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文档简介
6.数列递推公式与通项公式
i.累加法.................................................................1
2.累积法................................................................3
3.周期数列..............................................................4
4.Sn型.................................................................7
5.观察猜想归纳型........................................................8
6.二阶等比数列.........................................................11
7,分式倒数等差型.........................................................12
8.高次取对数型.........................................................14
9.二阶等差等比函数型...................................................15
10.因式分解型..........................................................17
11.复合数列型..........................................................18
12.二阶“和”型数列....................................................20
13.综合构造型..........................................................21
1.累加法
【典例分析】
己知数列{%}满足q=。,“2“=%i+2"(weN*),生用=%,+(T)"(〃€N*),则数列{",}
的第2022项为()
A.2,0"-2B.2m2一3
C.2,,)|2-2D.2,0,,-1
【答案】C
【分析】先求出的,通过条件得到。2“=4-+2"+(-D"T,再利用累加法即可求解.
【详解】由4=0,/“=%,i+2"("eN*),可得%=%+2=2
由«2„+i=%,+(T)"得«2„-i+(T)'i(〃eN\«>2),
又%”=+2",可得%”=a2n_2+2"+(T严,
所以%=+2?+(-1),4=。4+2,+(-1)2,4=4+24+(-1)3,9^2022=6^2020+21011+(-1),
将上式相加得―2=%+(—l)+(—l)2+L+(-l),0,°+22+23+L+2,0,,
=2+4-(.-2-)=2„„2_2
1-2
【变式训练】
1.在数列{。“}中,4=2,^=-^+ln^l+^j,则a“=()
A.4B.2+(〃—l)ln力C.l+〃+ln〃D.2〃+〃ln〃
【答案】D
_.,_1rL../口,।c1,〃+1,,,cia”i,〃ci,a”),n—1
【详解r】由题1意得,*■=jtt+ln——,则」ft=*-+ln——,=tl江=j^+ln----
n+1nnnn-\n-\n-\n-2n—2
&=5+1/,
211
由累加法得,—+ln—++ln-,即&!•=%+In(上不":•~
n1n-1n-21n\n-in-21
则4t=2+ln〃,所以%=2〃+〃ln/7
n
2.在数列{4}中,q=;,an+l-an=五一,则该数列的通项公式%=
数列{4}中最小的项的值为.
4»-3
【答案】
4/?-22
【详解】由题意知,%一4二看弓贵一票7.当在2时'
4=(%一。,1)+卜*一4-2)++(的一《)+4
;(小T£卜;导?一止工扑金卜;二拦
4-
4〃一3
当〃=1时,也满足该式,故该数列的通项公式。〃=-----;
4n-2
由%=3(1一止J+;,结合反比例函数的单调性可知当“21时,数列{4}为单调递增
数列,故数列{风}中最小的项的值为4=;.故答案为:拦!;!
n2
3.己知数列{6,}满足4=-1,an-an_}=(-l)-n(/?..2,eN*),则4oo=.
【答案】5050
【分析】【详解】因为q=—l,a“-a,i=(-1)"♦rr(n..2,〃eN*),
22
所以“lOO—。99=10。-,心—“98=-99,...,a2—Oj=2,左右分别相加得:
2222222222
a100=-l+2-3+4-99+100,=(-l+2)+(-3+4)++(-99+100)
=(-1+2)(1+2)+(-3+4)(3+4)++(-99+100)(99+100),
=l+2+3+4+99+100.
=100X100^)=5050。
2
2.累积法
【典例分析】
已知数列{«„}的前〃项和为s„,«,=1,S„=n2a,,(〃eN*),则数列{«„}的通项公式为
2
【答案】4=7-
〃(及+1)
【详解】
2
由可得当"22时,Sn_1=(«-1)an_x,
则an=S“_%=n2a„-(n-l)2a„_,,即(n2-1)氏=(〃-,故+=士1,
a
n-\十1
.ana,,-\an-24a2„_n-X〃-2〃一3212
。〃_2an-3a2a\九+1n〃-143〃(〃+1)
22
当“=1,4=1满足an=〃([[).故数列{a„}的通项公式为an=拓币y.
【变式训练】
1.已知数列{4}满足q=2,(2〃-1)。,用=(2〃+l)a.5cN*),则%=.
【答案】18
【解析】
_2〃+1a2a32n-l
得。〃=4=4〃-2
an2n-14%2〃一3
则。5=18。
a,〃+2
2.已知数列满足二皿=——(〃eN*),且q=l,则4=
%〃
【答案】c
2
%3a,4a5an+1.、
【解析】根据题中条件可以得到一二7二二:^上A二工…,jn=—;z(〃之2),将以上式
a11a22a33an_}n-1
a345n+1n{n+1)«(n+l),、与、
子累乘可得」n^=丁彳・丁・・・・一7=^—72=—^(^^2),当〃=1时上式也成立,故
q123n-11x22
n(n+l)
3.已知数列{叫满足智=誓,4=3,则数列的}的通项公式是()
A.4=3〃B.an=n+2
C.an=2n+1D.4=3/
【答案】A
【分析】由题意可得数列[个}为首项为3的常数列,从而可得出答案.
【详解】由题意得&=%,即&=&=L=今=?=3
/?+1nn+\n21
所以数列{?1是以;=3首项为的常数列,则£=3,得。“=3”.故选:A
3.周期数列
【典例分析】
在数列{%}中,q=-2,a“+i=i--则生口棒的值为(
【答案】B
【解析】
1Ia2=1----=1------=----
由J=1一7,得'«„+l1—。“.所以
"a"
〃一1一1
an+3—1—1i——an
4+2I•
,>1।
即数列{4“}以3为周期的周期数歹!L所以的016=。3==]•故选B-
【变式训练】
1..己知数列{a,J的前〃项和为S“,4=1,〃=2,an+2-an+l-an,则82019=.
【答案】4
【分析】
归纳出数列的周期,求出一个周期的和,即得解.
【详解】
由题得。3=。2-4=2-1=1,
〃4=〃3—。2=1—2=-1,
%=%—=-]—]=-2,
=。5-%=-2_(-1)=_1,
%=。6—〃5=T-(-2)=1,
必=%—%=1-(—1)=2,
所以数列的周期为6,q+a2++6=0,
2019=6x336+3,
所以4^2019=q+生+%=1+2+1=4.
故答案为:4
2.若数列{q}满足4=2,%=3,4=也(〃之3且〃wN*),则出018等于()
an-2
12
A.-B.2C.3D.一
23
【答案】C
【分析】
先由题设求得数列{%}的前几项,然后得到数列{”“}的周期,进而求得结果.
【详解】
因为q=2,a,=3,«„(〃23且〃€1<:),
*
2
a_3〃__2_1
2%=2=_1
所以生=a5--_Q_彳
4=生3
7一532I
2
12
%3-263-_%|=3
--
==1---=-2,
%3%14
--
233
所以数列{。,}是周期为6的周期数列,
%-1,%>1
3.已知数列{4}满足4=J5,〃eN"),则“2021=<)
«„
+|一,0<。“<1
A.V2-1B.V2c.V2+1D.2
【答案】A
【分析】
由递推公式求出数列的前几项,即可得数列{%}的周期为3,从而可求得的02L
【详解】
4-l,a.>1
解:因为q=0,用1n(〃eN*),
—,0<<1
所以%=q_1=V2—1,
—1=5/2,
a4—1=>/2-1,
4=—=y/2+l,
所以数列{%}的周期为3,
因为2021=3x673+2,
所以“2021=%=&-1,
故选:A.
4.Sn型
【典例分析】
2
已知数列{为}的前〃项和为S,=:-3〃,则通项公式为.
【答案】4=,一§("="
-2-3"-'(n..2)
【分析】由4=工计算q,由当〃22时由a〃=S“-Si求出/,即可得.
777
【详解】;数列{%}的前〃项和为5"=(一3",.•.当〃=1时,《=,=:—3|=-:,
当〃上2时,a.=S"-S“T=(g-3")-(|-3"T)=_2x3"T,而4=一],不适合上式,
7[7
所以4=「3("=”,故答案为:q,=『3("=D.
-2・3"T(〃..2)〔UTS..2)
【变式训练】
1.已知为数列{〃〃}的前〃项和,且log2(S〃+l)=〃+l,则数列{。〃}的通项公式为()
A.即=2〃B.。尸伊口问
C.an=2n~!D.an=2n+I
【答案】B
【详解】由log2(S〃+1)=〃+1,得S〃=2"*,-1,当〃=1时,〃/=S/=3:当佗2时,an=Sn
—Sn/=2〃,所以数列{丽}的通项公式为加=1/、
2>2)
2.已知数列{4}的前n项和S,=2/+3〃(〃eN*),则{4}的通项公式为
A.a„=2n+\B.an=2n-\C.a„=4«+1D.an=4n-1
【答案】C
【分析】首先根据求出首项生的值,然后利用/=5,,-5,_|求出〃*2时%的表
达式,然后验证%的值是否适合,最后写出《,的式子即可.
【详解】因为5“=2勿+3”,
所以,当“N2时,«„=S„-5„.,=2n2+3n-\2{n-1)2+3(«-1)]=4n+1,
当”=1时,4=S[=2+3=5,上式也成立,
所以%=4〃+l.
3.已知5,,为数列{叫的前”项和,且S"=2"'-l,则数列{4}的通项公式为()
[3,71=1,1]
1・见=2〃B.q=C.4=2〃-D.%=2日
[2,72>2
【答案】B
【分析】当在2时,由%=5〃-5〃T求出勺=2";当〃=1时,由求出6;即可求解.
【详解】当〃之2时,S〃T=2T,%=S〃-5,1=2用一1-2〃+1=2〃;
3,n=l
当九=1时,q=S[=21+I-1=3,不符合%=2",则为=
T,n>2,
5.观察猜想归纳型
【典例分析】
根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中
分别填上第5项的图形和点数.
381524)
【答案】•・・21・13•••••••35
・・・・・・・・・・・・・・III::::
【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.
【详解】(1)设第n个图形的点数为第〃个图形有5个分支,每个分支有〃个点,中间的
•••
一个是重复,共计算5次,则为=5〃-4,%=21,••・:・•・:
.・
••
••
(2)设第,7个图形的点数为心,第八个图形有3个分支,每个分支有〃个点,中间的一个是重
复,共计算3次,则a“=3〃-2,%=13,
(3)设第"个图形的点数为见,由图可知,第"个图形横方向上有(〃+2)个点,竖方向上有
〃个点,则="("+21)="2+2〃,4=35,
2.数列£9号27,…的一个通项公式为
【答案】(-1)"•上二
2n-l
【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.
oO27」53
【详解】7=(_『.」_7()2x4-1
'72x1-1子E等
•••一个通项公式为:(一些探
故答案为:(一厂白
【变式训练】
1.数歹U3,8,15,24,35,…的一个通项公式%等于()
A.n2+2B.n2—n+3C.n2+2nD.2n2+n
【答案】C
【分析】用排除法对选项逐一分析即可.
【详解】本题为选择题,可用排除法,对选项逐一分析,
对于A答案,展开可得数列为3,6,11……,不符合题意,故A错误,
对于B答案,展开可得数列为3,5,9……,不符合题意,故B错误,
对于D答案,展开可得数列为3,10,21....不符合题意,故D错误,
对于C答案,展开可得数列为3,8,15.24……,符合题意,故C正确,
2.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式%=
161116
【答案】5n-4
【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5,可得求解。
【详解】第一图点数是1;第二图点数6=1+5;第三图是11=1+2'5;第四图是16=1+3'5
则第"个图点数4=l+(n-D?55〃-4
3.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是%=()
B.1(10--1)
D.部0T)
【答案】C
【分析】根据0.3,0.33,0.333,0.3333,…与9,99,999,9999,…的关系,结合9,99,
999,9999,…的通项公式求解即可.
【详解】数列9,99,999,9999,…的一个通项公式是。=10"-1,U数歹U0.9,0.99,0.999,
0.9999,…的一个通项公式是4=表*(10"-1)=1-击,则数列0.3,0.33,0.333,0.3333,...
的一个通项公式是-强).
6.二阶等比数列
【典例分析】
已知数列{4}满足4=1,册=2;';(〃-劣,则通项公式%=.
【答案】有匕卜"")
12a„,+3.31(1
【分析】先取倒数可得一=⑦一=2+——,即一+1=3——+1,山等比数列的定义可得
an%%a„(%)
n>2时,+1=6-3"2,即4=亚七,再检验n=1时是否符合即可
a[2〃+33i,]、
【详解】由题,因为4=井上(〃22),所以一=—^=2+—,所以2-+1=3——+1,
2。“_1+3a„a,-an_ta,t(的)
当〃=2吐。2=:737=!,所以,+1=5+1=6,所以当〃22吐,+1=6-3"\则
—=2-3,-'-1即.=——1——
当”=1时,4=。=1,符告所以为=,^7T.故答案为:*=(〃wN*)
【变式训练】
1.已知数列{«„}中,4=1,«„=3a,i+4(〃eN*且〃力2),则数列{4}的通项公式为
Wn
A.an=3-1B.。"=3"+1C.。〃=3"-2D.an-3
【答案】C
【详解】由。”=34〃_[+4,可得a“+2=3(4i+2).
即{q+2}是以4+2=3为首项,以3为公比的等比数列.
。“+2=3x3〃T=3〃.即a”=3〃-2.故选C.
2.在数列{〃〃}中,a/=2,an+i=-2an+3,则数列{a〃}的通项公式。〃等于()
A.(一2)〃一/+1B.2n-/+l
C.(—2)〃—/D.(—2)〃',—1
【答案】A
【详解】即*/=-2〃〃+3,
即为—1——2(an—I),又a/—1=1>
所以数列-1}是首项为1,公比为一2的等比数歹I」,
故1=(一2)〃—,,即“N=(—2)",+1.故选:A.
3.已知数列仅“}中,若/=2,4川=3«„+2(n>l),则该数列的通项公式4=
A.2"+'-2B.3"-1C.2"-3D.4"-2
【答案】B
【详解】分析:由ai=2,ae=3an+2,变形为:an+!+l=3(an+l),利用等比数列的通项公式即
可得出.
详解:
n
Vai=2,an+i=3an+2,变形为:an+i+l=3(an+l),.,.数列{an+1}是等比数列,公比为3,.*.an+l=3x3
,,即an=3"-L故答案为B.
7.分式倒数等差型
【典例分析】
己知数列{%}中,4=1,4川=言匚(〃€7*),则可归纳猜想{%}的通项公式为
2211
A・一B.a=——C.a=—D.a=——
nnn+\nnnn+l
【答案】B
2a77o
【详解】••♦4=1,%=立?,.。2=:0=:,归纳猜想{加}的通项公式为。"=胃「
【变式训练】
1.已知数列{《,}满足:4=1,凡+|=一三("CN+),由%、%、。4归纳出数列{。”}的通项
公式是.
【答案】氏=“
【分析】由递推公式求出的、小、“4,归纳出数列{q}的通项公式,可利用对弓变
形求得数列]是等比数列,再求通项公式.
1]_
1_1
【详解】4"出告4二3Ja一4一1一1
1+2-3?415
4+21+2%+2%
37
此归纳出数列{q}的通项公式%=不工,以下证明:
由。向=告7,得」一=2+1,所以」一+l=2p>+],
4+2%%41M1%)
又q=l,所以,+1=2,所以数列[,+1]是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以_L+1=2X2-'=2",所以数歹IJ{为}的通项公式.
an2-1
2.己知在数列{4}中,4=1,%+产意丁,则数列{4}的通项公式为4=
[答案]诟F
1(1
【分析】把已知数列递推式取倒数,然后变为一+1=3—+1,可得数列一+是等比
a1
4+ilnJ
数列,求其通项公式后可得数列{q}的通项公式.
a13+2a3.g|I—+i=sf—+ll
【详解】由题意,共n一,取倒数得一=——n-=—+2«
3+2”“«n+1a„a„
又,+l=2wO,所以,数列,工+11是公比为3的等比数列,故,+1=2x3"-,
所以〃“=+T.故答案沏―7
3.若数列{/}满足q=<,。眉=*一,则数列{%}的通项公式为=______.
21+3ali
【答案】-1-
3n-l
【分析】在等式一两边取倒数,可得出一L-'nS,然后利用等差数列的通项公
I+an+\an
式求出,—,的通项公式,即可求出
【详解】…&,等式两边同时取倒数气卜詈U+3,••・六一33.
所以,数列是以,=2为首项,以3为公差的等差数歹!=2+3(〃-1)=3〃-1.
因此,%=丁二.故答案为:丁二
3〃-13n-i
8.高次取对数型
【典例分析】
数列仅“}中,若4=3,向T=a“(〃eN"),则数列{《,}的通项公式4,=.
【答案】3户
【分析】把递推关系两边同时取常用对数得gig。,川=lg”“,从而确定数歹U{1g4}是等比数列,
求出它的通项公式后可得知.
【详解】因为反=4,等式两边同时取对数有:怆。用=怆4,则警包=2,又因为q=3,
a
2唱n
则数列{1g%}是以lg3为首项,2为公比的等比数列,所以lgM=lga「2"T=2"1g3,”,,=32,
故答案为:32'".
【变式训练】
1.数列伍“}中,若〃e=°:("日⑼),4=3,则{a,,}的通项公式为.
v
【答案】an=3"(nGN,)
【分析】两边取对数,化简整理得鬻=3,得到数列{10g3”,J是以1为首项,公比为3的
1Oa3an
等比数列,结合等比数列的通项公式,即可求解.
【详解】由。"产a:("eN*),两边取对数,可得log3aM=31og、q,即髭誓=3,
又由4=3,则logs%=1,所以数列{1」34}是以log冯=1为首项,公比为3等比数列,
则logs%=1•3"T=3"T,所以4=33“'(neN*).
2.已知数列{q},«([=«;'>(„>2)>4=e,则数列{《,}的通项公式为4=.
【答案】e"
【分析】取对数,化简运算可得’~=1(〃22),利用累乘法求出lna“=〃ln4=〃,即
In*n-\
可求解.
〃—nIna,n7
【详解】因为4=斓(心2),所以lna*ln明=念1叫_「即苛=匚z^刈,所以
皿=2眄=24=—所以gxl^x…x4=2x3x…X—所
99
Inq]']na22,…'Inq-n-\叨/Inqlna2Inan_x12n-\,
以詈%="(〃22),又4=e,
In4
所以Ina”="ln4=〃,所以a“=e"(〃W2),4=6也符合,所以凡=e,.故答案为:e"
3.设正项数列{为}满足q=1,4=%3(〃22),则数列{%}的通项公式是.
[答案]«„=22""-'
【分析】将等式两边同时取对数后,转化为/的形式,再利用构造法求通项公式.
【详解】原式两边同时取对数,得摩24,=1+21呜。,1(,*2),
即Iog2q+l=2(log24i+l).设b.=log2a“+1,则年=也_|(〃22),
乂4=l+log24=1,
所以他,}是以2为公比,1为首项的等比数列,
所以2=1X2”T=2"T,所以log2a"+1=2"T,所以a"=22”:.
9.二阶等差等比函数型
【典例分析】
在数列{《,}中,4=1,。角=6a"+3"”,则数列{4}的通项公式为4,=.
【答案】3"一(2角一3)
【分析】方法1:设%M+h3"“=6(q+h3"),解出%=1,可构造出数歹1」{4+3"}为等比数
列,确定该数列的首项和公比,求出数列{对+3"}的通项公式,可求出知;
方法2:在等式4*I=64+3""两边同时除以3向得爵=2•参+1,利用待定系数法得出
黯+1=2修+1)可知数列q+1}为等比数列,求出该数列的通项公式,可求出4.
【详解】方法1:令一+公3同=6(4+乂3”),
+l
即am=6a„+k-3",与an+1=6a,,+3川比较得&=1,
乂q+h3'=4,所以{2+3"}是以4为首项,6为公比的等比数列,
所以。“+3"=4X6"T,即4=4x6"T-3"=3"T(2向一3):
方法2:由1=6〃“+3向,两边同时除以3向得爵=2•果+1,
设黑■+%=2(*+「,化简得耨=2.黑+匹与金=2・黑+1比较得女=1.
J\/DJJJ
.•.爵+1=2俘+1),故数列仔+1}是以|}_+1=:为首项,2为公比的等比数列,
所以争+1=扣"、即%=31(2向-3),故答案为3”一(2向-3).
【变式训练】
1.已知4=1,a,-2an_t=2",则{《,}的通项公式为
【答案】4=2"T(2〃-1)
【分析】首先求得4的值,然后整理递推关系式,结合等差数列的通项公式即可确定其通项
公式.
2
【详解】由递推关系式可得:a2-2a2_t=2,即%=24+4=6,
且由4—21=2”可得祟-得=1,
故数列{墨}是以%为首项,以1为公差的等差数列,
则黑='(〃—2)xl=〃—;,4,=2"[〃[12[2"-1),
故数列的通项公式为:«„=2"-'(2n-l).
2.已知数列{%}中,%=1,。川=3〃“+3”,求数列{q}的通项公式___________
【答案】4,=〃•卡
【分析】由已知条件可得符《=;,从而可得数列住}是等差数列,求出其通项公式后
化简即可得到%.
【详解】••.-=3%+3",.•.煞*=;,.•.数列怡}是等差数列,公差为:,又g=:,
+(n-1)x—=—,a=n-3"'.
3"333
3.在正项数列{q}中,4=2,%=2q+3x5",则数列{4}的通项公式为.
【答案】a“=5"-3x2"T
【分析】推导出数列{4-5”}是等比数列,确定该数列的首项和公比,即可求得数列{可}的
通项公式.
【详解】因为a“M=2/+3x5",设。l+八5向=2(%+匕5"),可得《“产24-3人5",
所以,-3k=3,可得k=-l,所以,用—5"M=2(%-5"),
且q-5=-3,故数列是以-3为首项,以2为公比的等比数列,
所以,a“-5"=-3x2"T,故对任意的”eN,,=5"-3x2"-'.
10.因式分解型
【典例分析】
设数列{%}是首项为1的正项数列,且5+1)匕-,叱+/4=0,则它的通项公式《,=
【答案】-
n
【分析•】由条件有[(〃+1”向-%,]3+|+。,,)=0,由数列也,}为正项数列,即得
(«+l)a„+l-n«„=0,然后利用累乘法可求出数列的通项公式.
【详解】由(〃+1)吭一*+(+|•%=0,则[(”+1)J-+4,)=。
又数列{%}为正项数列,即。“>0,4=1
Z7»7
所以(〃+1)4用一叫,=0,即上=_
%w+1
Canan-\n-1n-21,11
所以〃〃=-----------x-xx—x1=-o故答案为:一
%an-24〃〃-12nn
【变式训练】
1.设也,}是首项为I的正项数列且"a3+(”+l)a:-(2〃+l)a“a“+i=0(〃eN*),且a"‘产”“,求
数列{4}的通项公式_________
【答案】a„=n
a〃
【分析】由已知条件化简可得工=―-»^2),再由递推累乘法可得风,最后检验4=1是
*n-\
否符合即可.
【详解】依题意4=1,〃a,3+(〃+l)a;-(2〃+l)a“a“+|=0(〃eN*),所以
(4用一%)[〃.,田一(〃+1)%]=。,
又因为4“产4,所以4,+|-%*。,所以加♦-(〃+l)a“=0,}=三[("*2),
annan-\〃一J
_a”a3a2n-\321
所以an-------------------a\=--n---------------1=n,
。〃一2a2aln—\n-221
经检验,4=1也符合上式.所以为="(”€N)综上所述,/=〃.故答案为:a„=n.
2.设{%}是首项为1的正项数列,且(〃+2)4,/-〃4:+2q+血”=0(〃€1^),求通项公式
2
【答案】
a77
【分析】由条件可得5+2)--叫=°,化简得才=百,再由递推即可得到所求通项.
【详解】由("+2Ml+;_“2+2an+ia„=O(neN*),得[("+2)a„+1-na„](a„+l+a,)=0,
a〃
an>0,:.an+|+a„>0,(n+2)a„+l-na„=0,—=——
a.a.a123n-2n—\2/、八、
=4—•—•—...—n=lfx—x—x—x---x----x----=-------(n>2),
4a2a3an_x345nn+]〃("+1)
2
又4=1满足上式,・・・4
/?(«+!)
11.复合数列型
【典例分析】
已知数列{(}中,4=(且4间1+1=2见一数列也}满足4=丁片,则也}的通项公式
是b“=.
【答案】
【分析】根据已知,利用作差法求仇,一々1易判断{"}为等差数列,写出通项公式即可.
【详解】Va„an.l+l=2a„,l,
.b„-bnl=—_______=%-%=%i==1
"a"-lan-\~1(«„-1)+1-«„-i-a„«„_|-a„
4,17
又“=三,则4=----=
7q-]3
7
,数列{a}是首项为-(,公差为1的等差数列,
**•包=-*1+〃-1=.故答案为:.
【变式训练】
1.已知数列{%}满足4=1,。同=母]“€心),若己=/密2(;+1),则数列出}的通项公
式是•
【答案】>=n
【分析】利用数列的递推关系式和等差数列的定义,得到数列{{〃}是以4=1为首项,1为公
差的等差数列,即可求出数列的通项公式,得到答案.
【详解】由题意,数列{q}满足4=1,
a
n+乙
又由2=log2(-+i),贝!=log2(-^—+i),
a
n。〃+1
—+1
可得b„+l~b„=四式竿一)=1常数),
—+1
an
又由々=/0g2(,+l)=10g22=l,
故数列{々}是以仇=1为首项,1为公差的等差数列.
所以£=1+(〃-1)=〃,
由于数列的首项符合通项,所以数列{勿}的通项公式为包=〃.
故答案为:b〃=n.
17
2.已知数列{每},{%}满足%=1,an+1=1-—,bn=—~,其中neN+.
求出数列{%}的通项公式;
【答案】(1)即=答;川)左3一温依.
2222
试题解析:(I)证明:.••加+】一以=亚二二—冏二赤手一砧
=建7—五仁=2,.•.数列出"}是公差为2的等差数列,又仄=五M=2,.•.b=2+5—
1)X2=2n,
故;〃'二喜,解得斯=嚎・
3.己知数列{4}满足q=1,all+i=4q,+3〃-1,〃=4+〃.求数列{a,,}的前”项和.
【答案】⑴a“=2x4"T-“;(2)
【详解1(1)bn=an+n,;.bn+i=an+l+n+1.
又:.=y+3〃-1,.•.媪=…+1=(4…-1)+〃+1=40+〃)=4
bnan+"an+nan-\-n
又・.,伪=q+l=l+l=2,・••数列{〃}是首项为2,公比为4的等比数列.
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