2021届高考数学（理）二轮复习考点08平面向量（考点解读）（解析版）

专题8平面向量

考情解读

高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各

种题型均有可能出现.

预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决

问题的能力.

重点知识梳理

i.向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)零向量的模为0,方向是任意的，记作0.

(3)长度等于1的向量叫单位向量.

(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.零向量和任一向量平行.

2.共线向量定理

向量a("0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数九使力=痴.

3.平面向量基本定理

如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量”,有且只有一对实数为、

)2,使a=2iei+；12cz.

4.两向量的夹角

已知两个非零向量a和b,在平面上任取一点。，作温=a,Oh=b,则NAOB=0(0。业180。)叫作a

与b的夹角.

5.向量的坐标表示及运算

(1)设a=(xi,yi),b-(X2,”)，则

a±b=(x\±xi,yi±y2),Ayi).

—>

(2)若A(xi,yi),8(X2,”)，则48=(X2—xi,y2~y\).

6.平面向量共线的坐标表示

己知〃=(为，yi),b=(X29”)，

当且仅当加"-X2)”=0时，向量。与办共线.

7.平面向量的数量积

设。为。与〃的夹角.

(1)定义:a-b=\a\\b\cos0.

ah

⑵投影：而=|a|cos。叫做向量。在方方向上的投影.

8.数量积的性质

(］)a.Lb<=>ab=0；

(2)当。与力同向时,a'b=\a\-\b\；当正与b反向时,a-b=~\a\-\b\x特别地，aa=|a|2；

(3)|a-fr|<|a|-|*|；

ah

(4)cos0=\a\-\b\-

9.数量积的坐标表示、模、夹角

已知非零向量。=(即，yi),b=gyi)

(\)ab=x\X2-\-y\yi^

(2)|0=\宕+货；

(3)。±b<=>x\xi+y\yi=0：

x\xi+y\y2

(4)COS0-、N+货.、应+)g.

【误区警示】

1.两向量夹角的范围是［0,兀］,〃•历>0与(a,b)为锐角不等价；与〈〃，b)为钝角不等价.

2.点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别.

abab

3.。在〃方向上的投影为而，而不是而•

4.若Q与b都是非零向量，则20+〃方=00。与力共线，若〃与万不共线，则痴+=0=2="=0.

高频考点突破

高频考点一平面向量的概念及运算

例1.【2017课标1,理13】已知向量a,b的夹角为60。，间=2,g|=1,则|“+2方+

【答案】2g

【解析】利用如下图形，可以判断出a+2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,

|a+2/?|2M«|244am+4网2=4+4x2xl*cos60+4=12

所以|。+26=配=26.

【变式探究】已知向量。=(5,4),8=(3,-2),且Q〃Z>,则机=.

解析:基本法：丁。

即(m,4)=，3,—2)=(3%,-2A)

771=32,

4=_2A,故相=-6.

速解法：根据向量平行的坐标运算求解：

・,・0=(团,4),6=(3,-2),a//b

・♦・》(—2)—4x3=0

，—2m—12=0,.\/w=-6.

答案：一6

【变式探究】(1)已知点40,1)，8(3,2),向量祀=(—4,—3),则向量或=()

A.(—7,—4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：基本法：设C(x,y),则祀=(x,y—1)=(—4,—3),

x=-4,

所以y=-2,从而选=(—4,—2)—(3,2)=(—7,—4).故选A.

速解法：VA^=(3,2)-(0,1)=(3,1),

就=/一初=(一4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

答案：A

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结

合几何法、代数法(坐标)求解.

(2)设。，E,尸分别为AABC的三边BC,CA,的中点，则防+反'=()

1

A.ADB.2AD

C炭D.炭

解析：基本法一：设屈=a,Ht=b,则或=一力+a,Ft=-2a+b,从而成+后=(—力+〃)+(—

=2(a+b)=Abf故选A.

A

基本法二：如图，曲+危=段:+品+冲+或:=前+息=5试+通)

=2-2AD=AD.

答案：A

高频考点二平面向量数量积的计算与应用

例2.[2019年高考全国II卷理数】已知碎=(2,3),祀=(3,/),BC=\,则初.就=

A.-3B,-2

C.2D,3

【答案】C

【解析】由尻'=公一港=(1,t-3)，陷=Jr+(f2=1，得，=3，则3c=(0&尿=2.故

选C.

2

【举一反三】(2018年全国I卷理数)设抛物线C："=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为§的直线

与C交于M,N两点，则而/•FN=

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

(=2

【解析】根据题意，过点(-2,0)且斜率为g的直线方程为y=2+2),与抛物线方程联立丫=?x+2)

Iy2=4x

消元整理得：y2-6y+8=0，解得M(1,2),N(4,4),又F(l,0),所以Kd=(0,2),市=(3,4)，从而可以求得

FM-FN=0X3+2X4=8.故选D.

【变式探究】已知向量放=(1,

坐),觉=惇,9,则N4BC=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

解析：基本法：根据向量的夹角公式求解.

,豌=(],*),比=(4，2),；.|眉|=1,|由=1,或•比=方*+乎x£=内,

就让A/3

cos/A8c=cos(BX,就)=|的|由=2-

V0°<(BA,Bt><180°,:.NABC=<BA,觉〉=30°.

答案：A

【变式探究】(1)向量a=(l,-1),ft=(-l,2),则(2a+»=()

A.-1B.0

C.1D.2

解析:基本法：因为%+b=2(l,-l)+(-l,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+办a=(l,0>(l,

-1)=1x1+0x(—1)=1.故选C.

速解法：Va=(l,—1),6=(—1,2),.\a2=2,ab=-3,

从而(2a+0)s=2a2+a・A=4—3=1.故选C.

答案：C

【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐

标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向

量较简单.

(2)已知正方形ABC。的边长为2,E为CD的中点，则戏•就)=.

解析：基本法：以硅、劭为基底表示掂和动后直接计算数量积.

屐=中+闹，Bb=Ab-Ah,

二砧卧=G+T显).(通-硒

=|硒2-&硒=22-另2=2.

速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解.

如图，以A为坐标原点,48所在的直线为x轴,A£>所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则4(0,0),

.♦.磋=(1,2),前=(一2,2),

二裱筋=lx(-2)+2x2=2.

答案：2

高频考点三平面向量的综合应用

例3、【2019年高考浙江卷】已知正方形ABC。的边长为1,当每个4«=1，2,3,4,5,6)取遍±1时，

14A3+4BC+/13a>+4。4+44。+/163。|的最小值是;最大值是.

【答案】0:2^5.

【解析】以A8,A。分别为x轴、丁轴建立平面直角坐标系，如图.

y

5(M)------------------C(L1)

4(00)3(1,0)x

则AB=(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),

令

y=林48+/128c+4CD+&OA+4AC+儿8“=一乙+4-4)?+(4-;L,+/+4『>(0.

又因为46=1,2,3,4,5,6)可取遍±1,

所以当4=4=4=4=4=1,4=-1时，有最小值丫而=0

因为(4-4+4)和(4一;I4+4)的取值不相关，4=1或4=-1,

所以当(4-4+4)和(4-4+4)分别取得最大值时，丁有最大值，

22

所以当4=4=4=4=1，4=4=—1时，有最大值jmax=V2+4=,20=2>/5>

故答案为()；2卮

【举一反三】(2018年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2让在第一象限内的点，B(5,0),

以AB为直径的圆C与直线/交于另一点。.若曲•cb=0,则点A的横坐标为.

【答案】3

a+5

［解析］设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB中点得©(丁㈤,易得。C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,与丫=2x联

立解得点D的横坐标XD=1,所以D(l,2).所以=(5-a-2a),CD=(1--—2-a),

由AB•CD=0得(5-a)(l---)+(-2a)(2—a)=0,a**—2a—3=0,a=3或a=-1,

因为a>0,所以a=3.

【变式探究】【2017江苏，16】已知向量。=(cosx,sinx),)=(3,-6),1e［0,兀］.

（1）若。〃匕，求X的值；

（2）记/（x）=。/,求。/a）的最大值和最小值以及对应的%的值.

【答案】⑴x=¥⑵龙=0时，取得最大值,为3；x=当寸，/（x）取得最小值，为-2耳.

66

【解析】

解：（1）因为a=（cosx,sinx）,〃=（3,-6）,a//b,

所以-A/3COSX=3sinx.

若cos元=0,则siax=0,与sir？x+cos?不；：!矛盾，故cosxwO.

于是tanx=一^^.

3

57T

又xe[0,7i],所以尢二3-.

,,.「八1,兀兀77r

因为X£[0,兀],所以X+

666

从而一1<COSX4--<

I62

于是，当x+2=9即x=0时，“X）取到最大值3；

66

TTSjr

当X+工=万，即%=芸时，/（X）取到最小值—26.

66

真题感悟

1.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量〃，力满足|。|=2|力|,且（。-田14则〃与b的夹角

为

兀兀

A.B.一

3

2兀5兀

C.D.—

36

【答案】B

【解析】因为（。一万）J_〃，所以（。一万）•方=。•〃一〃二0,所以a•b=>,所以cos。二

丽ab二1次612TE1'所以…”的夹角为“兀故选民

2.【2019年高考全国H卷理数】己知屈=(2,3),印逢=(3,。，选=1,则助.芯=

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】c

【解析】由庭=祀一B=(l,t-3),阳=正+(”3)2=1，得”3，则6C=⑩，晶或：=2.故

选C.

3.【2019年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线，贝『这方与公的夹角为锐角''是AB+AC|>|3C|''

的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】A8与AC的夹角为锐角，所以|AB|2+|AC|2+2AB-AC>|ABF+|AC|2-2AB.AC，

即

IA5+AC|2>|AC-AB|2，因为AC—AB=8C，所以IA8+ACl>l8Cl：

当IA8+ACAIBCI成立时，IA8+ACF>|A8-ACF=>又因为点A,B,C不共线，所

以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“IAB+AC1>1BCT的充分必要条件，故选C.

4.【2019年高考全国ni卷理数】已知”，〜为单位向量，且“1=0,若c=2a-非b，则cos(a,c)=

【答案】|

【解析】因为c=2a_\[^b,ab=。,

所以。・。=为2-=2,

|C|2二4|Q/Y扃1+5传『=9，所以|。|=3,

ac_2_2

所以cos〈a,c)=

|a|-|c|1x33'

5.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2区AD=5,NA=30°，

点E在线段CB的延长线上，且=则.

【答案】-1

［解析】建立如图所示的直角坐标系，NOA8=30。，AB=273,AD=5,则5(273,0)，。(迪,-).

22

因为AD〃8C,NBAD=3Q。,所以ZAB£：=30°,

因为AE=BE,所以NBAE=30。，

所以直线BE的斜率为且，其方程为了=@(1_26)，

33

直线AE的斜率为-也，其方程为y=_也》.

33

y=^^(x-26)，

由，L得X—6y=.l,

上

y------x

3

所以£(6,-1).

所以(G—1)=-「

6.【2019年高考浙江卷】已知正方形ABC。的边长为1,当每个4(1=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,

14AB+4BC+48+4ZM+4AC+%,BD|的最小值是；最大值是.

【答案】0；2行

【解析】以A8,A。分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

y

0(0」)-------------C(L1)

4(0,0)B(l,0)x

则AB=(1,0),BC=(0,l),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),

令

y=RAB+/128c+4CO+4DA+4AC+4期=-4+4-/Q?+(4-4+4+《)2>(0.

又因为40=1,2,3,4,5,6)可取遍±1,

所以当4=4=4=4=4=1，4=-1时，有最小值Nmin=0.

因为一和的取值不相关，或，

(44+4)(4-A4+4)4=14=T

所以当(4-4+4)和(4一4+4)分别取得最大值时，y有最大值，

所以当4=4=4=4=1，4=4=-1时，有最大值,max=V2*12+42=A/20=25/5.

故答案为0；2A/5-

7C

1.(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量。与e的夹角为-，向量占

3

满足》2-4e7+3=0,贝的最小值是

A.小TB.滥+1C.2D.2-布

【答案】A

【解析】设2=(x,y),e=(1,0),b=(m,n))则由(a,e)=-e=|a|,|e|cos-,x=-^x2+y2>二y=土#x,

由b?-4e•b+3=。得m?+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,

因此|a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=士而x的距离”=由减去半径1,为布-1选A.

2.（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCZ）中，ABIBC,AD1CD,zBAD=120°.AB=AD=1.

若点E为边CD上的动点，则死•命的最小值为

【答案】A

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A（O，T），B（g,O），C（0,|.D（-1,0），

点E在CD上，则血=胶（0'%51），设E（x,y）,则:

由数量积的坐标运算法则可得:

整理可得:AE-BEX+2)(O<X<1),

结合二次函数的性质可知，当入=品，届•曲取得最小值三

416

本题选择A选项.

2

3.(2018年全国I卷理数)设抛物线C：>2=4］的焦点为尸，过点(-2,0)且斜率为-的直线与C交于

3

M,N两点，则F立二

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

(=2

22与抛物线方程联立y=?+2),

【解析】根据题意，过点(-2,0)且斜率为§的直线方程为y=^x+2),

Iy2=4x

消元整理得：y2-6y+8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(l,0),所以血=(0,2),市=(3,4)，从而可以求得

FM-FN=0X3+2X4=8>故选D.

4.(2018年全国I卷理数)在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则施=

3-1-1-3-

A.-AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-1-3-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

-1-1-1-1--1-1-1-3-1-

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

一3-1一

所以EB=-AB—AC,故选A.

44

5.(2018年全国H卷理数)已知向量a,瞒足|a|=1,a•b=T,则a•(2a-b)=

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】因为g-(2a-b)=2a2-a-b=2|a|2-(-l)=2+1=3,

所以选B.

6.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2让在第一象限内的点，B(5,0),以AB

为直径的圆C与直线/交于另一点D若曲-田二。，则点A的横坐标为.

【答案】3

a+5

［解析］设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB中点得C(-^-,a),易得。C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,与丫=2x联

--a+5

立解得点D的横坐标XD=1,所以D(l,2).所以AB=(5-a,-2a),CD=(1——,2-a),

/ria+52_ix

由AB■CD=0得(5-a)(l——)+(-2a)(2-a)=0,a-2a-3=0,a=3或a=T，

因为a>0,所以a=3.

7.(2018年全国HI卷理数)已知向量a(1.2),b=(2.-2),c=(11).若cH(2a+b),则入=•

【答案】-

2

【解析】由题可得2；+6=(42)

•••c//(2ab),c=(1.X)

二4入・2=0,即1

9

故答案为1

2

1.【2017课标3,理12］在矩形A8C力中，4B=1,AD=2,动点尸在以点C为圆心且与8。相切的圆上.

若AP=>AB+BAD，则九+口的最大值为

A.3B.20C.小D.2

【答案】A

【解析】如图•所示，建立平面直角坐标系

设A(0,l),3(0,0),0(2,1),p(x,y)

2/\224

根据等面积公式可得圆的半径是为，即圆的方程是(X-2)-+小

AP=(x,y-l),AB=(O,—l),A£>=(2,O),若满足AP=2A8+〃Ar>

x2〃,//=—,2=l-y,所以2+〃=/_y+],设z=2-y+],即/—y+]—z=0,

即《

y-l=-A2222'

94

点尸(x,y)在圆(x-2)一+V=g上,所以圆心到直线的距离"4r,解得14z43,

所以z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故选A。

2.【2017北京，理6】设利〃为非零向量,则“存在负数；I,使得旭=。〃”是“小〃<0”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若皿<0,使加=2〃，即两向量反向，夹角是180°，那么加•〃=|M〃|cosl80°=一网同<0

T,若险〃<0,那么两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向，即不一定存在负数％,使得m=4”，

所以是充分不必要条件，故选A.

3.(2017课标II,理12]已知A4BC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)

的最小是()

八34

A.—2B.C.D.—1

23

【答案】B

【解析】如图，以8C为％轴，的垂直平分线DA为了轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系,

则A(0,后)，5(-1,0),C(l,0),设P(x,y),所以P4=(—x,6—y),=

PC=(l-x,-y),所以PB+PC=(—2x,—2y),PA-(PB+PC)=2x2-2y^~y)=2x2+2(y-

2^)2,|>_|,当尸0,岑时，所求的最小值为一：，故选B.

4.【2017课标1,理13】已知向量a,。的夹角为60。，\a\=2,\b\=\,则|a+2bH=

【答案】273

【解析】利用如下图形，可以判断出a+2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，

|a+2Z?|?=|a|2+4«-Z?+4|Z?|2=4+4x2xlxcos60+4=12

所以|a+2h|=屈=26.

5.12017天津，理13】在AABC中，NA=60°,AB=3,AC=2,若3£>=2DC，

AE^AAC-AB(AeR),且A/>AE=-4,则4的值为.

3

【答案】-

12

【解析】ABAC=3x2xcos60°=3,AD=—AB+—AC，则

33

=|-AB+-AC|(2AC-ABU-X3+—x4--x9--x3=-4^>2=—.

u37333311

6.【2017山东，理12】已知q,e2是互相垂直的单位向量，若百与勺+%e2的夹角为60,则实数2

的值是.

【答案】

3

［解析］(_ej,卜1+_q./—丸6=>/3—A»

2

=J（百q-02）=（3e；-2\/3e}-e2+e2=2，

22

,+Ae^=J^e,+Ae2j=+2Ae,-e2+2e,=Jl+分，

__________fj

••6—A.=2xJ1+无xcos60=Jl+丁，解得：X=~-

7.【2017浙江，15】已知向量a,匕满足同=1,网=2,则|a+可+|a—4的最小值是,最大值

是.

【答案】4.2石

【解析】设向量a,。的夹角为。，由余弦定理有：.-同+2?-2xlx2xcos6=15-4cos6,

|a+Z?|=《E+2」-2xlx2xcos（%一6）=j5+4cosd,则：

|a+&|+|«-Z7|=，5+4cosg+J5-4cosd,

令y=j5+4cos，+>/5—4cos8，贝ijy2=io+2A/25-16COS2^G[16,20].

据此可得：+=/55=2逐,（U+4+,叫）,=>/16=4,

即|a+b|+|a一司的最小值是4,最大值是2石.

8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABC。，AB1BC,AB=BC=AD=2,CO=3,AC与BD交

于点。，记/尸。4。3,I2=OBOC,I,=OCOD,则

A./,</2</3B./,</3<I2C./3</,<I2D.12<1]<13

【答案】C

【解析】因为44OB=NCOQ>90，OA<OC,。8<。。，所以

OBOC>Q>OAOB>OCOD>故选C。

9.12017江苏，12］如图，在同一个平面内，向量04,08,OC的模分别为1,1,应，。4与OC的夹角为

且tana=7,O8与OC的夹角为45。.若OC=mQ4+〃O8(〃Z,〃ER),则加+〃=▲

D

【答案】3

【解析】由tana=7可得sina=述cosa=也，根据向量的分解,

1010

V2y/2_FT

口““"C°S45°+mcosa=，22105n+m=1057

易得｛，即｛ll，即｛<一八，即得加=：,〃=：，

nsin450-msina=0>/27V2八5n-7m=044

——n---------m=0

210

所以〃+k=3.

10.【2017江苏，16]已知向量a=(cosx,sinx),6=(3,-6),工£。兀].

(1)若求x的值;

(2)记/(x)=ab，求力x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

【答案】⑴x=2⑵x=0时，“X)取得最大值，为3；x=¥时，/(x)取得最小值，为一2百.

66

【解析】

解：(1)因为a=(cosx,sinx),〃=卜,一6),a//b,

所以—\/3cosx=3sinx-

若cosx=0,则sinx=0,与sin2%+cos2x=l矛盾，故cosxwO.

于是tan%=一^^

3

57r

又xe[0,7i],所以x=不.

(

(2)/(x)=tz-Z?=(cosx,sinx)-3,-&)=3cosx-Gsinx=2\/3a：OSX+K-

兀兀77r

因为无£[0,兀],所以X+

6L66

从而一IWcos%+—

I6j2

于是，当x+台看，即x=0时，y(x)取到最大值3；

当x+^=%，即x=?时，/(X)取到最小值一2百.

1.12016高考新课标2理数】已知向量a=(l,机),0=(3,—2)，且(a+))_L8,则帆=()

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

【答案】D

【解析】向量a+b=(4,m-2),由(a+b)_Lb得4x3+(m-2)x(-2)=0,解得m=8,故选D.

2.【2016高考江苏卷】如图，在A48C中，。是BC的中点，旦尸是A。上的两个三等分点，

3C-C4=4，BF・C