2022年北京平谷初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京平谷初二（上）期末数学2022.1考生须知：1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题．2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）A.a＝1 B.a＝－1 C.a＝2 D.a＝－23.下列分式中最简分式是（）A. B. C. D.4.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（）

A.45° B.60° C.75° D.85°5.下列事件中，属于随机事件的是（）A.用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形B.用长度分别是3cm，4cm，5cm细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形C.如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等D.有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等6.等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（）A.50° B.80° C.50°或80° D.100°或80°7.下列命题是假命题的是（）A.直角三角形两锐角互余 B.有三组对应角相等的两个三角形全等C.两直线平行，同位角相等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等8.如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.若分式的值为零，则x的值等于_____．10.16的算术平方根是___________．11.如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论________．12.比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”）．13.只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数，我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个，则抽到个位数是3的可能性是________．14.如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半如果BC＝2，那么点C到AB的距离为________．15.已知a，b是有理数，且满足，那么a＝________，b＝________．16如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP．如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．三、解答题17.计算：18.计算：19.计算：20.已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．21.解分式方程：（1）（2）22.已知：如图△ABC求作：点P，使得点P在AC上，且PC＝PB．作法：①分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②作直线MN，与AC交于P点，与BC交于H．（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵BM＝CM，BN＝CN，∴M、N在线段BC的垂直平分线上．（）（填推理的依据）即MN是AB的垂直平分线．∴点P在直线MN上．∴PC＝PB．（）（填推理的依据）23.先化简，再代入求值：，其中24.在《开学第一课》中，东京奥运会的奥运健儿们向新开学的同学们送上了“希望你们能像运动员一样，努力奔跑，刻苦学习，实现你们的梦想”的祝福．为了提高学生的体育锻炼的意识和能力，丰富学生的体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲乙两种跳绳的单价各是多少元？25.已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

化简：26.针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．以下是甲、乙两位同学的作法．甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）；A.两人都正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．27.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点直线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，．（1）如图1，当点为线段的中点时，猜想：的形状并证明；（2）当点在线段延长线上时，连接、、．①根据题意在图2中补全图形；②用等式表示线段、、的数量关系，并证明．28.我们已经学过如果关于x的分式方程满足（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为．我们称这样的方程为“十字方程”．例如：可化为∴再如：可化为∴应用上面的结论解答下列问题：（1）“十字方程”，则，；（2）“十字方程”两个解分别为，求的值；（3）关于“十字方程”的两个解分别为，求的值．

参考答案考生须知：1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题．2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．【详解】解：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选C．【点睛】本题考查了轴对称图形知识，属于基础题，掌握轴对称的定义是关键．2.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）A.a＝1 B.a＝－1 C.a＝2 D.a＝－2【答案】A【解析】【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值．【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式∴a+1=2a解得：a=1故选：A【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键．3.下列分式中最简分式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式逐项判断即得答案．【详解】解：A、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意；B、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意；C、是最简分式，故本选项符合题意；D、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了分式的约分和最简分式的定义，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．4.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（）

A.45° B.60° C.75° D.85°【答案】C【解析】【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．【详解】解：如图:∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，∴∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．故选C．

【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解答本题的关键．5.下列事件中，属于随机事件的是（）A.用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形B.用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形C.如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等D.有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据三角形三边关系判断A选项；根据勾股定理判断B选项；根据等腰三角形的性质：等边对等角判断C选项；根据全等三角形的判定即可判断D选项．【详解】A.因为，所以用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形为不可能事件，故此选项错误；B.因为满足勾股定理，所以用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形为必然事件，故此选项错误；C.因为三角形有两个角相等则这个三角形是等腰三角形，故等腰三角形等角对等边，所以如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等为必然事件，故此选项错误；D.根据SAS可以判断两三角形全等，但ASS不能判断两三角形全等，所以有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等为随机事件，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查随机事件，随机事件可能发生也可能不发生，必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，掌握随机事件的定义是解题的关键．6.等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（）A.50° B.80° C.50°或80° D.100°或80°【答案】C【解析】【分析】已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．【详解】解：等腰三角形的一个角是80°，当80º为底角时，它的一个底角是80º，当80º为顶角时，它的一个底角是，则它的一个底角是50º或80º．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．7.下列命题是假命题的是（）A.直角三角形两锐角互余 B.有三组对应角相等的两个三角形全等C.两直线平行，同位角相等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质，角平分线的性质逐项分析．【详解】A.直角三角形两锐角互余，正确，是真命题；B.有三组对应角相等的两个三角形，因为它们的边不一定相等，所以不一定全等，故错误，是假命题；C.两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；D.角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；故选B．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．8.如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，其内容是：两条短边的平方和等于长边的平方，则此三角形是直角三角形，为便于利用平方差公式计算，常常计算两条长边的平方差即两条长边的和与这两条长边的差的积，若等于最短边的平方，则此三角形是直角三角形．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.若分式的值为零，则x的值等于_____．【答案】2【解析】【详解】根据题意得：x﹣2=0，解得：x=2．此时2x+1=5，符合题意，故答案为2．10.16的算术平方根是___________．【答案】4【解析】【详解】解：∵∴16的平方根为4和-4∴16的算术平方根为411.如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论________．【答案】BC＝BD【解析】【分析】根据HL证明△ACB和△ADB全等解答即可．【详解】解：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴△ACB≌△ADB（HL），∴BC＝BD，故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△ACB和△ADB全等解答．12.比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”）．【答案】<.【解析】【详解】试题分析：∵∴故答案是：＜．考点：实数大小比较．13.只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数，我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个，则抽到个位数是3的可能性是________．【答案】【解析】【分析】先利用列举法求出个位数字是3的所有结果数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个数一共有6种等可能性的结果数，其中抽到个位是3的有3，13，23三种结果数，∴抽到个位数字是3的概率是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握列举法进行概率的计算是解决本题的关键．14.如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半如果BC＝2，那么点C到AB的距离为________．【答案】【解析】【分析】根据题干所给结论和勾股定理可求得AB和AC，再根据等面积法即可求得h．【详解】解：依据题意可得，根据勾股定理可得，设点C到AB的距离为h，则，即，解得，即点C到AB的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形，掌握等面积法是解题关键．15.已知a，b是有理数，且满足，那么a＝________，b＝________．【答案】①－2②.－1【解析】【分析】利用平方与算术平方根的非负性即可解决．【详解】∵，，且∴，∴，故答案为：－2，－1【点睛】本题考查了有理数的平方的非负性质及算术平方根的非负性质，即几个非负数的和为零，则这几个数都为零．掌握这个性质是本题的关键．16.如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP．如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．【答案】【解析】【分析】先根据题意发现OP是∠AOB的角平分线，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：由题意可得OP是∠AOB的角平分线，即∠MOH=∠AOB=45°∵MH⊥OB∴∠OMH=45°∴△OMH是等腰直角三角形∴OH=MH=2,∴OM=．故答案是．【点睛】本题主要考查了角平分线的做法、运用勾股定理解直角三角形，根据题意发现OP是∠AOB的角平分线是解答本题的关键．三、解答题17.计算：【答案】【解析】【分析】根据零指数幂，立方根，绝对值的性质，二次根式的混合运算，逐一化简合并同类项即可．【详解】解：，＝，＝．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，涉及的知识点有二次根式的混合运算，零指数幂，立方根，绝对值等知识点，熟悉掌握化简的方法是解题的关键．18.计算：【答案】【解析】【分析】由题意利用二次根式的性质结合完全平方差公式进行运算即可得出答案．【详解】解：，＝，＝．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握算术平方根化简以及完全平方差公式是解题的关键．19.计算：【答案】【解析】【分析】先计算括号里的减法，同时把除法变为乘法，最后约分即可．【详解】＝＝＝＝【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序及符号．20.已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．【答案】见解析【解析】【分析】证明△BAC≌△BDC即可得出结论．【详解】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC，在△BAC和△BDC中，∴△BAC≌△BDC，∴AC＝DC．【点睛】本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．21解分式方程：（1）（2）【答案】（1）x＝－3；（2）x＝－1【解析】【分析】按照解分式方程的步骤进行即可，但一定要检验．【详解】（1）方程两边同乘得：2（x＋1）＝x－1去括号得：2x＋2＝x－1解得：x＝－3检验：当x＝－3时，方程左右两边相等，所以x＝－3是原方程的解．所以原方程的解是x＝－3．（2）方程两边同乘得：去括号得：移项、合并同类项得：解得：x＝－1检验：x＝1是原方程的解．所以原方程的解是x＝－1【点睛】本题考查了解分式方程，其基本思想是把分式方程转化为整式方程，注意：解分式方程一定要验根．22.已知：如图△ABC求作：点P，使得点P在AC上，且PC＝PB．作法：①分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②作直线MN，与AC交于P点，与BC交于H．（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵BM＝CM，BN＝CN，∴M、N在线段BC的垂直平分线上．（）（填推理的依据）即MN是AB的垂直平分线．∴点P在直线MN上．∴PC＝PB．（）（填推理依据）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）按照题中的作法完成即可；（2）读懂每步推理及推理的依据即可完成．【详解】（1）补全的图形如下：（2）证明：∵BM＝CM，BN＝CN，∴M、N在线段BC的垂直平分线．（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）即MN是BC的垂直平分线．∴点P在直线MN上．∴PC＝PB．（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理与判定定理、用尺规作线段的垂直平分线，掌握这些知识是解题的关键．23.先化简，再代入求值：，其中【答案】，2【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把变形为代入计算即可求出值．【详解】解：，＝，＝，＝，＝x（x－2），＝，，变形为，原式＝＝2．【点睛】此题考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24.在《开学第一课》中，东京奥运会的奥运健儿们向新开学的同学们送上了“希望你们能像运动员一样，努力奔跑，刻苦学习，实现你们的梦想”的祝福．为了提高学生的体育锻炼的意识和能力，丰富学生的体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲乙两种跳绳的单价各是多少元？【答案】乙种跳绳的单价为42元，甲种跳绳的单价为32元【解析】【分析】设乙种跳绳的单价为元，则甲种跳绳的单价为元，根据题意列出方程求解即可【详解】设乙种跳绳的单价为元，则甲种跳绳的单价为元，依据题意列出方程为：，解得：，经检验：是所列方程的解，并且符合实际意义，∴，答：乙种跳绳的单价为42元，则甲种跳绳的单价为32元．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，分式方程注意检验．25.已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

化简：【答案】0【解析】【分析】由三个数在数轴上的位置即可确定它们的符号及大小关系，从而可确定a－b及c－a的符号，最后可化简绝对值与二次根式，从而可求得结果．【详解】由数轴知：∴，∴＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）＝－b－a＋b＋a－c＋c＝0【点睛】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简、数轴上数的大小关系等知识，注意：当a为负数时，．26.针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．以下是甲、乙两位同学的作法．甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）；A.两人都正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．【答案】（1）C；（2）见解析【解析】【分析】（1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；（2）按照乙的分析方法进行即可．【详解】（1）甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，故选C；（2）依据题意，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图．∵D为BC中点．∴．在△CAD和△BED中∴△CAD≌△BED(SAS)．∴，∵AD平分∠BAC，∴∴∴∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形【点睛】本题考查了全等三角形