小学数学基于模型视角 凸显单位“1”

【摘

要】在小学阶段，有关分数乘、除法的“解决问题”是学习的难点。教师可引导学生通过“表达单位‘1，借助图式模型理解关系；变换单位‘1，借助模型理解数量关系；统一单位‘1，解构模型来解决问题”等过程，提升问题分析技巧，提高对分数意义的理解与应用水平，改善对分数问题的认知结构，发展数学思维。【关键词】模型；单位“1”；分数问题在小学阶段，“1”有两方面含义。一是具体量的1，即自然数的基本单位，几个1就是几；二是抽象概念的1，即单位“1”。一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，用1来表示。自然数1是单位“1”认识的基础，同时单位“1”的认识，又是数学抽象认知的开端。小学阶段是学生的认知从自然数1向单位“1”过渡的关键时期。教师可以图1为例，引导学生理解从自然数1到单位“1”的发展过程。如图1所示，三幅图中的“1”具有不同的含义：①号图将1个苹果抽象为1，表示自然数1，图中有6个苹果，表示6个1；②号图将2个苹果看作1份，此时原来的6个苹果就成了3份，即3个1份；③号图将6个苹果看作一个整体，也就是分数认识中所说的单位“1”，此时表征1个苹果要用分数?。从以上变化过程不难看出，建立“1”视角的本质是人们在与情境的互动中，根据不同对象或解决问题的需要而给出的数学抽象的过程。建立单位“1”是认识分数的起点，也是解决分数问题的基础。然而，在教学实践中，时常存在学生对单位“1”的理解不透彻、套用形式化的数量关系、借助机械性的解题方法等问题。基于上述认识，笔者以人教版教材六年级上册“分数乘法”“分数除法”单元中的“解决问题”为例，从数学模型出发，引导学生着眼于单位“1”的厘清与建构，探究解决分数问题的基本策略。一、表达单位“1”，借助图式模型理解关系解答分数乘、除法问题的关键是能准确找出单位“1”。那么，如何从问题情境中理解单位“1”，再从单位“1”入手，把握相应的数量关系呢？教学中，教师可以引导学生借助“图形”的表达，将文字信息转化为图式信息，于图式模型中理解相应的数量关系。（一）利用面积模型，理解整体与部分的关系当分数表示整体与部分的关系时，对这一关系的分析就成为解决分数问题的关键，能使许多分数问题的解答变得简单明了。【例1】一根绳子长6米，剪去了?，剪去了几米？例1中，“一根绳子”是整体，“剪去的”为部分，并且隐藏了另一部分，即“剩下的”。教学时，可以追溯到分数的意义：把“一根绳子”（整体）平均分成6份，“剪去的”（部分）是其中的5份，“剩下的”（部分）是其中的1份。这样学生自然就能联系到是把整体看作单位“1”。当引导学生用图形表示出绳子“总长”与“剪去部分”的关系时，除了让学生用线段图表示外，还可以让学生用面积模型图（如图2）来表示。这不仅能强化整体（单位“1”）与部分之间的关系，还能丰富学生的表征方式。（二）利用集合模型，把握变与不变的关系当分数表示分率时，需要分析相应分数所表示的意义，把握“分率”的本质，将信息背后可变的量与不变的关系表达出来，并应用关系的不变性来解决相应的问题。【例2】植物园里有120棵桃树，是杨树的?，杨树有多少棵？解决此问题的关键是厘清?的含义。“杨树的?”，就是把“杨树的棵数”作为一个整体（即单位“1”）平均分成4份，其中的3份是桃树。由此，得到相应的数量关系：桃树的棵数÷3×4=杨树的棵数。学生解答问题时，可先根据桃树的棵数算出1份的量，杨树有这样的4份，所以桃树的棵数×4就等于杨树的棵数。若辅之以图式，则可以集合图（如图3）的形式加以表征。从图中信息可知，桃树棵数是杨树棵数的?，所以它们之间始终是3份和4份的关系，只是杨树棵数会随着桃树棵数的变化而变化。现在已知3份的量，即知道单位“1”的量的?是120棵，就可列式[120÷34]，求得单位“1”的量。（三）利用线段模型，厘清比较量与标准量的关系分数问题中有一类是量与量之间的比较问题，解答此类问题，需要正确把握比较量与标准量（单位“1”），厘清两者之间的关系。【例3】妈妈买了一件衣服，原价是240元，现价比原价便宜了?，现价是多少元？解答此问题时，很多学生不清楚应该把谁看作单位“1”。因此，教师教学时要从分数?的意义出发，利用线段模型，帮助学生理解题目中的单位“1”是谁。教师可以引导学生通过分析线段模型（如图4）来理解题目中?表示的意义：“便宜的?”是“原价的240元”平均分成3份后，“现价”处用虚线表示的少的这1份，即与原价相比，现价是在原价3份的基础上减少1份。因此，“原价的240元”是本题的单位“1”。二、变换单位“1”，借助模型理解数量关系分数问题中，单位“1”的转化属于相对较难的问题。解答此类问题的关键，是正确合理地确定和转化单位“1”的量。例如：甲数比乙数多?，乙数比甲数少?。在“甲数比乙数多?”这段信息描述中，单位“1”为乙数；在“乙数比甲数少?”这段信息描述中，单位“1”为甲数。碰到这样的问题，学生容易混淆单位“1”。为帮助学生理解单位“1”转换的过程，理解相互之间的关系，教学中，教师可以采用以下两种方式。（一）“分总”关系转化，理解部分量与部分量的倍数关系【例4】某班缺席人數是出席人数的[15]，缺席人数占全班人数的几分之几？让学生根据题意用模型表示（如图5）。题目中的[15]表示把出席人数平均分成5份，缺席人数就是1份。再根据“总量=部分量＋部分量”，可得总量为（1+5）份，把以部分量为单位“1”转化为以总量为单位“1”，即可得到“缺席人数是全班人数的?”。【例5】某车间男职工人数占车间总人数的[4/7]，车间男职工人数比女职工人数多几分之几？让学生根据题意用模型表示（如图6）。依据本题的模型可以看出，把车间总人数平均分成7份，男职工占了其中的4份，女职工占了（7-4）份。因此，男职工人数比女职工人数多了（4-3）份，即男职工人数比女职工人数多了[4-37-4=13]。（二）“续变”关系转化，理解单位“1”的变与不变【例6】甲数是乙数的?，乙数是丙数的?，丙数是甲数的几倍？让学生根据题意用模型表示（如图7）。根据甲数、乙数、丙数三个数之间的关系，可将最小量甲数视为单位“1”，那么乙数就是甲数的[3/2]，而乙数又是丙数的?，由此可得出丙数的?=甲数的[3/2]，即丙数是甲数的[32÷34=2]（倍）。类似这样的问题，都可以通过先确定某个量为单位“1”，然后进行信息的转化，找到其他量与单位“1”的量的关系，借单位“1”的量来统一其他量进行解决。可见，在教学分数“解决问题”的过程中，根据题目信息，寻求具体数量与分率的对应关系，对“1”进行转化，使较为隐蔽的关系变得明朗，是一种相当重要的解决问题的策略。三、统一单位“1”，解构模型来解决问题当将分数乘法与分数除法整合起来综合运用时，会产生一些较为复杂的分数问题。解答此类复杂分数问题，需要深挖信息，理解题目中部分量与单位“1”、部分量与部分量之间的关系。在教学实践中，教师主要可以采用以下两种方式。（一）回归情境，找出信息之间的对应关系通过简单分数问题的学习可知，部分量对应部分量与单位“1”的分率，而它们相除的值则是单位“1”对应的量。那么，解答复杂分数问题时，是否可以此为突破口去分析相关信息，从而找到合适的解题路径呢？【例7】一批零件，王师傅每天做60个，做了2天后，李师傅帮忙一起做，4天后全部完成，这时李师傅做了全部零件的?。这批零件一共有多少个？让学生根据题意用模型（线段图）表示（如图8）。根据题目的情境，可以厘清这几条信息。（1）将“一批零件”看作单位“1”。（2）全部工作量可以分成三个部分：王师傅单独做的部分（每天60个，做了2天）、两人同时工作时王师傅做的部分（4天的量）、两人同时工作时李师傅做的部分（4天，全部工作量的?）。（3）要解答的问题：单位“1”的量是多少？分析上述相关信息可知，李师傅完成了全部工作量的?，那么，王师傅完成的就是全部工作量的?。又因为王师傅完成的工作量可以用“工作效率×工作时间”来计算，即60×（2+4）=360（个），所以要求单位“1”的量，可以用[360÷23]进行计算。（二）梳理关系，解构量率的依存关系分数与除法、比之间有着密不可分的关联。“比”相关知识的学习，为学生解决复杂的分数问题提供了更为多元的解题思路。对于某些问题，完全可以利用比与分数的联系，结合量率间的依存关系进行解答。【例8】花园里有牡丹花36朵，

月季花朵数是牡丹花朵数的?，凤仙花朵数是月季花朵数的?。凤仙花有多少朵？让学生根据题意用模型（线段图）表示（如图9）。解决这类较复杂的分数问题，可以借助线段图进行分析。月季花朵数是牡丹花朵数的?，即把牡丹花朵数看作单位“1”，将其平均分成3份，月季花朵数即为2份；凤仙花朵数是月季花朵数的?，即把月季花朵数看作单位“1”，将其平均分成2份，凤仙花朵数即为1