第十八章 平行四边形活动-探究中点四边形 课件-2023-2024学年人教版数学八年级下册

——探究中点四边形人教版初中数学∵D、E分别是AB、AC的中点，

三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。数量关系位置关系用符号语言表示EABCD三角形的中位线定理:用

途①证明平行问题②证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2（DEBC）∥=∴

DE是△ABC的中位线∴⑴DE∥BC⑵DE=BC

知识回顾1ADCB中点四边形的定义

顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

定义

我思考,我进步1顺次连接任意四边形各边中点所成的四边形是什么四边形?观察猜想并证明已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。求证：四边形EFGH为平行四边形。证明：连接AC∵E、F是AB、BC边中点。EFGH

请同学们画一画、看一看、猜一猜并证一证ABCD(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴EF∥AC且EF＝AC同理：HG∥AC且HG＝AC∴EF∥HG且EF＝HG∴四边形EFGH为平行四边形任意四边形的中点四边形都为平行四边形

归纳

我思考,我进步2

顺次连接矩形各边中点所成的四边形是什么四边形？

连结两条对角线，而矩形的对角线相等。观察猜想并证明请同学们画一画、看一看、猜一猜并证一证

小结：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。ABCDEFGH证明：连结AC、BD∵H、G分别是AD、DC的中点。∴

HG=EF=AC∴HG=EF=EH=FG∴四边形EFGH是菱形同理：EF=AC∴

AC=BD已知：在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。观察猜想并证明

我思考,我进步2

顺次连接矩形各边中点所成的四边形是什么四边形？∴HG=AC21FG=BDEH=BDEH=FG=BD∵四边形ABCD是矩形EF//ACHG//ACEH//BDFG//BD(四边相等的四边形是菱形）求证：四边形EFGH是菱形ABCDEFGH矩形的中点四边形是菱形。（思路：由三角形的中位线定理中的数量关系和矩形的对角线相等推出中点四边形的四边相等。）

归纳

我思考,我进步2

顺次连接对角线相等的四边形各边中点所成的四边形是什么形?观察猜想并证明EFGHABCD已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，且AC=BD。求证：四边形EFGH是菱形思路：由三角形的中位线定理中的数

量关系和原四边形对角线相等

推出中点四边形的四边相等。

对角线相等的四边形的中点四边形为菱形

归纳

小结：顺次连结菱形四条边中点，所得的四边形是矩形。证明：连结AC、BD∵E、F分别是AB、BC的中点。EH//FG∴∠1=90°∴平行四边形EFGH是矩形同理：HG=AC∴AC⊥BD已知：在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。观察猜想并证明

我思考,我进步3

顺次连接菱形各边中点所成的四边形是什么四边形？∴EF=AC21FG=BDEH=BD∴

EF//HG∴四边形EFGH是平行四边形HG//ACEF//ACEH//BDFG//BD(有一个角是直角的平行四边形是矩形）ABCDEFGH1∟∟2∟3∵四边形ABCD是菱形∵FG//BD∴∠1=∠2=90°∵HG//AC∴∠2=∠3=90°求证：四边形EFGH是矩形菱形的中点四边形是矩形。ABCDEFGH∟（思路：由三角形的中位线定理中位置关系和菱形的对角线互相垂直推出中点四边形有直角。）

归纳

我思考,我进步3

顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是什么四边形?观察猜想并证明ABCDEFGHO已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD。求证：四边形EFGH是矩形∟思路：由三角形的中位线定理

中位置关系和菱形的对角线

互相垂直推出中点四边形有直角。对角线互相垂直的四边形的中点四边形为矩形

归纳∟∟∟小结：顺次连结正方形四条边中点，所得的四边形是正方形。证明：连结AC、BD∵G、H分别是CD、DA的中点。EH//FG∴∠1=90°∴平行四边形EFGH是矩形同理：EF=AC∴AC⊥BDAC=BD已知：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。观察猜想并证明

我思考,我进步4顺次连接正方形各边中点所成的四边形是什么四边形？∴GH=AC21FG=BDEH=BD∴

HG//EF∴四边形EFGH是平行四边形EF//ACGH//ACEH//BDFG//BD(有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形）∵四边形ABCD是正方形∵FG//BD∴∠1=∠2=90°∵GH//AC∴∠2=∠3=90°FGABCDHE1∟3∟2∟∵AC=BD，HG=AC，EH=BD∴矩形EFGH是正方形∴HG=EH求证：四边形EFGH是正方形ABCDEFGH正方形的中点四边形是正方形∟（思路：由三角形的中位线定理中数量和位置关系和正方形的对角

线互相垂直

且相等推出中点四边形四边相等且有直角。）

归纳

我思考,我进步4

顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是什么四边形?观察猜想并证明ABCDEFGHO已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，AC=BD且AC⊥BD。求证：四边形EFGH是正方形∟思路：由三角形的中位线定理

中数量、位置关系和原

四边形的对角线互相垂

直且相等推出中点四边

形四边相等且有直角。）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形为正方形

归纳∟∟∟结合一系列的证明过程，小组讨论并思考：ABCHDEFGDBCAGEFG∟

我思考,我进步5

中点四边形的形状与原四边形的哪些线段有关？是与它们的位置还是数量有关？（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

原四边形两条对角线中点四边形形状互相垂直相等互相垂直且相等既不互相垂直也不相等矩形菱形正方形平行四边形

中点四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.练习结论：驶向胜利的彼岸如图：四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边ABCD的中点得到四边形A1B1C1D1，依次类推，得到四边形AnBnCnDn；挑战自我驶向胜利的彼岸如图：四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AC⊥BD，(1)四边形A1B1C1D1是_____，四边形A2B2C2D2是___，四边形A11B11C11D11____；矩形矩形菱形挑战自我驶向胜利的彼岸四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，(2)四边形A1B1C1D1的周长是_____。四边形A2B2C2D2的周长是_____。四边形A3B3C3D3的周长是_____。四边形A4B4