2025版高考数学一轮总复习考点突破第5章平面向量与复数第2讲平面向量的基本定理及坐标表示考点1平面向量基本定理的应用

平面向量基本定理的应用1.(2014·福建，8,5分)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(B)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)[解析]设a＝k1e1＋k2e2，k1，k2∈R，A选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))无解．B选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的e1，e2可把a表示出来．同理，C、D选项同A选项，无解．2.(2023·广东清远月考)如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．[解析](1)依题意，A是BC的中点，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b.eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))共线，∴存在实数k，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(DC,\s\up6(→))，即(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－2＝2k，,1＝－\f(5,3)k，))解得λ＝eq\f(4,5).名师点拨：应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：1．运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．【变式训练】1．在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于(C)A.eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B．eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)bC．－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b[解析]eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b.2．在△ABC中，点P是AB上一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，则t的值为eq\f(3,4).[解析]如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))，又∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up