2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题解析

2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题解析2019年全国高中数学联合竞赛(A卷)试题解析引言：数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有积极作用。然而，参加数学竞赛的学生往往会遇到各种难题和挑战，因此对于试题的解析和讲解显得尤为重要。本文对2019年全国高中数学联合竞赛(A卷)试题进行解析，旨在帮助学生更好地理解和解答试题。正文：一、选择题解析：1.已知函数f(x)=ln(x^2-x)+C是函数F(x)=f(x)+2f'(x)的一个原函数，则C等于多少？解析：首先，我们求函数f(x)的导函数f'(x)。利用链式法则求导：f'(x)=2x-1然后，我们将函数f'(x)代入函数F(x)中，并进行积分：F(x)=f(x)+2f'(x)=ln(x^2-x)+C+2(2x-1)=ln(x^2-x)+4x-2+C由于F(x)是函数f(x)的原函数，所以F'(x)=f(x)，即：F'(x)=1/(x^2-x)+4将F(x)进行求导，得到：F'(x)=1/(x^2-x)+4由于F'(x)=f(x)，所以：f(x)=1/(x^2-x)+4比较上式与f(x)=2x-1可得：1/(x^2-x)+4=2x-1移项得到：1/(x^2-x)=2x-5解这个方程，可以得到：x^2-3x+2=0化简为：(x-1)(x-2)=0解得x=1或x=2。当x=1时，C=ln(1)+4(1)-2=2当x=2时，C=ln(4-2)+4(2)-2=8综上所述，C等于2或8。2.若abc≠0且a+b+c=0，则(1/a^2+8/b^2)(1/b^2+8/c^2)(1/c^2+8/a^2)的值为多少？解析：根据已知条件a+b+c=0，可以将a、b、c表示为二次方程x^2+px+q的两个根，即：a,b,c是二次方程x^2+px+q的两个根根据二次方程根与系数之间的关系，有：a+b=-pab=q将ab=q代入第一个等式：a=-b-pc=b^2+pb=-b^2-pb将a、b、c代入目标表达式中，可以得到：(1/a^2+8/b^2)(1/b^2+8/c^2)(1/c^2+8/a^2)=(1/(-b-p)^2+8/b^2)(1/b^2+8/(-b^2-pb)^2)(1/(-b^2-pb)^2+8/(-b-p)^2)化简上式，可以得到：[(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(-b^2-pb)^2/b^2)(1+8(-b-p)^2/(-b^2-pb)^2]进一步化简，得到：[(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)(1+8(-b-p)^2/(-b^2-pb)^2]=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-b^2-pb)^2/(-b-p)^2(b^2+pb)^2)将ab=q代入上式，可以得到：(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-b^2-pb)^2/(-b-p)^2(b^2+pb)^2)=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)由于a+b+c=0，所以a+b=-c。将这个等式代入第一个因式中，得到：(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(b^2+pb)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8(-b)^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8b^2/(-b-p)^2)(1+8b^2/b^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)((-b-p)^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(b^2+2bp+p^2+8(-q)^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(b^2+2bp+p^2+8q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)((b+p)^2+6q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-(-b-p)^2-6q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(-b-p)^2q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(ab+p^2)q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(-q+p^2)q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2-6q^2/(p^2-q)q^2)=(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2q^2-6q^4/(p^2-q))由于a+b+c=0，所以abc=-pq。将这个等式代入第二个因式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(-p^2q^2-6q^4/(p^2-q))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-abc^2-6c^4/(ab+c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-abc^2-6c^4/(-pq+c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+6c^4/(pq-c^2))由于a+b+c=0，所以a^2+b^2+c^2=2(ab+ac+bc)。将这个等式代入第三个因式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+6c^4/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+6c^4/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(abc^2+3c^4/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2(ab+3c^2)/(c^2-pq))由于a+b+c=0，所以a^2+b^2+c^2=2(ab+ac+bc)。将这个等式代入第三个因式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2(ab+3c^2)/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)]/(c^2-pq))由于a+b+c=0，所以(a+b+c)^2=0。将这个等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)]/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(c^2[0-2(ab+ac+bc)]/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-2c^2(ab+ac+bc)/(c^2-pq))由于a+b+c=0，所以ab+ac+bc=-p^2。将这个等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(-2c^2(ab+ac+bc)/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(-2c^2(-p^2)/(c^2-pq))=(1+8(p+b)^2/p^2)(2c^2p^2/(pq-c^2))由于a+b+c=0，所以a^2+b^2+c^2=2(ab+ac+bc)。将这个等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(2c^2p^2/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(2c^2p^2/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(pabc^2/(pq-c^2))由于abc≠0且a+b+c=0，所以pq-c^2≠0。将这个等式代入上式中，得到：(1+8(p+b)^2/p^2)(pabc^2/(pq-c^2))=(1+8(p+b)^2/p^2)(pabc^2/(pq-c^2))=pabc^2+8(b+p)^2abc^2/(pq-c^2)=pabc^2+8(b+p)^2abc^2/(pq-c^2)=pabc^2+8bpabc^2+8p^2abc^2/(pq-c^2)=pabc^2+8bpabc^2+8p^2abc^2/(pq-c^2)=abc^2(p+8b+8p^2/(q-c^2))由于abc≠0且a+b+c=0，所以q-c^2≠0。将这个等式代入上式中，得到：abc^2(p+8b+8p^2/(q-c^2))=abc^2(p+8b+8p^2/(q-c^2))=abc^2(q-c^2+8b(q-c^2)/(q-c^2))=abc^2(q-c^2+8b(q-c^2)/(q-c^2))=abc^2(q-c^2+8b)=abc^2(q-b^2+8b)由于abc≠0且a+b+c=0，所以ab+ac+bc=-p^2。将这个等式代入上式中，得到：abc^2(q-b^2+8b)=abc^2(q-b^2+8b)=abc^2(q+8b-b^2)综上所述，(1/a^2+8/b^2)(1/b^2+8/c^2)(1/c^2+8/a^2)的值为abc^2(q+8b-b^2)。二、解答题解析：3.已知复数z满足|z|=1，且2z-1的虚部等于z的虚部，求z的值。解析：首先，我们设复数z的实部为x，虚部为y，即z=x+yi。由已知条件|z|=1，可以得到：|x+yi|=1根据复数的模的定义|x+yi|=sqrt(x^2+y^2)，可以得到：sqrt(x^2+y^2)=1化简上式：x^2+y^2=1然后，我们设复数2z-1的虚部为u，即2z-1=x+ui。由题意可知：u=y将z=x+yi代入上式，得到：2(x+yi)-1=x+ui化简上式：2x+2yi-1=x+ui将实部和虚部分别对等，可以得到：2x-1=x2y=u由于2x-1=x，所以x=1。由于2y=u，所以y=u/2。将x=1和y=u/2代入x^2+y^2=1，可以得到：1^2+(u/2)^2=1化简上式：1+(u/2)^2=1将(1+(u/2)^2)-1=0进行因式分解，可