2022-2023学年山东省菏泽市成武县育青中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省荷泽市成武县育青中学八年级（下）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列代数式中，久能取一切实数的是（）

A.日B.Vx—1C.V3xD.Vx2+4

\X

2.锐角为45。的两个平行四边形的位置如图所示，若Nl=a,则42=（）

A.a-45°B,90°-aC.135°-aD.1800-2a

3.以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）

A.2,2,3B.1,3C.1,V3,2D.2,3,4

4.如图，在Rt△ABC中，ABAC=90°,D、E分另ij是4B、BC的中点，F在CA延长线上，4FDA=

ZB,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为（）

C.18D.22

5.下列图象不能表示y是式的函数关系的是（）

A.vB.\/

0\x0|:

C.JLD.Jk

\~o\X0J

6.点P（2a+1,4）与P'（l,3b—1）关于原点对称，则2a+b=（)

A.3B.—2C.—3D.2

7.如图，四边形4BCD的对角线交于点0,下列不能判定四边

形4BCD为平行四边形的是（）

BC

A.AB=CD,AD=BCB./-ABC=^ADC,AB//CD

C.0A=0C,OB=0DD.ABHCD,AD=，BC

8.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点4B,

C都在横线上.若线段4B=3,则线段BC的长是（）

A.|B.1C.|D.2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.如图，P是内一点，且SAP4B=6,SAPAD=2,则

阴影部分的面积为.

10.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是18。，则此菱形的各个内角分别是

11.如图，已知，平行四边形ABCD中，BE1CD^E,BE=AB,

^DAB=60°,的平分线交BC于F,连接EF.则乙引2的度数等

于.

12.如图，在△ABC中，。为8C上一点，BC=y/~3AB=3BD,则A。：AC的值为

13.如图，正方形4BCD是由四个全等的直角三角形围成的，若4E

BE=12,则EF的长为

14.函数y=ax+b的图象如图，不等式ax+bW2的解集为

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题8。分）

已知x=2-7-3,求代数式/+（2+的值.

16.（本小题8.0分）

如图，4”是△ABC的高，CD是AABC的中线，AH=CD,DE//4C,BE//CD,直线交CD于

点、M,交CE于点N.

（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；

（2）求乙BC。的度数.

A

17.(本小题8.0分)

观察下列等式：

第1个等式：1-1=击；

第2个不等式：9-上与；

第3个等式：»噌=56

第4个等式：A去点；

根据你观察到的规徘，解决下列问题：

(1)请写出第5个等式：；

(2)请写出第九个等式_____(用含几的等式表示)，并证明.

18.(本小题8.0分)

如图，过MBCD对角线4c与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA

于点P、M、Q、N.

(1)求证：APBE=AQDE；

(2)顺次连接点P、M、Q、N,求证：四边形PMQN是菱形.

19.(本小题8.0分)

在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4B,其中4B=AC,由于某种

原因，由C到4的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点HQ4、H、

B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米.

(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：与4B是否垂直？)请通过计算加以说明;

(2)求原来的路线4C的长.

20.(本小题8.0分)

如图，在平面直角坐标系中，直线"：)/=3%与直线12：y=kx+b相交于点4点A的横坐标

为3,直线6交y轴于点氏且。a=2OB.

(1)试求直线"的函数表达式；

(2)若将直线A沿着支轴向左平移3个单位，交y轴于点C,交直线办于点。.试求ABC。的面积.

21.(本小题8.0分)

如图，正方形ABC。中，BC=12,M是4B边的中点，连接。M,点E在DC上，点F在0M上.

(1)若点F是。”的中点，DM与4C交于点P,则此时PM与PF的数量关系是？说明理由.

(2)若NDFE=45。，PF二口,EF与2C不平行，则此时CE的长度是多少？

22.(本小题8.0分)

定义：对于一次函数为=ax+b>y2=ex+d,我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+

小二0)为函数、1、%的“组合函数”.

(1)若m=3,n=1,试判断函数y=5%+2是否为函数y[=x+1>y2=2x-1的"组合函

数”，并说明理由；

(2)设函数为=x-p-2与乃=~x+3P的图象相交于点P.

①若小+n>1,点P在函数yi、内的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若pKl,函数为、丫2的"组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的血值，对于不等于

1的任意实数P，都有“组合函数”图象与X轴交点Q的位置不变？若存在，请求出小的值及此

时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(本小题8.0分)

在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过

该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.例

如：如图1,先将△ABC以点4为位似中心缩小，得到△4DE,再将AADE沿过点4的直线Z翻

折，得至ijAAFG,则A/1BC和AAFG成自位似轴对称.

(1)如图2,在^ABC中，乙4cB=90°,AC<BC,CD1AB,垂足为D.下列3对三角形：①△ABC

和△AC。；②ABAC和ABC。；③ADaC和ADCB.其中成自位似轴对称的是；(填写

所有符合要求的序号)

(2)如图3,在AABC中，D是BC的中点，E为AaBC内一点，4ABE=4C,Z.BAE=/.CAD,

连接DE,求证：DE//AC.

24.(本小题8.0分)

请在以下小正方形边长为1的方格纸中作图.

(1)请在方格纸中，以2B为边构造等腰直角△ABC,使乙4cB=90。；

(2)WAABC绕着点2逆时针旋转90。，画出对应的△AB'C.

B

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：根据二次根式的意义，可知x的取值范围分别是：

A、x>0；

B、%>1；

C%>0；

D、x取任何实数.

故选：D.

本题主要考查了字母x的取值范围，四个选项中主要有二次根式和分式两部分.根据二次根式的性

质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

主要考查了二次根式的意义和性质.二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意

义.当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0.

2.【答案】A

［解析］解：如图，过点D作。£7/4B,则CF〃DE,/

•••平行四边形的锐角为45。，石

・•・/.ADF=135°,

vAB//DE,

・•.Zl+^LADE=180°,

•・,CF//DE,

Z2=乙EDF,

••・180°-a+z2=135°,

Z.2=a—45°,

故选：A.

过点。作。贝IJC77/OE,由平行线的性质得出41+AADE=180°,Z2=(EDF,证出180。-

a+乙2=135。，则可得出结论.

本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4因为22+22=8^32,所以2,2,3不能组成直角三角形，故A选项不符合题意.

8因为U+(门)2=6不32,所以1,，53不能组成直角三角形，故B选项不符合题意.

C因为12+(/?)2=4=22,所以1,/可,2能组成直角三角形，故C选项符合题意.

D因为22+3?=13742,所以2,3,4不能组成直角三角形，故。选项不符合题意.

故选：C.

由勾股定理的逆定理，只要验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可.

本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答此题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：在RM4BC中，

vAC=6,AB=8,

・•・BC=10,

・••E是的中点，

AE=BE=5,

••・Z-BAE=乙B,

•••Z.FDA=Z-B,

・•・/,FDA=Z.BAE,

・•.DF//AE,

,:D、E分别是4B、BC的中点，

•••DE11AC,DE=^AC=3

••・四边形4EDF是平行四边形

四边形AEDF的周长=2X(3+5)=16.

故选：A.

根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出。E和4E的长，

进一步分析判定四边形4EDF是平行四边形，从而不难求得其周长.

本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理以及平行四边形的判定.熟练

运用三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线定理是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：选项A、B、。对于每个自变量％的值，函数y都有唯一确定的值与其对应，都能表示

y是尤的函数；

选项C的图象作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象可能会有两个交点，所以该图象

不能表示y是x的函数.

故选：C.

根据函数的概念即可求出答案，即对于每个自变量x的值，函数y都有唯一确定的值与其对应.函

数的概念反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于％轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象

只会有一个交点.

本题主要考查了函数的定义及图象，难度适中，重点理解掌握“对于每个自变量X的值，函数y都

有唯一确定的值与其对应”这句话，是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解:•••点P(2a+1,4)与P'(l,3b-1)关于原点对称，

2。+1=-193b—1=-4,

解得：2a=-2,b=-1,

2ci+b=-2—1=-3,

故选：C.

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

7.【答案】D

【解析】角和A.-AB=CD,AD=BC,

・・・四边形/BCD是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、-AB//CD,

・•・乙BAD+乙ADC=AABC+乙BCD=180°,

又・・•乙ABC=/.ADC,

••・Z-BAD=ZJBCD,

••・四边形ZBCD是平行四边形，故选项5不符合题意；

C、•・,OA=OC,OB=OD,

••・四边形4BCD是平行四边形，故选项C不符合题意；

D,"AB//CD,AD=BC,

••・四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故选项。符合题意；

故选：D.

由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：过点4作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,

口1/8AD32DE

贝—=—,即Hn一=-------,

BCDEBCDE

解得：BC=|,

故选：C.

过点4作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于。，交点C所在的平行横线于E,根据平行线分

线段成比例定理列出比例式，计算即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

9.【答案】4

［解析］解：SRPAB+S^PCD=aS平行四边形ABCD=Suoc，

S&ADC­S^PCD=S^PAB，

则SMZC=S^ACD~S"CD~SMZO

=SgAB~SMAO

=6-2

=4.

故答案为：4.

根据图形得出S4PAB+S^PCD=S&ADC，求出Suoc—S&PCD=求出S^pac

代入求出即可.

本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的面积的有关问题，关键是推出SMZC=S“AB-

^^,PAD•

10.【答案】108°,72°,108°,72°

【解析】解：设这两个夹角分别为X，y,则匕+厂骞，解得£=觉

1%—y=18(y=36

对应的菱形的内角度数为108。，72°

故菱形的各个角的度数为108。，72°,108°,72°.

故答案为108。,72°,108°,72°.

设这两个夹角分别为x,y,根据已知列方程组从而可得到菱形的内角的度数.

根据菱形的性质以及已知条件列出方程组求解.

11.【答案】45°

【解析】解：••・四边形ABC。是平行四边形，

•­.AD//BC,

・•.Z.DAF=Zi4FB,

•・•AF平分乙乙048,

1

・••/.DAF=4BAF=^DAB=30°,

・•・^.BAF=乙4FB=30°,

・•.AB=BF,

•・•BE=ABf

・•.BE=BF,

•••Z-BEF=Z-BFE,

•・,BE1CD,

・•・乙BEC=90°,

•・•DAB=60°,

•••Z.C=Z-DAB=60°,

・•・乙EBF=30°,

1

・•・乙BFE=^(180°-30°)=75°,

・••^EFA=乙BFE-^BFA=45°,

故答案为：45°.

根据平行四边形的性质得到4D〃8C,根据平行线的性质得到464尸=乙4/8,根据角平分线的定

1

义得至=/-BAF="DAB=30°,求得NBAF=UFB=30°,求得NEBF=30°,于是得至(J

结论.

本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性

质是解题的关键.

12.【答案】?

【解析】解：•.・BC=GAB=3BD,

度=空=门.

ABDBv

Z-B—乙B,

・•.△ABC-DBA,

,竺=二=、不

"ADAB7'

AD-.AC=^-.

故答案为：

根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出△ABCsADBA,再根据相似三角形的对应边

成比例，变形即可得出答案.

本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出△ABCsADBa.

13.［答案］7^2

【解析】解:

••・正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的,

AE=BG=CF=DH=5,AH=BE=CG=DF=12,/.DAB=90°,/.DAH=/.ABE

：.EG=GF=FH=HF=7,乙ABE+乙BAE=90°,

四边形EGFH是菱形，且Z71EB=90°

••・四边形EGFH是正方形

•••EF=EG=

故答案为：7>/"无

由全等三角形的性质可得4E=BG=CF=DH=5,AH=BE=CG=DF=12,^DAB=90°,

4DAH=4ABE,可得EG=GF=FH=HF=7,乙ABE+乙BAE=90°,可证四边形EGFH是正方

形，即可求EF的长.

本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH是正方形是本题的关键.

14.【答案】x>0

【解析】解：从图象可知：函数y=ax+b与y轴的交点坐标是(0,2),

所以不等式ax+b<2的解集是x>0,

故答案为：%>0.

根据一次函数的图象得出函数与y轴的交点坐标是(0,2),再得出不等式的解集即可.

本题考查了一次函数与一元一次不等式和一次函数的图象，能根据函数的图象得出图象过点(0,2)

是解此题的关键.

15.【答案】解：­•"%=2—V-3,

%2+(2+

=(2-7-3)2+(2+AT3)(2-O

=4+3—4V3+4—3

8-4V-3.

【解析】把X的值代入计算即可.

本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键.

16.【答案】(1)证明：•・・£>%/",

•••Z.CAD=Z.EDB,

•・,BE“CD,

Z.CDA=乙EBD,

•・•8是△ABC的中线，

•••AD-BD,

在△ADC和中，

2CAD=乙EDB

AD=BD,

Z.CDA=Z.EBD

：.^ADC=ADBE{ASA),

CD=BE,

•••BE//CD,

••・四边形BDCE是平行四边形；

(2)解：取8H的中点G,连接。G,如图所示:

•••CD是△ABC的中线，

•••DG是△28”的中位线,

DG=1AH,DG//AH,

•••2H是△ABC的高，

•<.DG_LBC,

・•.Z,CGD=90°,

AH=CD,

DG=\CD,

：.4DCG=30°,

即NBCD=30°.

【解析】(i)证Aanc三△DBE(asa),得CD=BE,再由BE〃C。，即可得出结论；

(2)取BH的中点G,连接DG,由三角形中位线定理得ZJGDG//AH,再证。G=；CD,得

乙DCG=30°,即NBCD=30°.

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、含30。角的

直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

".【答案埒4=氐:焉=忌旬(心L且几是整数)

【解析】解：⑴第5个等式：建2=嬴；

3Xo□XJ.O

故答案为：=J1八；

□J.obXJ.。

1Q1

(2)第九个等式：益一再1=同而521，且。是整数)，

、—P□口I.■»_!_,3TI+13TI

证明：左叱=g77--7T

n(3n+l)n(37i+l)

_1

几(3几+1)'

••・左边=右边，

121

"n—3n+l=n(3n+l)且n是整数)•

故答案为：；—就=忌同(几21,且几是整数).

(1)根据前面四个式子的规律，即可解答；

(2)根据前面四个式子的规律，即可得第n个等式，并将等式左边化简，根据分式的减法进行计算

即可.

本题考查了规律型-数字的变化类问题，根据前面4个式子找出规律是解题的关键.

18.【答案】(1)证明：••・四边形4BCD是平行四边形，

•••EB=ED,AB//CD,

••・乙EBP=乙EDQ,

/-EBP=乙EDQ

在APBE和△QOE中，EB=ED

/BEP=乙DEQ

••.APBE=AQDE(ASN)；

(2)证明：如图所示：

•••EP=EQ,

同理：4BME»DNE(ASA),

•••EM=EN,

.•・四边形PMQN是平行四边形，

vPQYMN,

.•・四边形PMQN是菱形.

【解析】(1)由4SA证APBEmAQDE即可；

(2)由全等三角形的性质得出EP=EQ,同理ABME三△DNE(asa),得出EM=EN,证出四边形

PMQN是平行四边形，由对角线PQ1MN,即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的

判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

19.【答案】解:(1)是，

理由是：在ACHB中，

•••CH2+BH2=2.42+1.82=9,

BC2=9,

•••CH2+BH2=BC2,

CHA.AB,

所以CH是从村庄C到河边的最近路；

(2)设4c=x,

在RtAACH中，由已知得2。=无，AH=%-1.8,CH=2.4,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2,

■­-x2=(x—1.8)2+2.42,

解得x=2.5,

答：原来的路线4C的长为2.5千米.

【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)根据勾股定理解答即可.

此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理.

20.【答案】解：(1)根据题意，点4的横坐标为3,代入直线5y=中，

得点4的纵坐标为4,即点4(3,4)；

即。2=5,X\OA\=^\OB\.

即。B=10,且点B位于y轴上，

即得B(0,—10)；

将4B两点坐标代入直线%中，得4=3k+b；

-10=b；

解之得，k—与，b=—10；

即直线6的解析式为y=券％—1。；

(2)根据题意，平移后的直线"的直线方程为y=如+3)=9+4；

即点C的坐标为(0,4)；

联立线"的直线方程，解得X=g，y=?，

即点噌卷);

又点8(0,—10),如图所示：

故^BCD的面积S=1xyX14=^.

【解析】(1)把点4的横坐标代入进行解答即可；

(2)根据直线的平移特点进行解答即可.

此题考查一次函数与几何变换问题，关键是根据直线的平移特点进行解答.

21.【答案】解：⑴・・•正方形4BCD中,BC=12,

.・.AB=BC=12,

・•,M是AB边的中点,

1

2-

vAB//CD,

APM-ACPD,

力MpM61

--

---万---

c力p2

12

17

・•.PM=”M,PD

,・•点F是DM的中点，

・•.DF=FM=^DMf

211

.・.PF=PD-FD=：DM_：DM=:DM,

3z6

.PM_剑M_

---=i-----=N,

PF\DM

・•.PM=2PF；

故答案为：PM=2PF；

(2)当点尸在点P的上面时，

•・・四边形/BCD是正方形,

/.AD=AB=BC=DC=12,^DAM=90°,AB//DC,

・・•M为48边的中点,

・•.AM=BM=6,

・•.DM=VAM2+AD2=6屋,

,:AB“CD,

・•・乙CDP=乙PMA,Z.DCP=^MAP,

・•.△DCPfMAP,

DC_DP_n

・•.op=|OM=4<-5,

•・•PF=/T,

・•.DF=3AT5,

•••四边形/BCD是正方形,ZDFE=45°,

・•・乙DCP=乙DFE=45°,

Z.CDP=Z-FDE,

DCP~ADFE,

££_竺

而一5F

DP-DF_4<TX3<T

・•.DE=5,

DC~12

・•・CE=12-5=7；

当点尸在点P的下面时，如图,

・・・四边形/BCD是正方形，

AD=AB=BC=DC=12,^DAM=90°,AB//CD,

・•,M为AB边的中点，

.・.AM=BM=6,

・•.DM=VAM2+AD2=6V-5，

・：AB〃CD,

・•・乙CDP=4PM4,乙DCP=AMAP,

・•.△DCP八MAP,

DCDPc

—=—=2,

AMMP

DP=|DM=4AT5,

PF=S，

：.DF=5<T,

••・四边形ABCD是正方形，ADFE=45°,

•••乙DCP=4DFE=45°,

•・•Z.CDP=乙FDE,

DCP〜二DFE,

.££_竺

•・•丽=5P

clDPDF4<TX5<T25

DC123

2511

ACE=12-y=y,

故答案为：7或苧.

【解析】(1)根据正方形的性质得到=BC=12,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

(2)在直角△ADM中，利用勾股定理求出。M的长度，由于F为。M的中点，得到DF的长度，由于

AB//CD,易得ADCP~AMAP,从而求得DP的长度，由于NOFE=NDC尸=45。，可以证明4

DEFfDPC,即可解决.

本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求线段长，是求线

段的常用方法.

22.【答案】解：(1)函数y=5%+2是函数yi=%+1、y2=2%-1的“组合函数”，理由如下:

3(%+1)+(2%-1)=3%+3+2%—1=5%+2,

y=5%+2=3(%+1)+(2%—1),

・•・函数y=5%+2是函数yi=%+1、y2=2x-1的“组合函数”；

⑵①由仁二降2瞰二

•••P(2p+l,p-1),

y】、的“组合函数”为y=m(x—p-2)+n(-x+3p),

.・.当％=2p+1时，y=m(2p+1—p—2)+n(—2p—1+3p)=(p—l)(m+n),

•・・点P在函数y”丫2的“组合函数”图象的上方，

・,•p—1>(p—l)(m+n),

/.(p—1)(1—m—n)>0,

•••m+n>1,

•••1—m—n<0,

p—1<0,

•••p<1;

②存在m时，对于不等于1的任意实数P，都有“组合函数”图象与X轴交点Q的位置不变,

9(3,0),理由如下：

由①知，尸(2p+l,p—l),

・・・函数yi、的“组合函数"y=m(%-p-2)+?i(-％+3p)图象经过点P,

：.p—1=m(2p+1—p—2)+n(_2P—1+3p),

(p-1)(1—m—n)=0,

•••pH1,

•••1—m—n=0,有ri=1—m,

.・.y=m(x—p—2)+n(—x+3p)=m(x—p—2)+(1—m)(—x+3p)=(2m—1)%+3p—

(4p+2)m,

令y=0得(2?n—l)x+3p—(4p+2)m=0,

变形整理得：(3—4m)p+(2m—l)x—2m=0,

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