2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题17-20题-（解析版）

2022年全国高考乙卷数学(理)试题变式题17-20

题

原题17

1.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A—B)=sin<sin(C-A).

⑴证明:2/=层+/；

25

(2)若“=5,cosA=不，求：A8C的周长.

变式题1基础

2.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，8，。，且

cos2A+sinAsinB=cos2C+sin2B.

(I)求角C；

(11)若。=①，且A48c的面积是56,求AABC的周长.

变式题2基础

3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且

(sinA-sinC)~=sin2B-sinAsinC.

(1)求sinB；

(2)若a=2c,且4ABC的面积为26，求^ABC的周长.

变式题3基础

4.已知A5C中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，a(sinA-sinB)+/>sinB=csinC.

(1)求角C的大小；

(2)若°=9，且,ABC的面积为3相，求的周长.

变式题4巩固

5.在,ABC中内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且(2。-。八(》8=尻€»。.

(1)求角8的大小；

(2)若〃=8,用/C的面积为3百，求..4?C的周长.

变式题5巩固

6.在-ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=2c(cosA+cos8).

(1)求角C的大小；

⑵若b=3a+l,b2=c2+10,求；ABC的周长.

变式题6巩固

7.在.ABC中，sinB=asinA-(Z?+c)sinC

(1)求角4的大小

⑵若BC边上的中线AD=26,且S.C=26,求=AfiC的周长

变式题7巩固

8.ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且/?cos4+也从抽A=c+a.

(1)求B；

⑵若b=2,MC的面积为求a,c.

变式题8提升

9.已知ABC的内角4,B,C的对边分别为小b,c,且满足

sin2A+sin2C-sin23=2sinA•sinC•cos2B•

⑴求以

(2)若2sinA+sinCh=2^3,求.ABC的周长.

2

变式题9提升

10.在工ABC中，内角A6,C的对边分别为a也c,且

asinA=c(sinC-2sinB)+/?(sinC+sinB).

(1)求角A；

(2)若ABC为锐角三角形，求&("-c)的取值范围.

2a

变式题10提升

11.在.ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC.

(1)求角8的大小；

(2)若匕=26，角2的角平分线交AC于。，且80=1,求43c的周长.

原题18

12.如图，四面体ABC。中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

试卷第2页，共15页

(1)证明：平面BE。平面AC。；

(2)设48=8。=2,/4)=60。，点尸在8£＞上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面

所成的角的正弦值.

变式题1基础

13.如图，四棱锥P-A3CD中，PAA,nABCD,

ABYAD,AB//CD,PD=AB=2AD=2CD=2,E为以上一点，且3PE=2%.

(1)证明：平面EBC_L平面以C；

(2)求直线P8与平面8EC所成角的正弦值.

变式题2基础

14.如图，四边形4BC£)中，满足AB〃C£),ZABC=90°,AB=\,BC=6，CD=2,

将.B4C沿AC翻折至△P4C,使得PD=2.

R

CD

(1)求证：平面PAC_L平面AC£＞；

(II)求直线C£＞与平面PAD所成角的正弦值.

变式题3基础

15.如图，正三棱柱48C-AAC的高和底面边长均为2,点P,。分别为AA，8c的

(1)证明：平面AQC，平面BCG片;

(2)求直线BP与平面AQG所成角的正弦值.

变式题4巩固

16.如图，A8是圆。的直径，PAL圆0所在的平面，C为圆周上一点，。为线段PC

的中点，ZCBA=30°,AB=2PA.

(1)证明：平面A8£)_L平面PBC.

(2)若G为A£＞的中点，求直线CG与平面PBG所成角的正弦值.

变式题5巩固

17.如图，四棱锥P-A8CD的底面是正方形，P£＞J_底面ABCO,点E在棱尸8上.

试卷第4页，共15页

⑴求证：平面AECJ•平面尸。8;

(2)当PO=0,48=1,E为H3的中点时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.

变式题6巩固

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。是矩形，AD_L平面COP,PD=CD,

DE=PE,且NPCD=30°.

(1)求证：平面ADEJ■平面48CO；

(2)若CZ)=3,AD=2,求直线PB与平面AOP所成角的正弦值.

变式题7提升

19.如图所示，四棱柱A8CO-A4GA中，底面ABC。是以A&CD为底边的等腰梯形,

且48=2AD=4,ZDAB=60",AO1DtD.

(I)求证：平面，平面ABC。；

(II)若。。=。乃=2,求直线AB与平面BCG与所成角的正弦值.

变式题8提升

20.如图，在四棱锥P-A8CZ)中，底面ABC。是圆内接四边形.A£>=CD=3P=1,

AB=BC=BP=6,DPIAC.

(1)求证：平面ACP_L平面A8C£＞；

(2)若点E在8cp内运动，且AE〃平面COP,求直线AE与平面BCP所成角的正弦

值的最大值.

变式题9提升

21.如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△A3。为底面圆

。的内接正三角形，且边长为E在母线PC上，£LAE=®CE=1,ECLBD.

(1)求证：平面8£D_L平面

(2)设线段PO上动点为M,求直线。0与平面ME所成角的正弦值的最大值.

原题19

22.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的

总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m?)和材

积量(单位：nP),得到如下数据：

总

样本号i12345678910

和

根部横截面

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

积玉

材积量％0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

试卷第6页，共15页

101010

并计算得Zx：=0.038,Z），：=1.6158,Zw=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m，已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该

林区这种树木的总材积量的估计值.

支（%一元）（乂-9）____

附：相关系数，=IJ“，/标。1.377.

柩（X「君2名⑶「势2

Vi=li=l

变式题1基础

23.为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年

新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：

年份编号X12345

年份20162017201820192020

新能源汽车充电站数量力个37104147196226

（1）已知可用线性回归模型拟合）’与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）求y关于X的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量.

555

参考数据：2>=710，1>/=260（）,2（%-刃-=149.89,V10«3.16.

1=11=11=1

£住-矶必一可

参考公式：相关系数r=六----------------

砂-通-可

,A刃％-矶%-亍）

回归方程a="+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；b=上-------；—,

/=1

a=y-bx.

变式题2基础

24.2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到

各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，

为了了解人们对“冰墩墩'’需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2

月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5

天的第X天到该电商平台参与预售的人数y（单位：万人）的数据如下表:

日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日

第X天12345

人数y（单位：万人）4556646872

（I）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第X天与到该电商平台参与预售的人数y

（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.30<卜|<0.75,则线性相

关程度一般，若卜|20.75,则线性相关程度较高，计算,时精确度为0.（）1）

（2）求参与预售人数V与预售的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022

年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.

55_

参考数据：Z（M-A）=460，Z（匕-T）（%-方=66，A=6.78,附：相关系数

1=1<=1

可（%-刃£&-可（必-9）

r=曰“,b=上，----,a=y-bx

、愎D艺（y广于力（%到

变式题3基础

25.应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实

现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承

诺：争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”，近年来，国家

积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车某区域销售在2021年11月至2022年3月

这5个月的销售量》（单位：百辆）的数据如下表：

2021年112021年122022年12022年22022年3

月份

月月月月月

月份代码：X12345

销售量y（单位：百

4556646872

辆）

（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码x与该品牌的新能源汽车区域销售量丫（单位;

百辆）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.30<卜|<0.75,则线性相关程度一般，

试卷第8页，共15页

若卜白0.75,则线性相关程度较高，计算，•时精确度为0.01.

(2)求销售量y与月份代码X之间的线性回归方程，并预测2022年4月份该区域的销售

量(单位：百辆)

参考数据：》()：->)=460,£(七-))=66,5/46»6.78,参考公式：相关系

1=1日'

X(x,-x)(y;->j

数一=IJ、2，2,

Vi=li=l

Yx^-nxyX[x;-x)(y(-y)

线性回归方程与=舐+》中，人=与------ZT=口----——，令=亍一版，其中1

;=1/=!

亍为样本平均值.

变式题4巩固

26.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，人工栽培和野生植物数量不断增加.

为调查该地区某种植物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单

随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据(七,必)(i=l,2,…，15),

其中占和乂•分别表示第，,个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种植物的数量，并

计算得£>=45,£>,=10500,£(占一寸=60,£(y-»=8000,

/=1i=li=ii=l

可(%-刃=600.

»=1

(1)求该地区这种植物数量的估计值(这种植物数量的估计值等于样区这种植物数量的平

均数乘以地块数)；

(2)求样本(应/.)(i=l,2,15)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该

地区这种植物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

£(—)(一)

附：相关系数'=I,,,6=1.732.

[(—)》(一)2

Vf=li=l

变式题5巩固

27.当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生

价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是

他近5个月的家乡特产收入y(单位：万元)情况，如表所示.

月份56789

时间代号f12345

家乡特产收入y32.42.221.8

（1）根据5月至9月的数据，求y与，之间的线性相关系数（精确到0.001）,并判断相关

性；

（2）求出），关于，的回归直线方程（结果中B保留两位小数），并预测10月收入能否突破

1.5万元，请说明理由.

附：相关系数公式：，‘=/匚==—I/1（若吊＞075,

则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据（A,匕），（巧,几），…，（%,％）,

〃__

^x^-nxy

其回归直线方程与dx+g的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为〃=上^------）

%?-nx一2

E1=1

a=y-爪.③参考数据：＞/848«2.91.

变式题6巩固

28.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激

发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x

天的滑雪人数y（单位：百人）的数据.

天数代码X1234567

滑雪人数y（百人）11131615202123

（1）根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加

以说明（保留两位有效数字）；

（2）经过测算，若一天中滑雪人数超过3000人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关

于x的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.

附注：参考公式：=532£（为一号2£（%_习:57.5.

i=lV（=1'i=l'

试卷第10页，共15页

参考公式：①对于一组数据（%,匕），（电，彩），…，其相关系数

2（%-“）（%-»）

~闻，叫*，・丁

②对于一组数据（%,匕），（的，％），…，（〃“，咽，其回归直线v=a+加的斜率和截距的

最小二乘估计分别为：人=『——

72>S=v—%u-

/=1

变式题7提升

29.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不

少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙

两家网络外卖企业（以下简称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下

表:

日期12345

外卖甲日接单量X/百单529811

外卖乙日接单量y/百单2.22.310515

（1）据统计表明y与x之间具有线性相关关系.

（i）请用样本相关系数「加以说明；（若旧＞。-75,则可认为y与x有较强的线性相关关

系）

（ii）经计算求得y与x之间的经验回归方程为y=L382x-2.774,假定每单外卖企业平

均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯

利润的最小值.（结果精确到0.01）

（2）试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经

营状况.

参考数据：£(%-x)(y,-y)=69.1,£（占7）2\归（%一讨:

78.

/=1

变式题8提升

30.某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同（视为技术

水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的

经济效益也不同.若用变量X表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值（元），根据

以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于x的线性回归方程为

y=1.2x4-40.6.

(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；

(2)试根据『的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强

弱(0.75引仁1,则认为>与x线性相关性很强；|r|<0.75,则认为丫与x线性相关性不

强)；

(3)若这批设备有AB两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是

0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若A工序出现故障，则

生产成本增加2万元；若8工序出现故障，则生产成本增加3万元；若AB两道工序都

出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.

参考数据：£(X,-X)2=121.2包-到=225.

1=1t=l

参考公式：回归直线9=4+Ax的斜率和截距的最小二乘估计分别为

可（%-刃

八—>•*—>•________

ba=y-bx-Ii=l=~~]〃

Yxj-rix2£（士-丁『f/tL暖

变式题9提升

31.人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的

智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我

国2015年—2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2015

年用1表示，2016年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答:

(1)根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r,并用，•判断两个变量y与x

相关关系的强弱(精确到小数点后2位)；

(2)若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求)，关于x的线性回归方程，并据此

预测2022年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元).

试卷第12页，共15页

Ea，•一于)(％一刃E-国

附：线性回归方程》=gx+a,其中B-----------T---------；

Y.xr-nx2

i=\i=\

—“—〃

Z(x；一元)(y-y)^x^.-rixy

相关系数'=/„i-„=I„i„;

2

唇皿2-寸唇-前唇"

参考数据：E%=5724,之x,y=267349(%-y)2=200标.

1=1z=l\i=l

原题20

32.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过4(0,-2),4|,-1)两点.

⑴求E的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A3交于

点T,点H满足MT=7W.证明：直线HN过定点.

变式题1基础

33.已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆C与直线2x+y=4相切于点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/：y=H+f与椭圆相交于A、8两点(A,8不是长轴端点)，且以A3为直

径的圆过椭圆C在丫轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

变式题2基础

34.椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过C的长轴，短轴端点的一条直线方

程是x+V2y-2=0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点尸(0,2)作直线交椭圆C于A,B两点，若点B关于)'轴的对称点为8',证明

直线A"过定点.

变式题3基础

2

35.已知椭圆氏1+l(a〉〃>0)过点其右顶点为A,下顶点为且

aF

|AB|=V5,若作与y轴不重合且不平行的直线/交椭圆E于只Q两点，直线8P,8。分别

与x轴交于M,N两点.

(I)求椭圆E的方程:

(2)当点的横坐标的乘积是:4时，试探究直线/是否过定点？若过定点，请求出

定点；若不过定点，请说明理由.

变式题4巩固

22

36.已知尸是椭圆C:=+[=im＞8＞0)的左焦点，焦距为4,且C过点P(G,1).

crb'

(1)求C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线12,若//与C交于A,B两点,12与C交于D,E

两点，记A3的中点为M,的中点为M试判断直线是否过定点，若过点，请求

出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

变式题5巩固

22

37.已知椭圆C:£+}=l(a＞。＞0)经过点M(2,0)和点N卜拒,l).

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

⑵若A、5为椭圆C上异于点M的两点，且点M在以A3为直径的圆上，求证：直线A8

恒过定点.

变式题5巩固

38.已知椭圆cJ+2=l(a＞10)经过点(段)，其右顶点为A(2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点尸、。在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为京，证明直线PQ经过

定点.

变式题7提升

22

39.已知椭圆了：[+2=1(〃＞人＞0)经过以下四个不同点中的某三个点：

ah~

B(-；,与,C(-l,l),。(|,筌).

(1)求椭圆T的方程；

(2)将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的也倍，横坐标不变，得到椭圆£己知

2

M,N两点的坐标分别为(0,1),(0,T),点F是直线)=2上的一个动点，且直线FM,

FN分别交椭圆E于G,H(G,”分别异于M,N点)两点，试判断直线G"是否恒过

定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

变式题8提升

22

40.已知椭圆C：[+2=1的左、右顶点分别为A,B,。为坐标原点，

a'b-

试卷第14页，共15页

直线/：x=l与C的两个交点和。，8构成一个面积为痴的菱形.

⑴求C的方程；

(2)圆E过。，B,交/于点N,直线A",AN分别交C于另一点P,Q.

①求心>4。的值；

②证明：直线PQ过定点.

变式题8提升

41.已知椭圆C：%，=1(。>6>0)过点+用，且点A到椭圆C的右顶点的距

离为叵

2

⑴求椭圆C的方程；

(2)已知。为坐标原点，直线/：y=丘+〃杂>0,m<0)与C交于M,N两点，记线段

A/N的中点为P,连接0P并延长交C于点。，直线x=6交射线0P于点R,且

\OP\-\O^=\O^,求证；直线/过定点.

变式题10提升

42.已知椭圆接+，=1(">"0)过点唱j,椭圆的左、右顶点分别为4,4,点尸

坐标为(4,0),|PA|，|A阕，但阕成等差数列.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若对斜率存在的任意直线/与椭圆恒有M,N两个交点，且PMPN=12.证明：直

线/过定点.

参考答案:

1.(1)见解析

⑵14

【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可

得证；

(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出方c,从而可求得6+c,即可得解.

(1)

证明：因为sinCsin(A—8)=sin8sin(C-A),

所以sinCsinAcos8-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,

eriuQ~+C"—b~-2bc^^-a2+b2-c2

所以ac---------------

lac2bc-2ab-

即让4-伊+才-叫=-公产

所以2a2=b2+c2;

(2)

25

解：因为。=5,cosA=三，

由(1)得从+C2=50,

由余弦定理可得。2=h2+C2-2Z?CCOSA,

则50-#c=25,

所以儿=?31,

2

故e+4=/+/+次=50+31=81,

所以b+c=9,

所以ABC的周长为♦+Z?+c=14.

2.(I)C=y；(II)9+721.

【解析】(I)根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可;

(II)根据三角形面积公式，结合完全平方和公式和(1)中结论进行求解即可.

【详解】(I)由cos2A+sinAsin3=cos?C+sin?8,^1—sin2A+sinAsinB

答案第1页，共46页

=l-sin2C+sin2B，

即sin2C+sinAsinB=sin2A4-sin2B.

由正弦定理可得/+从“2=必，

由余弦定理可得cosC=aH=

2ab2

CG(0,^7),/.C=—;

(2)SMBC=-ahsinC=^-ab=5>/3»a。=20,

24

因为€>2=/+从一昉，c=V2I»所以a?+)2=41,

(。+〃)2=/+勿〃+〃2=41+40=81,a+h=9

所以A43c的周长为9+血.

【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考

查了数学运算能力.

3.(1)sinB=—;(2)6+2"

2

【分析】(1)利用正弦定理的边角关系，结合已知条件可得〃="+c2-ac,再由余弦定理、

同角三角函数关系即可求sinB.

(2)根据已知，由三角形面积公式求“c,进而求外c,再由余弦定理求6,即可得△ABC

的周长.

【详解】(1),**(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC,

...(a-c)j=b2-ac,EPb2=a2+c2-ac.

2912

・.a-+c--b~

.cosBo=--------------,

lac

*••cosB=——=-,故sinB=.

lac22

(2)ABC的面积为，acsinB=26,

2

••cic=8,又a—9

•・C=2,6z—4.

,**b2=a2+c2-2accosB，

...从=16+4—2x2x4xg=12,即6=2百.

故^ABC的周长为a+/>+c=2+4+2百=6+26.

答案第2页，共46页

4.(1)—；(2)7+y/\3.

【分析】(1)首先根据正弦定理角化边公式得到“3-6)+〃=/,再利用余弦定理求解即可.

(2)首先根据三角形面积得到而=12,利用余弦定理得到a+3=7,即可得到三角形.ABC

的周长.

【详解】(1)因为a(sinA-sin8)+6sin8=csinC

由正弦定理可得。(。-。)+从=02,SPa2+b2-c2=ah.

由余弦定理知cosC='+"2—°2=L

2ah2

TT

又因cw(o,m,所以c=3；

(2)sinC=sin—=-^-,ABC的面积S=LaZ?sinC=^ab=36,

3224

即ab=\2，

3+6)2-2ab-c1

所以cosC=--------------

lab2ab

_(a+/?)2-24-13_1

=---------------------——，

242

所以3+份2=49,即〃+0=7.

所以“C的周长为7+g.

71

5.(1)B=y；(2)18.

【分析】(1)利用正弦定理把给定等式边化角，再用三角恒等变换求出cos3即可得解;

(2)利用三角形面积定理求出双，再借助余弦定理列式即可得解.

【详解】(1)ABC中，(2a-c)cosB=〃cosC,由正弦定理得：

(2sinA-sinC)cosB=sin4cosC,

即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,而sinA＞0,

|TT

则COS8=5，又。＜B＜兀,所以B=］；

TT

(2)由(1)知8=可，

因；ABC的面积为3百，即以诋=：acsin8=^ac=3G,得ac,=12,

由余弦定理从="+02-2accosB,W64=a2+c2-ac=(«+c)2-3ac-,解得a+c=10,

所以ABC的周长为18.

答案第3页，共46页

6.（Dy

⑵9+回

【分析】(1)根据题意，可以选择余弦定理进行角化边，进行化简求解；也可以选择正弦定

理进行边化角，然后，利用三角恒等变换进行化简求解.

(2)根据题意，列出余弦定理，与题中所给式子组成方程，分别求出。力,。，即可求解.

(1)

方法一：因为a+6=2c(cosA+cosB),

rrziofb2+c2-a2a2+c2-b2>

所以i=2°F—+

2ac,

h2+c2-a2a2+c2-b2

所以〃+/?=+

b------a

所以crb+ab1=ab2+ac2-a34-a2b+c2b-b3,

所以(4+人)卜2一/一从+44=0,所以

所以8SC/+人1ab_1

2ab2ab~2

又c«o,兀)，所以c=*

方法二：由正弦定理得sinA+sinB=2sinC（cosA+cosB）,

又A+B+CF,所以sinA=sin（8+C）,sinB=sin（A+C）,

所以sin（8+C）+sin（A+C）=2sinCcosA+2sinCcos8,

所以sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA+2sinCcosB,

所以sin8cosC-sinCcos8=sin。cosA-sinAcosC,

所以sin（B_C）=sin（C-A）.

又OVAVTT,0<C<TI,所以一兀vB-Cv兀，-7C<C-A<71,

所以8-C=C—A或3—。+。-4=兀或5—C+C—A=-7T

所以A+3=2C或3-A=7T（舍去）或3-4=一兀（舍去），

TT

所以兀-C=2C,所以C=§.

（2）

答案第4页，共46页

由（1）知c?=0?+从-油，又加=^+10,b=3a+l,

所以2a2+a-10=0,解得a=2或a=-g（舍去），

所以6=7，0=扬一1（）=，72-10=屈，

所以ABC的周长为9+屈.

7.⑴人二等；

⑵8+6&.

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角A的大小；

（2）由面积公式可得bc=8,再在△A8Z）和AOC中，由余弦定理可得〃+cz,最后用完

全平方公式可求力+c的值，即可求得三角形的周长.

（1）

由已知bsinB=asinA-（b+c）sinC,

由正弦定理得：b2=a2-bc-c2,

由余弦定理得：COS」+f_02=_

2bc

在：ABC中，因为Aw（0,乃），

由(1)知从=。2一A一/,gpb2+c2=a2-S@,

在△A8Q中，由余弦定理得：。2=(52+(2力)2-2.2石£.«»44。8,

在，AOC中，由余弦定理得：b2=(^)2+(2A/3)2-2-2y/3--cosZADC,

因为cosNAO8=-cosNA£>C,所以人?+,2=幺+24③，

2

由①(§)③，得a=8,Z?2+/=56,be=8,

答案第5页，共46页

所以b+c==亚=月=6五,

所以一A3C的周长a+b+c=8+6>/L

71

8.(1)3=7

(2)a=c=2

【分析】(1)先由正弦定理及和角公式得出sinB=cos8+l,再由倍角公式得tan0=迫，

23

即可求出3；

(2)先由面积公式求得呢=4,再由余弦定理求得〃+c=4,即可求得mc.

(1)

由bcosA+V^AsinA=c+a及正弦定理，WsinBcosA+73sinBsinA=sinC+sinA，又

C=〃-(4+B),

则sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,可得

sinBcosA+6sinBsinA=sinAcos8+cosAsin8+sinA，

BP5/3sinBsinA=sinAcosB+sinA，又sinAwO,所以有百sin3=cos8+l,即

2A/3sin—cos—=2cos2—,

222

因为所以COSQHO,于是有6sin?=cos£g|Jtan-=^,所以与=2,即

2{2j2222326

B=~.

3

(2)

由■ABC的面积为6，得gacsingug,UP«c=4,由余弦定理，得b?=a2+c2-2(zccosy,

即(a+c)2-2ac(l+cosg)=Z?2,将℃=4,Z?=2代入上式，得(a+c『-2x4x(l+g)=4,

可得a+c=4,解得a=c=2.

9.⑴B=-^-；(2)2y/3+A/6+y/2.

【分析】(1)由正弦定理和余弦定理通过边角互化可得28scos8-l=0,解方程求8；

(2)由(1)及条件sinA+sinC=@，求4,C,再由正弦定理求a,c,由此可得ABC的周长.

2

【详解】解:

答案第6页，共46页

⑴由题设及正弦定理得储+c?一加=2〃CCOS28,

再由余弦定理得cos28=cos3,即2cos2B-cosB-1=0,

解得8S8=-,或以)53=1(舍去).

2

因为8e(0,%).所以B=

(2)由(1)A+C=?,2sinA+sinC=2sin(—-C)+sinC=y/3cosC=

33

,「&

,,cosC=—，

2

：.C=A=—.

412

•；b=2>/3,B=-y-,

•__上一

••———4—,

sinAsinCsinB

••c=4sinC=25/2,ci—4sinA=4sin(-----)=>/6—>/2,

46

...ABC的周长等于26+指+0.

71

10.(1)A=5；

【分析】(1)角换边，在利用余弦定理求解；

(2)边换角，将待求表达式表示成关于8的三角函数，利用锐角三角形条件求出B的范围，

最后再求表达式的范围即可.

(1)

因为“sinA=c(sinC-2sin3)+b(sinC+sin3),所以由正弦定理得/=c(c-2/?)+b(c+/?),

整理得％2+02一/=历，由余弦定理得cosA==!.因为0<A<;r,所以A=1.

2bc23

(2)

小丁所小殂K(O-c)6sinB-sinC.„._.„./21.(TT}

11]11-jX7J2>f'j------------------------------------—sinB—sin(J=sinB—sin-------H=sinB-----.

2a2sin>413J{3)

答案第7页，共46页

2

因为ABC为锐角三角形，所以

八24「%

0<------B<一,

32

解得会八多所以4<8弋<?

所以

故的取值范围为

2a

11.(1)120°

(2)4+26

【分析】(1)根据cos2C=sin2A+cos28+s