吉林省油田第十一中学2024年高三压轴卷数学试卷含解析

吉林省油田第十一中学2024年高三压轴卷数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．3．函数且的图象是（）A． B．C． D．4．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）A．P1•P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P25．A． B． C． D．6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A． B．C． D．7．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（）A． B． C． D．8．设等差数列的前n项和为，若，则（）A． B． C．7 D．29．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．210．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为()A． B．3 C．2 D．12．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（）A．， B． C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集为R，集合，则___________.14．已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.15．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.16．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．①；②这名学生中数学成绩在分以下的人数为；③这名学生数学成绩的中位数约为；④这名学生数学成绩的平均数为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF//平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD．18．（12分）已知函数,．（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；（3）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．19．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面积的最大值．22．（10分）在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．2、C【解析】

根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围.【详解】由得，.令，则，令，解得，所以当时，，则在内单调递增；当时，，则在内单调递减；所以在处取得极大值，即最大值为，则的图象如下图所示：由有且仅有一个不动点，可得得或，解得或.故选：C【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.3、B【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.【详解】由题可知定义域为，，是偶函数，关于轴对称，排除C，D.又，，在必有零点，排除A.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.4、C【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.5、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．6、C【解析】

由题可得，解得，则，，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．7、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.【详解】的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，故.令，，解得，.因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，令，，故，，因为，故，当时，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．8、B【解析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．9、A【解析】

设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.【详解】设，直线的方程为.联立整理得，则.因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，故该双曲线的离心率.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10、C【解析】

由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．【详解】的二项展开式中二项式系数和为，．故选：C．【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．11、D【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故对三角形运用余弦定理，得到，而结合，可得，，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选D．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．12、A【解析】

依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先化简集合A,再求A∪B得解.【详解】由题得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案为{-1,0,1}【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14、0【解析】

由题意，列方程组可求，即求.【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.又②.联立①②解得：..故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15、213892【解析】

根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.【详解】如图所示：正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，所以，解得，所以该正四棱台的体积是，故答案为：21；3892.【点睛】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.16、②③【解析】

由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）取的中点构造平行四边形，得到，从而证出平面；（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．18、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．【详解】（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），则，①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，进而F（x）在递减，在递增，，且x→﹣∞时，，F（x）在上有一个零点，在无零点，故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令，则即；由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，则，所以；故有．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．19、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【详解】（1）证明：∵平面，∴四边形是矩形，∵为中点，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴与相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，，解得：，同理，平面的法向量，设二面角的大小为，则.即二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)取AB的中点O，连接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O⊂平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，设平面的法向量为=()，则，即，