专题6-1数列的概念8大考点

专题61数列的概念8大考点知识点一数列的有关概念1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2、数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N*递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数M，使摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对n∈N*，存在正整数常数k，使3、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．知识点二数列的通项公式1、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、已知数列的前n项和Sn，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))3、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理.二、由an与Sn的关系求通项1、已知求的3步骤（1）先利用求出；（2）用替换中的得到，利用便可求出当时的表达式；（3）注意检验时的表达式是否可以与时的表达式合并．2、与关系问题的求解思路：根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用转化为只含，的关系式，再求解．（2）利用转化为只含，的关系式，再求解．三、由递推关系求数列的通项公式的常用方法1、已知且，可用“累加法”求.2、已知且，可用“累乘法”求.3、已知且，则(其中可由待定系数法确定)，可转化为等比数列．4、形如(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．四、数列周期性解题策略1、周期数列的常见形式（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．五、数列的单调性及应用1、解决数列的单调性问题的3种方法（1）用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列．（2）用作商比较法，根据(或)与1的大小关系进行判断．（3）结合导数的方法判断．2、求数列最大项或最小项的方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：①若有（或时，），则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为；②若有（或时，），则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为．考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】（2023·全国·高三专题练习）数列…的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】该数列的一个通项公式为，故选：D【变式11】（2021·全国·高三专题练习）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，正确.故选：D【变式12】（2023·全国·高三专题练习）数列的一个通项公式（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，数列的前8项为故A错误；对于B，数列的前8项为故B错误；对于C，数列的前8项为故C错误；对于D，数列的前8项为故D正确；故选:D.【变式13】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，故B中通项公式不正确；对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C中通项公式正确；对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.故选：ACD【变式14】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为.【答案】【解析】因为2，6，12，20，30分别可分解为，所以的第n项的分子可表示为；因为3，5，3，5，3分别减4得，所以数列的第n项的分母可表示为，故数列的一个通项公式为.故答案为：.考点二数列中的规律问题【例2】（2023·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，所有项的个数和为55，第56项为12，故选：B.【变式21】（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（）A．110B．128C．144D．89【答案】C【解析】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，所以，，又因为，，所以，；，；，；，；，；．故选：C.【变式22】（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为．【答案】120【解析】由题意，从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形，新六边形每条边上的点数比原来多一个，因此我们有：，，，,,，，．故答案为:120.【变式23】（2022·全国·高三专题练习）已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．当时只有1个；当时有2个；当时有3个；…；当时有个；其上面共有个数对．所以第个“整数对”为，第个“整数对”为，故选：C．【变式24】（2023·全国·高三专题练习）（多选）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，比如图中的，，，，，，…这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数，类似地，把，，，，…叫做正方形数，如图，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】设三角形数从小到大排序，构成数列，正方形数从小到大排序，构成数列，则，，对于A，，，既是三角形数又是正方形数，A正确；对于B，，无正整数解，是正方形数，不是三角形数，B错误；对于C，，无正整数解，是正方形数，不是三角形数，C错误；对于D，，，既是三角形数又是正方形数，D正确.故选：AD.考点三由an与Sn的关系求通项【例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，则．【答案】【解析】由于，当时，得到，当时，①，又②，由可知，②①得，因此（），当时不满足该式，所以．故答案为：.【变式31】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】B【解析】由题意，，，两式相减，得，．，．当时，，，是首项为1，公差为1的等差数列．．故选：B【变式32】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则（）A．B．2nC．D．【答案】D【解析】令，由可得：，两式作差可得：，化简整理可得：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，进而可得：．故选：D．【变式33】（2023·内蒙古赤峰·高三校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，点在曲线上，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知，所以，当时，，解得或（舍），当时，，，所以，两式作差得，整理得：，因为，所以，所以，，所以，数列是以为首项与公差的等差数列，所以.故选：A【变式34】（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，有，所以，当时，由，，两式相减得，此时，，也满足，所以的通项公式为.故选：B.【变式35】（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则．【答案】【解析】由，得到，然后两边同除以得到，即，于是数列是公差为的等差数列．而，于是，进而得到，所以当时，有（）．综上所述，．考点四利用数列的递推关系求通项【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．【答案】（）【解析】因为，所以（），…，，所以（）（累加），又，所以（），因为当时，，所以（）．【变式41】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．【答案】（）．【解析】因为，且，所以，所以，所以（）即，，，，将个式子相乘得（），因为，所以（），又当时，，所以（）．【变式42】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求.【答案】【解析】由，得，所以数列是以首项为，公比为的等比数列.所以，即.当时，，此式也满足，故.【变式43】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.【答案】【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，，∴.【变式44】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列中，，则数列的通项（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，令，则①式变为，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，即，所以，所以，解法二：设，则，与比较可得，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D【变式45】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.【答案】【解析】依题，记，令，求出不动点；由定理2知：，；两式相除得到，∴是以为公比，为首项的等比数列，∴，从而．考点五数列的周期性【例5】（2023秋·湖南·高三校考阶段练习）若数列满足,，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,，所以有，因此数列是以为周期的数列，所以.故选：D【变式51】（2023秋·江苏无锡·高三统考开学考试）已知数列满足．若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，，，，…故数列周期为4，则.故选：B【变式52】（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）数列中，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，知：；由得：，，即，，即数列是以为周期的周期数列，.故选：B.【变式53】（2023秋·北京东城·高三校考开学考试）在数列中，，则.【答案】【解析】，，所以数列是周期为的周期函数，，所以.故答案为：【变式54】（2023春·河南·高三阶段练习）数列满足，，则的前2023项和.【答案】1351【解析】因为，所以，则从第3项起以3为周期的周期数列，所以.【变式55】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的前2023项和S．【答案】1013【解析】因为，且，所以，，，…，由，故数列是周期为3的周期数列，所以.故答案为：1013.考点六数列的单调性【例6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】对于A，，数列为递减数列，A错误；对于B，，数列为递增数列，B正确；对于C，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，当为偶数时，，数列不是递增数列，D错误，故选：BC.【变式61】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若为递增数列，则，则有，对于恒成立．，对于恒成立，．故选：A．【变式62】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得，时，，而要满足，故要单调递减，所以，从而，还需满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【变式63】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是.【答案】【解析】已知，①若，即时，可得解得或（舍去）②若，即时，可得，即，解得（舍去）因此．又对任意，有，，即，解得或（舍去，当时，不满足）综上所述，．【变式64】（2023·全国·高三专题练习）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.【变式65】（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）在数列中，已知，则“”是“为单调递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】已知为单调递减数列，所以恒成立，即对任意的恒成立，因为函数在上单调递减，故，故.因为，因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件，故选：B.考点七数列中的最大(小)项【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（）A．1，B．0，C．，D．1，【答案】A【解析】因为，所以当时，，且单调递减；当时，，且单调递减，且，所以最小项为，最大项为.故选：A.【变式71】（2023·全国·高三对口高考）数列的通项公式是，则该数列中的最大项和最小项依次为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以当时，且随着增大，减小，故为最大项；当时，且随着增大，减小，故为最小项.故选：B【变式72】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项的积为，若，则的最大值为（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】，，，，可得；当时，，，∴，∵时，，∴，∴当时，，当时取等号，综上，当或5时，取最大值.故选：A．【变式73】（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则此数列最大项的值是.【答案】【解析】因为，故当或时，取得最大值.【变式74】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的最大项的值是．【答案】4【解析】根据以及，可知，所以①，则②，由②①得，即，因为，所以与同号，又因为，且，所以，所以数列为单调递减数列，所以因此数列的最大项是，其值是4．【变式75】（2023·江西萍乡·高三校考一模）已知数列，下列说法正确的是（）A．有最大项，但没有最小项B．没有最大项，但有