【数学】正态分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布问题引入

现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，(两点分布、超几何分布、二项分布等)

连续型随机变量的概率分布规律用什么来描述？人的身高、体重、肺活量；电视机的寿命；小麦的株高、穗长、单位面积产量；零件的尺寸；某地每年7月的平均气温、降水量；居民的月均用水量……复习回顾1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系：

由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。一般样本容量越大,这种估计就越精确。2、从100个产品尺寸的频率分布直方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线----总体密度曲线。问题引入25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39问题引入总体密度曲线(钟形曲线)频率分布折线图无限接近于一条光滑曲线.总体密度曲线与x轴围成的面积为

1

.新知探索

随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.

光滑的钟形曲线新知探索

由函数知识知，图中的钟形曲线是一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢？

新知探索1e ,

x

,

2

2

x

2

,

2

x

正态函数总体密度曲线(钟形曲线)正态曲线新知探索y-3μ=

-1σ=0.5-2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 xμ=0σ=10y-3 -2 -11 2 3 4

xμ=1σ=2曲线在x轴的上方，与x轴不相交.曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.曲线在x=μ处达到峰值(最高点)曲线与x轴之间的面积为1.1σ

2π1e2

22

y

(

x

)2

(x)

,

x

(

,

)时,函数值为最大.（2）f

(x)

的值域为时f

(x)为增函数.时f

(x)为减函数.xy-3 -2 -1 0 1 2 3μ=0σ=1标准正态曲线正态总体的函数(正态函数)表示式：212

2

(

x

)2f

(x)

e.,x

(

,

)（1）当x

=μ1(0, ]

2

（4）当x∈（－∞，μ]当x∈（μ，+∞）(3)

f

(x) 的图象关于

x

=μ

对称.2e 2,

x

R.f(x)

x12

标准正态函数：1

2

μ=0,正态曲线的性质新知探索

参数μ反映了正态分布的集中位置，参数σ反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.新知探索

正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布.新知探索

思考1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？新知探索

新知探索

新知探索[例1]如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态密度函数的解析式,求出总体随机变量的数学期望和方差.例析例析

新知探索

新知探索

P87-1.设随机变量X～N(0,1)，则X的密度函数为_______________,P(X≤0)=_________，P(|X|≤1)=________,P(X<1)=_________，P(X>1)=________.(精确到0.0001.)0.50.68270.84140.1586方法：把普通的待求区间向(μ−σ，μ+σ)，(μ−2σ，μ+2σ)，(μ−3σ，μ+3σ)这三个区间进行转化，然后利用3个特殊概率、0.5、1等求出相应概率.练习√例析(2)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),且P(X<2)=0.6,则P(0<X<1)等于(

)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4解析:(2)由X～N(1,σ2),且P(X<2)=0.6,则有P(1<X<2)=0.6-0.5=0.1.根据正态分布的对称性可知P(0<X<1)=P(1<X<2)=0.1.故选A.√例析练习P87-2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,5²)，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)P(165<X≤175)=___________(2)P(X≤165)=__________(3)P(X>175)=__________0.68270.158650.15865P87-4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽