2023新教材高中数学第五章三角函数任意角练习新人教A版必修第一册

第五章三角函数5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

知识

知识点一与任意角有关的概念辨析

1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240。所形成的角是（）

A.120°B.-120°C.240°D.-240°

答案D

解析由定义，知顺时针方向旋转240°即―240°.

2.已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的

角是（）

A.120°B.-120°C.270°D.-270°

答案D

解析分针旋转形成的角是负角，故所求分针旋转形成的角是（一360。）X—=-2700.

o0

3.射线力绕端点。逆时针旋转120°到达如位置，由段位置绕端点。旋转到达0C位

置，得—150。，则射线如旋转的方向与角度分别为（）

A.逆时针，270°B.顺时针，270°

C.逆时针，30°D.顺时针，30°

答案B

解析由题意可知，N408=120°,设4B0C=9,所以/加C=/AOB++

。=—150°,解得。=—270°,故需要射线/绕端点。顺时针旋转270°.

知识点二终边相同的角与象限角

4.与1303°终边相同的角是（）

A.763°B.493°C.-137°D.-47°

答案C

解析因为1303°=4X360°-137°,所以与1303°终边相同的角是一137°.

5.若a=-60°,则a是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

答案D

解析因为a=—60°=-1X360°+300°,故a是第四象限的角.

6.集合〃=｛。|。=公90°,4GZ｝中，各角的终边都在（）

A.x轴正半轴上

B.y轴正半轴上

C.x轴或y轴上

D.x轴正半轴或y轴正半轴上

答案C

解析集合〃表示终边在坐标轴上的角，故选C.

7.（多选）下列各对角中，终边相同的是（）

A.270°和公360°-270°（AeZ）

B.72°和792°

C.-140°和220°

D.1200°和2440°

答案BC

解析若两角的终边相同，则两角需相差4•360°（4GZ）,经验证，792°=2X360°

+72°,220°=360°+（—140°）,故选BC.

8.已知角。的终边过点尸（（一2），log2sin30°）,则角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

-1

解析V（-2）=—1,log2sin30°=log[=-1,.•.点尸的坐标为卜一1）,点尸

在第三象限，.•.角a是第三象限角.

9.—2020°是第象限角.

答案二

解析一2020°=-6X360°+140°,140°是第二象限角，所以一2020°为第二象限

角.

10.下列说法中，正确的是（填序号）.

①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③小于90°的角一定为锐角；

④角a与一a的终边关于x轴对称.

答案②④

解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400。的角是第一象限的角，但不是锐

角，故①说法错误；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故③说法错误，②④显然正确.

11.写出终边在直线了=小了上的角的集合.

解解法一：终边在y=/x（x>0）上的角的集合S={a|a=60°+k•360°,AGZ}；

终边在尸/x（x〈0）上的角的集合S={a|a=240°+^-360°,MZ}.

于是，终边在直线尸小才上的角的集合S=SUW={a|。=60°+人360°,k^Z}

U{aIa=240°+k•360°,AeZ)={a\a=60°+2k•180°,AEZ}U{a\a=60°+

(2^+1)•180°,"CZ}={a|a=60°+k-180°,AEZ}.

解法二：在0°〜180°范围内，当终边在y=/x(x〉0)上时，对应角为60°；旋转180°

后，终边落在y=/x(x〈0)上；再旋转180。，终边回到了=/x(x>0)上，故终边在直线y

上的角的集合S={a|a=60°+A,180°,k^Z].

a

12.已知。是第三象限的角，则彳是第几象限的角？

解解法一：：a是第三象限的角，

：.k-360°+180°<a<k-360°+270°(AeZ),

a

：.k^120°+60°<—<k*120°+90°(A£Z).

o

・••当A=3勿(R£Z)时，下■为第一象限的角；

O

a

当A=3勿+1(RGZ)时，k为第三象限的角；

U

a

当A=3必+2EGZ)时，彳为第四象限的角.

故?为第一或第三或第四象限的角.

解法二：把各象限分为3等份，再从x轴的正方向的上方起按逆时针顺序依次将各区域

标上一、二、三、四，一、二、三、四，…，如图，则标号为三的区域为9的终边所在的区

,a

域.由图可知，可是第一或第三或第四象限的角.

13.在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.

(1)最大的负角;(2)最小的正角;⑶360。~720°的角.

解(1)与10030°终边相同的角的一般形式为S=k•360°+10030°(AeZ),由一

360°<A-360°+10030°<0°,得一10390°<k•360°<-10030°,解得#=—28,故所求

的最大负角为£=—50。.

（2）由0°<^-360°+10030°<360°，得一10030°<k•360°<-9670°，解得孑=-27,

故所求的最小正角为£=310°.

（3）由360°<^«360°+10030°<720°,得一9670°〈"•360°<-9310°,解得"=一

26,故所求的角为8=670。.

知识点三区域角的表示

14.如图，终边落在阴影部分的角的集合是（）

A.{a|-45°W）

B.{ff|120°WaW315°}

C.{a\k>360°-45°a•360°+120°,k^Z}

D.{a\k>360°+120°WaWA・360°+315°,AGZ}

答案C

解析阴影部分的角从一45°到90°+30°=120°,再加上360°的整数倍，即

k'360°-45°WaW4・360°+120°,kH.

15.集合{a|"T80°+45°WaWAT80°+90°,«GZ}中的角。的终边在圆中的

位置（阴影部分）是（）

答案C

解析当A=2A,时，〃•360°+45°WaW〃・360°+90°,〃GZ；当A=2〃+l,

时，n-360°+225°WaW〃・360°+270°,〃GZ.故选C.

16.如图，终边落在勿的位置上的角的集合是；终边落在"的位置上，且在

-360°〜360。内的角的集合是；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是

答案{a|a=120°+k-360°,"eZ}{315°,一45°}{ff|-45°+

k-360°WaW120°+A«360°,AeZ)

解析终边落在OA的位置上的角的集合是{a|a=120°+4・360。，AEZ).终边落

在"的位置上的角的集合是{aIa=315°+A•360°,"GZ},取"=0,—1得a=315°,

—45°.故终边落在神的位置上，且在一3600~360°内的角的集合是{315°,—45°}.终

边落在阴影部分的角的集合是{a-45°+A-360°Wa(120°+A-36O0,4GZ}.

17.已知，如图所示.

（1）分别写出终边落在勿，如位置上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

解（1）终边落在的位置上的角的集合为{。|。=90°+45°+A-360°,4eZ}=

{|<z=135°+A«360°,次GZ},终边落在出位置上的角的集合为{£|£=—30°+

360°,Aez}.

（2）由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于［—30。，135。］之间的所有与之终边相

同的角组成的集合，故该区域可表示为{a1—30°+A-360°WaW135°+A-36O0,反

Z）.

18.如图所示的图形中，阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？

解在0°~360°范围内，阴影部分（包括边界）表示的范围是150°WaW225°,则满

足条件的角。为{。|人360°+150°WaWA・360°+225°,AGZ}.

易错特别练

易错点一以偏概全致错

若a是第一象限的角，则一］是（）

A.第一象限的角B.第四象限的角

C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角

易错分析利用a的特殊情形解答本题时，易考虑不全面.如令。=60°,则一券=

-30°,为第四象限的角，错选B.

答案D

a

正解解法一：由题意知，人360°<360°+90°,k^Z,贝Uk-180°<y

<k-180°+45°,

a

所以一4•180°-45°<--<-A>180°,kGZ.

aa

当人为偶数时，一2为第四象限的角；当人为奇数时，一万为第二象限的角.

解法二：由几何法易知1"为第一象限的角或第三象限的角，根据一1■与1"的终边关于x

轴对称，知一方为第四象限的角或第二象限的角.

易错点二解角的终边问题时忽略讨论才致错

已知。是第一象限的角，£是第二象限的角，试确定甘殳角的终边所在的位置.

易错分析本题易因忽略讨论次值而得到如下错解：

由已知得4•360°<<z<90°+k-360°,AGZ,①

90°+k>360°<£<180°+k-360°,AeZ.②

①+②，得90°+24•360°<a+£〈270°+2A-360°,k^l,

a+£

.•.45°+4・360°<―--<135°+k-360°,k^Z.

d+B

由上式知，一^角的终边在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上.

正解由己知得在•360°<ff<90°+Ai•360°,AeZ,①

90°+A-2•360°〈£〈180°+4•360°,&GZ.②

①+②，得90°+（A+A2）-360°<。+£<270°+（左+左）-360°,鼠,左eZ,

Q+B

・・・45°+（左+在）-180°<―--<135°+（左+左）-180°,左，k2^Z.

Q+BG+B

当人+左=2M〃eZ）时，45°+;»-360°<―--<135°+«•360°,―--角的终边在

第一象限或第二象限或y轴的正半轴上；

CL+Ba+B

当左+在=20+1①£Z）时，225°+勿・3600<---<315°+勿・360°,---角的终

边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.

课时综合练

一、单项选择题

1.下列说法中，正确的是()

A.第二象限的角都是钝角

B.第二象限角大于第一象限的角

C.若角a与角£不相等，则a与£的终边不可能重合

D.若角。与角£的终边在一条直线上，则0—£=4•180°(AGZ)

答案D

解析A错误，495°=135°+360°是第二象限的角，但不是钝角；B错误，a=135°

是第二象限角，£=360°+45°是第一象限的角，但a〈£；C错误，a=360°,£=720°,

但二者终边重合；D正确，a与£的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差

180°的整数倍，故。一£="・180°("GZ).

2.若角a的终边经过点”(0,-3),则角a()

A.是第三象限角

B.是第四象限角

C.既是第三象限角，又是第四象限角

D.不是任何象限的角

答案D

解析因为点〃(0,—3)在y轴负半轴上，所以角a的终边不在任何象限.

3.集合A={a\a=A・90°—36°,k《Z},6={£|一180°〈£〈180°},则AA6=

()

A.{-36°,54°}

B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}

D.{-126°,54°}

答案C

解析令A=—1,0,1,2,则48的公共元素有一126°,-36°,54°,144°.

4.若a是第四象限的角，则270°-a是()

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

答案D

解析•:a是第四象限的角，+A-360°<a〈A・360°,k^Z,贝U270°一

k-360°<270°—a〈360°~k-360°,4eZ,故270°―。是第四象限的角.

5.角a=45°+k-180°,4GZ的终边落在()

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

答案A

解析当"为偶数时，。的终边在第一象限；当A为奇数时，a的终边在第三象限，故

选A.

6.若角a与£的终边关于x轴对称，则有（）

A.。+£=90°

B.。+£=90°+A-360°,kGZ

C.aP—2k,180°,孑eZ

D.a+£=180°+A«360°,k^1

答案C

解析•：a与目的终边关于x轴对称，；.£=2A・180°-a,"GZ.a+£=

2A•180°,2dZ.故选C.

7.如图，a,£分别是终边落在射线的，如位置上的两个角，且。=60°,£=315°,

则终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为（）

A.{y\k-360°-45°<r<A«360°+60°,AeZ}

B.{y\k-360°-135°<r<A«360°+120°,#ez}

C.{r|7f•180°-45°<y<k>180°+60°,AEZ}

D.{r|A«180°+45°<180°+135°,k^l}

答案A

解析因为一45°角是与£终边相同的一个角,所以阴影部分（不包括边界）所表示的角

的集合为{川#.360°-45°<360°+60°,AeZ}.

8.已知角2a的终边在x轴的上方，那么。是（）

A.第一象限角B.第一或第二象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

答案C

解析因为角2a的终边在x轴的上方，所以A•360°〈2。〈4・360°+180°,MZ,

则有彳780°<a<k-180°+90°,4GZ.故当4=2”，时，n•360°<a<n-360°+

90°,a为第一象限角；当次=2〃+1,时，n-360°+180°<a<n-360°+270°,

a为第三象限角.故选C.

二、多项选择题

9.关于角度，下列说法正确的是（）

A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60。

B.钝角大于锐角

C.三角形的内角必是第一或第二象限角

D.若£=（?+4•360°（"GZ）,则角a与角£终边相同

答案BD

解析对于A,时钟经过两个小时，时针转过的角是一60°,故错误；对于B,钝角一定

大于锐角，显然正确；对于C,若三角形的内角为90°,是终边在y轴正半轴上的角，故错

误；对于D,两个角的终边相同，则两个角相差360。的整数倍，故正确，故选BD.

a

10.已知a是第三象限角，则万可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案BD

解析因为a是第三象限角，所以八360°+180°<360°+270°,k^T,所

以4780°+90°180°+135°,AGZ.当“为偶数时，£•是第二象限角；当人为奇

数时，最•是第四象限角，故选BD.

11.下列四个选项正确的是（）

A.-75°角是第四象限角B.225°角是第三象限角

C.475°角是第二象限角D.-315°角是第一象限角

答案ABCD

解析对于A,如图1所示，一75°角是第四象限角；对于B,如图2所示，225°角是

第三象限角；

对于C,如图3所示，475°角是第二象限角；对于D,如图4所示，一315。角是第一象

限角.故选ABCD.

12.若角a的终边在直线y=—x上，则角a的取值集合为（）

A.{a\a=k-360°-45°,AdZ}

B.{ff|a=k・360°+135°,4GZ}

C.{a[a=4・180。+135°,"ez}

D.{a[a=h180°—45°,k^z}

答案CD

解析直线y=一x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°〜360。

范围内终边在直线尸一x上的角有两个：135°,315。.因此，终边在直线y=—x上的角的

集合S={a|a=135°+"•360",k^Z}U{a|a=315°+A«360°,"GZ}={a|a=

135°+2A«180°,"dZ}U{a|a=135°+(2^+1)•180°,"GZ}={a|a=135°+

k-180°,AeZ}.或者表示为S={a|a=h180°-45°,AeZ}.故选CD.

三、填空题

13.-378°是第象限角.

答案四

解析—378。=-360°—18°,因为一18°是第四象限角，所以一378。是第四象限角.

14.50。角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角

是.

答案一1030。

解析顺时针方向旋转3周转了一(3X360°)=—1080°,又50°+(—1080°)=一

1030°,故所得的角为一1030°.

9

15.若角&的终边与60°角的终边相同，则在0°〜360。内终边与彳角的终边相同的

角为.

答案20°,140°,260°

6

解析由题意设。=60°+A-360°("GZ),则可=20°+A-120°(AeZ),则当孑=

0

0,1,2时，彳=20°,140°,260°.

16.已知集合A={a\k>180°+30°<a<k-180°+90°,k^l},集合B=

{£h•360°-45°<£〈A・360°+45°,AeZ},则/C8=,AUB=.

答案{。|30°+4•360°〈夕〈45°+k-360°,4eZ}{y\k-360°-

45°<360°+90°或4・360°+210°<r<A-360°+270°,AeZ}

解析集合4集合6表示的角的区域如图所示，则AC8={/30°+A-360°<"45°

+"•360°,AeZ},AU{r\k-360°-45°<360°+90°或360°+

210°<y<k>360°+270°,AeZ}.

四、解答题

17.在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何

时重合？请写出理由.

解时针每分钟走0.5。，分针每分钟走6。，秒针每分钟走360。，本题为追及问题.

(1)一昼夜有24X60=1440(分钟)，时针和分针每重合一次间隔的时间为罟分钟，

6—0.5

1440

所以一昼夜时针和分针重合的次数为一k=22.

360

6-0.5

(2)假设时针不动，分针转一圈与时针两次形成直角，但一昼夜时针转了两圈，则少了4

次垂直，于是一昼夜时针和分针形成直角的次数为24X2-4=44.

(3)秒针与分针每重合一次间隔的时间为兽宗分钟，由于房［与含7的“最小公倍

数”为720,而72