河南省洛阳市师范学院高三数学文下学期期末试卷含解析

河南省洛阳市师范学院高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则?U（A∩B）=（）A．{2，3}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{1，5}参考答案：B【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：求出集合A∩B，然后求出它的补集即可．解：集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}所以A∩B={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}；?U（A∩B）={1，4，5}；故选B．【点评】：本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型．2.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A、

B、

C、

D、参考答案：B略3.设函数，若则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知正项等比数列{an}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：B设正项等比数列的公比为，且，由，得，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当，时，取最小值为，故选B．5.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则的值为（

）A．4

B．3

C．2

D．―1参考答案：A略6.“”是“函数有零点”的

（）A．充要条件；B.必要非充分条件；C．充分非必要条件；D.既不充分也不必要条件；参考答案：C7.一组数据1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中的x等于（）A．20 B．21 C．22 D．23参考答案：B【考点】F1：归纳推理．【分析】从第三个数开始，后边的每一个数都是前两个数字之和，问题得以解决．【解答】解：因为从第三个数开始，后边的每一个数都是前两个数字之和，则x=8+13=21，故选：B【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找规律，属于基础题．8.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）A．9x±4y=0 B．4x±9y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程的性质求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：=0，整理，得：2x±3y=0．故选：D．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．9.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则（

）A.16 B.8 C.4 D.2参考答案：C【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．10.在等差数列{an}中，若，，则（

）A．－5 B．－7 C．－9 D．－11参考答案：B为等差数列，设首项为，公差为，由，，解得，所以．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x,y满足约束条件,若目标函数（a、b均大于0）的最大值为8,则的最小值为.参考答案：4略12.已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为___________.参考答案：2略13.某校为了了解高三同学暑假期间学习情况，调查了200名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）。则这200名同学中学习时间在6～8小时的同学为_______________人；参考答案：6014.已知函数y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，则不等式f（x）+2≥2lnx解集为．参考答案：（0，e]【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）+2﹣2lnx，x＞0，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由f（x）+2≥2lnx得f（x）+2﹣2lnx≥0，设g（x）=f（x）+2﹣2lnx，x＞0，则g′（x）=f′（x）﹣=，∵x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，∴此时g′（x）=＜0．即此时函数g（x）为减函数，∵y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），∴f（e）=0，则g（e）=f（e）+2﹣2lne=2﹣2=0，则f（x）+2﹣2lnx≥0，等价为g（x）≥0，即g（x）≥g（e），∵函数g（x）在（0，+∞）为减函数，∴0＜x≤e，即不等式f（x）+2≥2lnx解集为（0，e]，故答案为：（0，e]15.（选修：几何证明选讲）

如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于，共线．若,,，则圆的半径是

.参考答案：2

16.已知实数满足则的最小值为__________．参考答案：作出不等式组所对应的可行域，如图所示：当过点A时，有最小值为.故选：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.17.已知，，若，则的最小值为

参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知抛物线上的一点（m，1）到焦点的距离为.点是抛物线上任意一点（除去顶点），过点与的直线和抛物线交于点，过点与的直线和抛物线交于点.分别以点，为切点的抛物线的切线交于点P′.（I）求抛物线的方程；（II）求证：点P′在y轴上.参考答案：（Ⅰ）由题意得

，

所以抛物线的方程为…………4分（II）设

，

因为

则以点为切点的抛物线的切线方程为

又，所以……………6分

同理可得以点为切点的抛物线的切线方程为

由解得………8分

又过点与的直线的斜率为

所以直线的方程为

由得所以，即……10分

同理可得直线的方程为

由得

所以，即

则，即P′得横坐标为0，

所以点P′在y轴上………………12分19.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设.(1)求不等式的解集S:(2)若关于x不等式有解，求参数t的取值范围.参考答案：略20.已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）求函数（为实常数）的单调区间；

（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值

B11,B12【答案解析】(1)g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．(2)当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．(3)（－∞，2]解析：解：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，（x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．设h（x）＝lnx－（x＞0且x≠1），．记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．【思路点拨】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=f（x）﹣x+1的极值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数h（x）=f（x）+|x﹣a|（a为实常数）的单调区间；（3）注意：①适当变形后研究函数h（x）；②当k＞2时，区间（1，k﹣1）是如何找到的21.（本题满分12分）已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设数列对任意自然数均有…成立，求…

的值.参考答案：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列∴

……………2分∴

……………4分又∵.∴

……………6分（Ⅱ）∵…

①

∴即又…

②

①－②：

……………8分∴

∴

……………10分则……

……………12分略22.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）当时，求函数f(x)的单调区间；（3）若，证明对任意，恒成立.参考答案：（1）；（2）在和内是增函数，在内是减函数；（3）见解析【分析】（1）当时，求得，进而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解；（2）求得函数导数，三种情况分类讨论，即可求解．（3）把，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）当时，则函数，则，则，曲线在点处切线的方程为，即.（2）由函数，则，令，，，又，①若，，当变化时，，的变化情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗

所以在区间和内是增函数，在内是