数学（选修2-2）课件4.3.2函数的极大值和极小值

第四章导数及其应用4.3.2函数的极大值和极小值4.3导数在研究函数中的应用学习目标重点难点1.结合图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2.理解函数极值的概念．3.能结合图象直观理解函数的极值与导数的关系．4.会求函数的极值，并能确定是极大值还是极小值．5.学会使用列表的方法来研究函数的极值与单调情况.1.重点：理解函数的极值的概念，并会求函数的极值．2.难点：会用导数研究函数极值.1．函数的极值的有关概念在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在_________________都_______x0点的函数值，称点____为函数y＝f(x)的___________，其____________为函数的________.在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在________________都______x0点的函数值，称点____为函数y＝f(x)的___________，其____________为函数的_________.极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为_________.任何一点的函数值小于x0极大值点函数值f(x0)极大值任何一点的函数值大于x0极小值点函数值f(x0)极小值极值极值点温馨提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值相比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点．2．求函数极值点的步骤(1)求出_____________.(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在___________________[即f(x)的单调性]，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“____________”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“___________”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的_____________，则x0不是极值点．导数f′(x)x0左右两侧的符号左正右负左负右正符号相同一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法如下：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么x＝x0是极大值点．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么x＝x0是极小值点．求函数的极值点

求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点．[思路点拨]先求导，再令导函数为0.再对导函数为0的自变量的值进行判断是极大值点还是极小值点．

【点评】使f′(x)＝0的解不一定是极值点．f′(x)在x＝x0处左右两侧变号，从左向右，若由正变负则x＝x0是极大值点，若由负变正则x＝x0是极小值点．答案：(1)C

(2)A函数的极值研究是导数应用的关键知识点，可加深对函数单调性与其导数关系的理解．函数y＝f(x)的导数存在时，f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的必要条件，只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反，才能断定函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值．求函数的极值

求下列各函数的极值：

[思路点拨]按照求极值的方法，首先从方程f′(x)＝0入手求方程的根，再研究各根左右的符号．【点评】求极值的步骤如下：(1)求导f′(x)；(2)令f′(x)＝0；(3)解方程；(4)列表；(5)判断并求出极大(小)值．

已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．由函数的极值(点)求参数值(范围)【点评】

f′(x0)＝0是x＝x0为极值点的必要不充分条件．根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值．若未验证x＝－1两侧函数的单调性，则会错．3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是______________.解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，若函数f(x)有极大值和极小值，则f′(x)有两个零点．令f′(x)＝0，则Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)>0.解得a<－3或a>6.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)1．按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.2．极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可．3．极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．4．在区间上单调的函数没有极值．5．对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点．6．可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f