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文档简介
Z变换的定义;Z变换的收敛域;Z变换的性质;逆Z变换;离散系统的转移函数;离散系统的结构第2章 Z变换及离散系统分析复频域:
时域:x(t)
x(t)e
stdtX
(s)
2
f2.1
Z变换的定义Laplace
变换s
j
s平面
j
0
0
x(t)e
j
tdtX
(
j
)
Fourier
变换频域:s平面
j0
仅在虚轴上取所以,傅里叶变换是值的拉普拉斯变换。ss
j
因为所以s
j
对离散信号,可否做拉普拉斯变换x(n)
x(t)
(t
nTs
)n
x(nTs
)
(t
nTs
)nx(n)e
dt
st
[
x(n)]
ssn
x(nT
)
(t
nT
)e
stdt
ssx(nT
)e
snT
X
(esTs
)
n
z
esTsL令z
re
j
e(
j
)Ts
e
Ts
e
j
Ts
n
nX
(
z)
x(n)z则:s得到:
Ts
与z对应连续信号对应离散信号拉普拉斯变换z
变换re
j
e
Tsr
e
Ts
e
j
Ts离散信号的z
变换j
j
nz
re
j
|
e
j
r
1
Ts
2
f
fsX
(e
)
x(n)en
离散时间序列的傅里叶变换,DTFTz平面Re[z]Im[z]0z
平面Re[z]0Im[z]r
10
2
0
2
2
4
:0
2
fs
:
Ts
2
f
fsz
平面Re[z]Im[z]r
0s平面
02
fs
2
fs
4
fs0
s
s
2
sj
4
fs00000f
fs
fs
2fs
2fs
s
s
2
s
2
s
2
2
f
1
0.50.51kN2
kN
1
n
n
X
(
z)
x(n)z
n
[
x(n)r
n
]e
j
nr
1z
re
j
|
:
X
(e
j
)
x(n)e
j
nX
(
z)
n
:级数收敛2.2
Z变换的收敛域幂级数条件:除x(n)外,还取决于r
的取值Note:的模,所以ROC
具有“圆”,或“环”的形状r
是zx(n)
anu(n)例1:1
n
0if
az
1
1,thenn
0that
is
z
a
ROCX
(
z)
X
(
z)
an
z
n
(az
1
)na11
az
1zX
(
z)
z
a例2:x(n)
anu(
n
1)0u(
n
1)
{
1
n
1,
,
其他ROC
:1
z
1
1
a
1z z
aa
1z
1,
z
a
1
X
(
z)
an
z
n
1
(a
1z)nn
n
0ROC:
z
ax(n)
anu(n)注意:zX
(
z)
z
ax(n)
anu(
n
1)zX
(
z)
z
az
az
ax(n)
:
n
N1
N
21.N1
0,
N2
0,
N2
N1|
z
|
0右边有限长序列1211N2z
N1z
N2
n
N1ROC:X
(z)
x(n)z
n
x(N
)
x(N
)z
02.N1
0,
N2
0x(n)
:
n
N1
N
2ROC: 0
|
z
|
双边有限长序列z
0,
z
3.
x(n)
:
n
N1
|
z
|
R14.x(n)
:
n
N1|
z
|
R25.R1
|
z
|
R2ROC:右边无限长序列ROCx(n)
:
:
n左边无限长序列ROC:双边无限长序列思考:什么信号的z变换的收敛域是整个z平面?1.线性:2.3 Z变换的性质2rnx(n)
e
j
n
e
j
n
x1
(n)
x2
(n)
X1
(z)
X
2
(z)如何求
x(n)
rn
cos
n
X
(z)
X
(z)
x(n)z
n
n
2.移位:(1)双边Z变换x(n
k
)
z
k
X
(
z)x(n
k
)
zk
X
(z)x(n
1)
z
1
X
(
z)z
1
表示单位延迟(2)单边Z变换
n
0X
(z)
x(n)z
n
1
kn
k
x(n)z
n
x(n
k
)
zX
(z)
x(n)zk
1
k
nn
0
x(n
k
)
zX
(z)
x(n)仍为双边序列(3)x(n)
为因果序列,
则x(n)zk
1
k
nn
0
x(n
k
)
zX
(z)
X
(z)
X
(z)因果序列的双边Z变换和其单边Z
变换相同
1
k
n
k
x(n
k
)
zX
(z)
x(n)z
n
z
k
X
(z)
3.
k
y(n)
x(n)
h(n)
x(k
)h(n
k
)
Y
(
z)
X
(
z)
H
(
z)k
n
Y
(
z)
y(n)z
n
[
x(k
)h(n
k
)]z
nn
n
k
x(k
)
h(n
k
)z
n
x(k
)z
k
h(n
k
)z
(
n
k
)k n
X
(
z)
H
(
z)
cx(n)z
z
dz
m
1
n
m
1c
n
0X
(z)z dz
cx(n)x(n)
zm
n
1dzrm
n
1e
j
(
m
n
1)
dz
m
ne
j
(
m
n
)
d
x(n)r
j
n
0
n
n
z
re
j
dz
rje
j
d
2.4
逆Z变换X
(
z)
x(n)z
nn
0
d
ej
(
m
n
)
{02
m
nm
ncX
(
z)z
dz1j2
n
1x(n)
cn
m
1m
ne
j
(
m
n
)
d
X
(z)z dz
x(n)r
j
Z逆变换的基本公式1.长除法01nX
(z)
B(z)
x
x
z
1
x
z
nA(z)2.部分分式法C1C2ABA(z)X
(z)
B(z)
z
a z
b
(z
c)
(z
c)2x(n)
Res[
X
(z)
zn
1
]3.
留数法x(n)
y(n)h(n)1.
y(n)
x(n)
h(n)
x(k
)h(n
k
)k
2.N
My(n)
ak
y(n
k
)
br
x(n
r)k
1
r
03.2.5离散系统的转移函数
H
(z)
Y
(z)
X
(z)
H
(z)
h(n)z
n
n
04.5.Mrkb
zB(
z)A(
z)
rk
1H
(
z)
r
0
N1
a
z
k以上
6个关系是离散时间系统中的基本关系,它们从不同的角度描述了系统的性质,它们彼此之间可以互相转换。
n
0z
ej
H
(e
j
)
h(n)e
j
n
H
(
z)
|6.MN
M
NB(
z)
b
b
z
1
b
z
20
1
2A(
z)
1
a
z
1
a
z
21
2ak
,
k
1,
,
N
,br
,
r
0,
,
M
,
N
M
b
z
a
z上述表达式贯穿全书!H
(z)
B(z)
A(z)NM
(
z
pk
)k
1
(
z
zr
)H
(
z)
G
r
1
kzr
,
r
1,p
,
k
1,
,
M
;
Zeros
,
N
;
Poles使分子多项式=0
的zrH
(z)的Zeros(零点)使分母多项式=0
的pkH
(z)的Poles(极点)MMrrNNb
zB(z)A(z)
r
kH
(z)
r
0
G
r
1
(z
z
)1
ak
zk
1
(z
pk
)k
1为了保证系统分子、分母多项式的系数始终为实数,所以,如果系统有复数的极、零点,那么这些复数的极、零点一定共轭出现。即:rzr
a
jbz
a
jbkpk
c
jdp
c
jd系统分析的任务:统,可能是h(n)H
(z)给定一个系H
(e
j
)N
My(n)
ak
y(n
k
)
br
x(n
r)k
1
r
0判断(或分析)线性?移不变?稳定?因果?幅频:低通?高通?带通?…相频:线性相位?最小相位?
1.稳定性:判别条件1:
h(n)
n
0h(n)
l1稳定性:判别条件2
:|
pk
|
1,
k
1,
,
N极零分析的应用所有极点都必需在单位圆内!N
k
c
zH
(z)
k
1
z
pk
证明:nknk
N
h(n)
ck
pn
0
n
0
k
1N
ck
pk
1
n
0Nnkk
1h(n)
ck
pMrNk|
H
(ej
k
1)
|
g
r
1
|
e
j
z
|
|
e
j
p
|2.幅频特性:e
j
0rzr|
e
j
z
|MNH
(z)
G
r
1
(z
zr
)
(z
pk
)k
1MrNkk
1H
(e
j
)
ge
j
(
N
M)
r
1
(e
j
z
)
(e
j
p
)MrNj
|
H
(e
j
)
|
g
r
1
|
e
j
z
|
|
e
pk
|k
1观察:1.当
时,
pk
|最小;0e
j
kpk|
e
j
p
|
约接近于单位圆,|
e
j
2.
极点|
e
j
pk
|越小;pk如何影响幅频3.注意,向量|
e
j
pk
|
在分母上。低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器
2
c
c02
H
(e
j
)
2
c
c02
2
c2
c1
0
c2
c12
2
c2
c1
0
c2
c12
3.相频:NkMr
r
1
k
1arg[e
p
]j
arg[H
(e
j
)]
arg[e
j
z
]
RH
(e
j
)H
(e
j
)arg[H
(e
j
)]
arctan
I
例:
H
(
z)
z|
H
(e
j
)
|
1
(
)
0
2
相位的卷绕(wrapping)解卷绕则4.极--零点对系统幅频的影响:|
H
(e
j
)
|
若在某一个
处,在单位圆上有一零点,则|
H
(e
j
)
|
0若在某一个
处,
在接近单位圆有一极点,低通滤波器在z
1
处一定没有零点,在 其附近应有一个极点;同理,高通滤波器在
z
1
处一定没有零点,在其附近应有一个极点;带通、带阻滤波器的极-零位置有何特点在处的极、零点不影响幅频,只影响相频。z
01
.1836+.7344z-1+1.1016z-2+.7374z-3+.1836z-4100
1-3.0544z-1+3.8291z-2-2.2925z-3+.55075z-4H(z)
例:给定系统求:频率响应单位抽样响应极-零图-1.5-1-0.500.5110.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1RealPartImaginaryPart极-零图0.10.20.30.40.5001.510.50.10.20.30.40.5-1000-2-4-6-8频率响应05101520253035400.250.20.150.10.050-0.05-0.1单位抽样响应滤波的基本概念目的:去除噪声,或不需要的成分;原理:信号通过线性系统输入-输出的关系。x(n)
y(n)h(n)y(n)
x(n)
y(n)Y
(z)
X
(z)H
(z)Y
(e
j
)
X
(e
j
)H
(e
j
)X
(e
j
)H
(e
j
)Y
(e
j
)
c
c
线性滤波的原理
11
z
1H0
(z)
a1
pz1
z
1H1
(z)
b1
pz
1
1(1
z
1
)(1
z
1
)H2
(z)
c(1
re
j
z
1
)(1
re
j
z
)例:给定三个系统,分析其幅频相应0102000.10.2-11-1010Real
P
artImaginaryPart00.5100.5101020-0.500.51-11-1010Real
P
artImaginaryPart00.5100.5101020-0.200.2-11-1010Real
P
artImaginaryPart00.5100.511.5h(n)极零图H
(e
j
)极-零分析是数字信号处理的基本功,对不太复杂的系统,应能从系统的极-零分布图大致判断出该系统的幅频特性。N
Mk
1
r
0y(n)
ak
y(n
k
)
br
x(n
r)个延迟器。2.5系统的结构及信号流图观察:实现本系统,需要一个加法器,N
M个乘法器,N
MMrkb
zY
(z)X
(z)
rk
1H
(z)
r
0
N1
a
z
k若将上图作一改造,可大量节约延迟器NX
(
z)a
z
kW
(
z)
1
kk
1a
zb
zNM
r
kk
1
k
r1
Y
(
z)
r
0
X
(
z)Mrb
z
rr
0Y
(
z)
W
(
z)
NMw(n)
ak
w(n
k
)
x(n)k
1y(n)
br
w(n
r)r
0则:及直接实现:
1
N
/
2
k
1kNk
1
k
kM
r
0
r
rH
(
z)a
zb
zH
(
z)
y(n)
(
((
x
h1
)
h2
)
hN
/
2
)x(n)
H1
(z)HN
/
2
(
z)
y(n)
级联实2N
1
21
z
1
z
2k
,1
k
,2现:Hk
(z)
1
ak
,1
z
ak
,2
z,
k
1,
,y(n)
x(n)
h1
(n)
x(n)
h2
(n)
x(n)
hN
/
2
(n)N/
2H
(z)
Hk
(z)k
1H1
(z)H2
(z)
HN
/
2(z)
x(n)
y(n)并联实现:在数字信号处理中,由于表示“数”的字长总是有限的,这就必然带来误差。对一个离散系统,这些误差包括如下几个方面:模拟信号抽样时的量化误差,相当于引人一个误差序列e(n);e(n)在系统中传递,最后出现在输出端;系统的系数也要量化,量化就必然产生误差,该误 差一定会影响系统的性能;系统中加、减和乘法运算将产生舍入误差。
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