：13.点到直线的距离是________________.参考答案：试题分析：根据点到直线的距离公式.考点：点到直线的距离14.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.参考答案：10略15.若幂函数的图像过点（4，2），则f(8)的值是

。参考答案：3设，则

16.已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=． 参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【分析】根据题意，将x=2、x=﹣2分别代入f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2可得，f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2，①和f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2，②，结合题意中函数奇偶性可得f（﹣2）+g（﹣2）=﹣f（2）+g（2），与②联立可得﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③，联立①③可得，g（2）、f（2）的值，结合题意，可得a的值，将a的值代入f（2）=a2﹣a﹣2中，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2， 则f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2，①，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2，② 又由f（x）为奇函数而g（x）为偶函数，有f（﹣2）=﹣f（2），g（﹣2）=g（2）， 则f（﹣2）+g（﹣2）=﹣f（2）+g（2）， 即有﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③ 联立①③可得，g（2）=2，f（2）=a2﹣a﹣2 又由g（2）=a，则a=2， f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=； 故答案为． 【点评】本题考查函数奇偶性的应用，关键是利用函数奇偶性构造关于f（2）、g（2）的方程组，求出a的值． 17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知,，则角A的大小为

.参考答案：由余弦定理，则，即，解得，由正弦定理，解得，由，可得，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；（3）当时，若函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围.参考答案：解：（1），的对称轴为，.所以不等式即为，所以其解集为.（2）函数在上是增函数，所以函数的对称轴在直线的左侧或与重合，即，.（3）当时，.其对称轴为，.又，19.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线相切。（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M，N关于直线对称，且，求直线MN的方程；参考答案：（1）（2）或【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式求出半径，即可得出答案。（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可。【详解】解（1），所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为则圆心到直线的距离则，即所以直线的方程为或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。20.（本小题满分12分）设数列满足：，。（1）求；（2）令，求数列的通项公式；参考答案：（1），（2）由得：； 代入得：，∴

……………8分 ∴，故是首项为2，公比为的等比数列

∴

21.已知α，β为锐角，tan=，cos（α﹣β）=﹣．（1）求sinα；（2）求2α+β．参考答案：【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由已知利用二倍角的正切函数公式可求tanα，利用同角三角函数基本关系式结合α为锐角，即可求得sinα．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），由（1）可求sinα，cosα，利用两角和的正弦函数公式可求sin（2α+β），结合范围2α+β∈（，），可求2α+β=π．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵tan=，∴tanα==，…2分∵，解得：sin2α=，…4分又∵α为锐角，∴sinα=…6分（2）∵α，β为锐角，cos（α﹣β）=﹣＜0．∴α+β∈（，π），∴sin（α+β）==，…8分又∵由（1）可知sinα=，cosα=，…10分∴sin（2α+β）=sin=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=+=0，…12分又∵α∈（0，），α+β∈（，π），∴2α+β∈（，），∴2α+β=π…1