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导数的几何意义角度1求切线方程1.已知f(x)=(x+1)ex,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为_2x-y+1=0__.[解析]由f(x)=(x+1)ex得f′(x)=ex+(x+1)ex,所以在x=0处的切线的斜率为f′(0)=e0+(0+1)e0=2,又f(0)=1,故切点坐标为(0,1),所以所求的切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.2.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为y=eq\f(1,e)xy=-eq\f(1,e)x.[解析]先求当x>0时,曲线y=lnx过原点的切线方程,设切点坐标为(x0,y0),则由y′=eq\f(1,x),得切线斜率为eq\f(1,x0),又切线的斜率为eq\f(y0,x0),所以eq\f(1,x0)=eq\f(y0,x0),解得y0=1,代入y=lnx,得x0=e,所以切线斜率为eq\f(1,e),切线方程为y=eq\f(1,e)x.同理可求得当x<0时的切线方程为y=-eq\f(1,e)x.综上可知,两条切线方程为y=eq\f(1,e)x,y=-eq\f(1,e)x.名师点拨:求曲线的切线方程的两种类型1.在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0,y0)的切线方程,在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.2.在点P处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).3.求过点P的曲线的切线方程的步骤为:第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));第二步:写出过P′(x1,f(x1))的切线方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.注:也可利用f′(x1)=eq\f(fx1-fx0,x1-x0)=k切求切点坐标(x1,y1),有几组解就有几条切线.角度2求切点坐标已知曲线y=eq\f(x2,2)-3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(A)A.3 B.2C.1 D.eq\f(1,2)[解析]设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y′=x-eq\f(3,x),得切线斜率k=x0-eq\f(3,x0)=2,∴x0=3.故选A.名师点拨:求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.角度3导数的几何意义如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)-3f′(3)=(A)A.1 B.0C.2 D.4[解析]将点(3,1)代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1,得k=-eq\f(1,3),所以f′(3)=k=-eq\f(1,3),由于点(3,1)在函数y=f(x)的图象上,则f(3)=1,对函数g(x)=xf(x)求导得g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)-3f′(3)=f(3)=1,故选A.角度4求参数的值(或范围)(2022·全国新高考卷Ⅰ)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).[解析]导数的几何意义(理性思维、数学探索)因为y=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)ex0),O为坐标原点,依题意得,切线斜率kOA=y′|x=x0=(x0+a+1)ex0=eq\f(x0+aex0,x0)化简,得xeq\o\al(2,0)+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于x0的方程xeq\o\al(2,0)+ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).【变式训练】1.(角度1)(2019·全国卷Ⅱ,5分)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为(C)A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0[解析]依题意得y′=2cosx-sinx,y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x=π))=(2cosx-sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x=π))=2cosπ-sinπ=-2,因此所求的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0,故选C.2.(角度2)曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线l如图所示,则f′(-1)+f(-1)=(C)A.2 B.1C.-2 D.-1[解析]因为切线l过点(-2,0)和(0,-2),所以f′(-1)=eq\f(0+2,-2-0)=-1,所以切线l的方程为y=-x-2,令x=-1,则y=-1,即f(-1)=-1,所以f′(-1)+f(-1)=-1-1=-2,故选C.3.(角度3)(2022·贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为(A)A.(0,0) B.(a,1)C.(1,1) D.(-1,2)[解析]∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,∴a=1,f′(x)=3x2+1,令3xeq\o\al(2,0)+1=1,得x0=0,f(x0)=0,∴切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0).选A.4.(角度4)(2023·开封市第一次模拟考试)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(B)A.(-∞,-2] B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.(0,+∞)[解析]函
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