2020-2021学年新乡市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年新乡市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列说法中错误的是（）

A.命题“Vx>l,x2-x>0"的否定是'勺与>1，就一与《0"

B.在44BC中，A<BsinA<sinBQcosA>cosB

C.已知某6个数据的平均数为3,方差为2,现又加入一个新数据3,则此时这7个数的平均数和

方差不变

D.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与

“都是红球”互斥且对立

2.设集合力={-2,-1,0,1)-B=(x\-2<x<2],则4nB=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1）C.{0,1}D.{0,1,2）

3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是（）

①所有能被3整除的数都能被6整除；

②所有实数的绝对值是正数；

③三角形的外角至少有两个钝角.

A.0B.1C.2D.3

4.在△ABC中，sin?：=爱，则AABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

5.有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个

人，那么万满足的不等关系为（）

A.x（l+%）>100B.1+x（l+%）>100

C.%+x（l+%）>100D.1+%+x（l4-x）>100

6.如图，M,N分别是四面体045C的棱04,BC的中点，点P在MN上且

满足丽=|而，若讪=为，OB=b，OC=c，则与前相等的向量

是（）

A.-a+-b+-c

336

B.^a+^b+^c

366

c.3+M+》

663

D.）+箝+》

633

7.在实数集R中定义一种运算，具有性质：①对任意a、b6R,aOb=b。a；②aO0=a；

③对任意a、bGR,（aOfe）Oc=（ab）。c+（a0c）+（b。c）-2c,则函数/（x）=x0

；（%>0）的最小值是（）

A.2B.3C.3A/2D.2企

8.已知正三棱柱ABC中，AB=44「M是CC1的中点，则异面直线AM与所成角的大

小为（）

A.B.JC.D.7

9.在数列｛即｝中，对任意nGN*,若存在常数心，A2，…，厩，使得与+k=^an+k-i+^n+k-2+

…+Afcan（A,H0,i=1,2,...★）恒成立，则称数列｛即｝为那介数列.

①若斯=2%则数列｛即｝为1阶数列；

②若斯=2n+1,则数列｛册｝为2阶数列;

③若即=声，则数列｛斯｝为3阶数列；

以上结论正确的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

10.已知抛物线C：/=x与直线？了=七+1,“小00”是“直线1与抛物线。有两个不同交点

的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件;

11.在△4C中，若2,b=2V3，B=60,则角4的小为（）

A.30°B,60°C.30。或150。D.60。或120°

12.抛物线/=的焦点坐标是（）

A.（0i）B.（0，bC.d，0）D.（J,0）

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在AABC中，a,b,c是角4,B,C所对的边，a=2b,C=60°,则8=

14.己知等比数列麻J的前项和为题.=却整则畲=

15.边长为2的菱形4BCZ)中，4BCD=60。,将△28。沿BD折起，使得平面ABDJL平面BCD,则二

面角力-BC-。的余弦值为.

2

16.Fi、尸2分别为椭圆器+y2=1的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且N&P4=60°,则的

内切圆半径等于.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知P：实数x满足-4ax+3a2<0,其中a<0；q：实数%满足/+5x+4<0,且p是q的

充分条件，求a的取值范围.

18.在①tcmB=2tanC>@3b2—a2=12,(3)bcosC=2ccosB三个条件中任选一个，补充在下面

问题中的横线上，并解决该问题.

问题：己知AABC的内角A,B,C及其对边a,b,c,若c=2,且满足,求△ABC的面积的最

大值.

19.已知等比数列｛斯｝的公比为q(q丰1),前n项和为S“，满足：S4=120,2a2是3al与的等差中

项.数列｛4｝的前n项和为〃，且bn=

(1)求0n与％；

(2)证明：［W*+*+…+*<|.

J*1*2ln§

20.已知抛物线G的方程为、=a/g>0),圆C2的方程为/+(y+=5,直线小y=2%+

小(巾<0)是6、。2的公切线.尸是G的焦点.

(1)求nr与a的值；

(2)设4是Ci上的一动点，以4为切点的G的切线/交y轴于点8,设丽=同+而，证明：点M在一定

直线上.

21.如图，在四棱锥P-4BCC中，底面4BCD为正方形，且正方形

ABCD边长为2,PAL^^ABCD,PA=AB,E为线段PB的中

点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：AE平面PBC；

(2)试确定点F的位置，使平面4EF与平面PCD所成的锐二面角为30。.

22.己知椭圆烈::且离心率驾

誓

(I)求椭圆T的标准方程;

(口)若直线F:解.书题1与椭圆。相交于，通，廨两点(四骁不是左右顶点)，椭圆的右顶点为

且满足蒸混感羸=勉，试判断直线之是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点,

请说明理由。

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：命题“Vx>l,/-x>0”的否定是“比0>1,诏—々SO”满足命题的否定形式，

所以4确；

A>则a>b,利用正弦定理可得a=2rsin4,b=2rsinB,故sin/>s讥B.由同角三角函数的基

本关系可得cos/<cosB,所以6正确；

这6个数的平均数为3,方差为2

现又加入一个新数据3,此时这7个数的平均数为3,方差为2x7x；=g所以C不正确；

OO

从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件:

没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以。正确；

故选：C.

利用命题的否定判断4正弦定理判断B；方差与均值判断C；互斥事件与独立事件判断D.

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，正弦定理期望与方差，互斥事件与对立事件，

是基本知识的考查.

2.答案：B

解析：解：集合4={-2,-1,0,1},B={x|-2<x<2},

：.AC\B={-1,0,1).

故选：B.

利用交集定义直接求解.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.答案:B

解析：解：①该命题的否定：存在能被3整除的数不能被6整除”，

如3是能被3整除，不能被6整除的数，这是一个真命题；

②该命题的否定：3x=0G/?,|0|=0,不是正数，这是一个真命题；

③该命题的否定：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角，这是一个假命题.

故选：B.

写出命题的否定形式，判断真假即可.

本题考查命题的真假的判断与应用，是基础题.

4.答案:B

解析：解：•.・sin2:=^=^,^cosB=^,

二由余弦定理可得：cosB=2=工法，

c2ac

•••整理可得=©2,

••.三角形是直角三角形.

故选:B.

直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状.

本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

5.答案：D

解析：解：若每轮传染中平均一个人传染了x个人，

则经过第一轮后有(1+x)个人患了流感，

经过第二轮后有［(1+x)+%(1+%)］个人患了流感，

(1+x)+x(l+x)>100,

故选：D.

分析出经过第一轮后有(1+x)个人患了流感，经过第二轮后有［(1+x)+x(l+x)］个人患了流感，

即可求解.

本题考查一元二次不等式的应用，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：•••M,N分别是四面体OABC的棱。4BC的中点，

.-.OM=^0A,ON=^(0B+0C').

MP=-MN,

3

•■OP=0M+-ON--0M=-0M+-ON=-a+-b+-c.

3333633

故选：D.

M,N分别是四面体0aBe的棱04,BC的中点，可得而=［成，而=)而+元).由丽=|丽,

利用向量的三角形法则、线性运算即可得出.

本题考查了向量的线性运算、向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题.

7.答案：B

解析：

本题给出新定义，求函数”X)的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和

简单的合情推理等知识，属于中档题.

根据题中给出的对应法则，可得/(x)=(x0》0O=l+x+3利用基本不等式求最值可得x+2

；2,当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数/(x)的最小值为/(1)=3.

解：根据题意，得

11111

/(%)=%0_=(xO-)00=0©(%--)+(%O0)+(-O0)-2xO=14-x+-

XXXXX

即/(x)=1+x+1，

x>0,可得％+工22,当且仅当x=1时等号成立，

x

所以可得函数/(x)的最小值为/(I)=3.

故选B.

8.答案：D

解析：解：取BC的中点0,连接40,建立空间直角坐标系如图:

设4B=AAi=2,则OB=0C=1,0A=通,

即力(V5,0,0)，B(O.l.O),41(75,0,2),

则俞=(一四,一1,1)，A^B=(-V3.1.-2).

则福•硕=(-V3,-l,l)•(-V3,1,-2)=3-1-2=0.

即而1项，贝必°

即异面直线4M与2$所成角的大小为a’>

故选：D.

建立空间坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可.

本题主要考查空间异面直线所成角的计算，建立坐标系，求出点的坐标，利用向量法是解决本题的

关键，是基础题.

9.答案:D

解析：

本题考查新定义的理解和运用，数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解k

阶数列的定义.

根据那介数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果.

n

解：①van=2y

a

•**n+i=2an,

3/c=1,A=2,使。"+文=2a九+k一1一,

・・・｛an｝为1阶数列，故①成立；

@van=2n+1,

・•・an=3+2(n-1),

・・・｛oj为等差数列,

・••2an+1=an+an+2，即Qn+2=2an+1—an,

**,mk=2,=2,%=—1，使Q/i+z=41。?1+火-1+42071+女-2成-

.・・｛。九｝为2阶数列，故②成立；

2

③;若数列｛an｝的通项公式为an=n,

aa

皿=3，入1=3，A2=—3，匕=1，使Qn+k=^ln+k-l+^2n+k-2+小册+女-？成立，

・・・｛Qn｝为3阶数列，故③成立.

故选

10.答案：D

解析：本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断,结合直线和抛物线的位置关系，利用充分

条件和必要条件的定义进行判断.

JF=fct+l

解：将直线方程代入抛物线方程得S2,

y=无

即y=k1y24-1,

・•・ky2—y+1=0,

当々=0时，方程只有一个解.

当kHO时，要使直线/与抛物线C有两个不同交点，

则△=l—4k>0,

解得kq，且y0.

ak*0”是“直线，与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件.

故选D

11.答案：A

解析：解：a=2,b=2V3.B60°,

•••由正弦理忘=看，得高=言=襦=等=4,

2

又a<b,40。.

故选：

接利用正弦理求sn4结合三角的大边对大角得答案.

本题查弦定的应用，考查了三形解法，是中档题.

12.答案：B

解析：解：根据抛物线的标准方程可得p=$^=i,

图象是开口向上的焦点在y轴上的抛物线，故焦点的坐标为(0,3.

O

故选:B.

根据抛物线的标准方程可得p=%：=由此求得焦点的坐标.

本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.

13.答案：30。

解析：解：•••a=2b,C=60°,可得：A=120°-B,

由正弦定理可得：sinA=2sinB=sin(120°-B),可得：2sinB=ycosB+sinB，

AV3sin(B-30°)=0,可得：sin(F-30°)=0,

b<a,B为锐角，

B=30°.

故答案为：30。.

由己知及正弦定理，三角形内角和定理可得：2sinB=sin(120°-B),由两角差的正弦函数公式可

求sin(B-30。)=0,由B为锐角，可求B的值.

本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，

考查了转化思想，属于基础题.

14.答案：1

解析：试题分析：叫=.鼠=黏—工当会源时，叫―虱-黑广都费7—畲软”人瀛警川,

因为金』为等比数列，所以当冗=1时，馨-工=卿；通=工.

考点：由STI求Q".

%砥=工

点评：由又求册的一般做法：嚓=©力.二’…

晶一氨炉M令亘珞।

15.答案：,

解析：解：取BD中点0,连结AO,C0,

以。为原点，0C为x轴，0D为y轴，。4为z轴，

建立空间直角坐标系，

4(0,0,V3),B(0,-l,0),C(V3,0,0).

£»(0,1,0),

BA=(0,1,V3).前=(0,2,0)，BC=(V3,l,0).

平面BCD的法向量记=(0,0,1),

设平面BAC的法向量元=(x,y,z),

(n-=y+V3z-0„.

则《一一BA，取x=l,得z元=(1,_百,1),

(n-BC=y[3x+y=0')

设二面角力-BC-。的平面角为0,

则皿"舒=靠=自

二二面角4-BC-D的余弦值为

故答案为T

取BD中点。，连结40,CO,以。为原点，OC为x轴，OD为y轴，。4为z轴，建立空间直角坐标系,

利用向量法能求出二面角力-BC-。的余弦值.

本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推

理能力与计算能力，是中档题.

16.答案：

3

2

解析：解：由题意，F1，尸2是椭圆叁+y2=1的两个焦点,

|^?|+|PF2|=4)|^^2|=25/3；

则由余弦定理得，

2

|尸闻2=|&P|2+\PF2\-2|F】P||PF21cos60°;

2

故12=(|FiP|+\PF2\')-2\F1P\\PF2\COS600-2\F1P\\PF2\-

故12=16-3\F1P\\PF2\^

故IF1PIIPF2I=g；

故4PF[F2的面积S=i\F1P\\PF2\■sin60°=y；

△F/F2的内切圆半径设为「，可得S=/(|FiP|+\PF2\+I&F2I)=*4+2g)r=争

解得r=型2,

3

故答案为：或.

3

运用椭圆的定义和三角形的余弦定理和面积公式，结合等积法，计算可得所求值.

本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于

中档题.

17.答案：解：由已知条件得，

实数x满足/一4ax+3a2<0,其中a<0,

•••(x—a)(x—3a)<0,解得：3a<x<a,

二命题p：3a<x<a,

•••%2+5x+4<0,

(x+l)(x+4)<0

命题q：—4<x<—1,

p是q的充分条件，

J,解得：-gWaW—1.

解析：分别求出关于p,q成立的x的范围，根据充分必要条件的定义得到关于a的不等式组，解出即

可.

本题考查了充分必要条件考查解不等式问题，是一道基础题.

18.答案：解：若选择条件①，因为tanE=2tanC,可得sinBcosC=2sinCcosB,

由正弦定理可得bcosC=2ccosB,利用余弦定理可得b.贮旺Q=2c.吐3,

2ab2ac

又c=2,可得3炉一。2=12,

2222

又由余弦定理可得：C0S4b+c-a8-b

2bc2b

.An.---------y-rC(8-b*2)*2V20b2-b4-64

2，

SHL4=V1—cosi4=71------4b=2-------------2b-------

所以S-BC=Lbcs。4=bx凝土丝=上空二咤变,所以当且仅当从=io时，△ABC面积取得

△内几22b2

最大值，最大值为3.

若选择条件②，因为3b2一。2=12,由余弦定理可得cos4=M+：-a2=要,

.4n---------TTr(8-b2)2^20b2-b4-64

2

sinA=vl-cos7l=71---4b2=-------2-b-------

所以S.=沙sin4=b义迹尹=旦雪亘,所以当且仅当扭=10时,△的面积取得

最大值，最大值为3.

若选择条件③，因为bcosC=2ccosB,利用余弦定理可得：b-=2c-与严,SP3Z)2-a2=

12,

又c=2,

又由余弦定理可得：cosA="*!=%

2bc2b

2224

・4n---------2T7二(8-b)V20b-b-64

sinA=Vl—COSk4=\/I------4b-72—=-------2b;-------'

所以SMBC=-bcsinA=bx鱼。","4…=所以当且仅当炉=口时，△ABC面积取得

△Abe22b2

最大值，最大值为3.

解析：若选择条件①，利用同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得cosA=

空，利用同角三角函数基本关系式可求sinA=叵旦三更，利用三角形的面积公式可得S-BC=

2b2b

J-"2-IO)2+36,即可求解△ABC面积的最大值.

2

若选择条件②，由余弦定理化简已知等式可得cos4=空，利用同角三角函数基本关系式可得

sinA="2。唱J4,利用三角形的面积公式可得S-8C=J*-；o)z+36,即可求解仆ABC面积的最大

值.

若选择条件③，利用余弦定理化简已知等式可得COSA=誓，利用同角三角函数基本关系式可得

sinA=«20b：；-64,利用三角形的面积公式可得S-BC="=；0)2+36,即可求解44BC面积的最大

值.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中

的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.答案：⑴解:由题意，等比数列的公比为q(q力1),54=120,

可得皿2项=120,

i-q

2

2a2是3al与。3的等差中项，即为4a2=3al+a3,即4%q=3al+axq,

解得的=q=3,

nn

则0n=3-3T=3；

n

所以生=31093aH=3Log33=3n；

(2)证明：Tn=^n(n+1),

1

昵=I,n(n+l)小工）

3%"+，'

日〃、〃、,

可-T4行—1,I-1--.F4.—1=-2(1---1.1--1---1F.…4.--1----1)=一2(1---1-)<一2，

J1Tkyy

71T2Tn3223nn+l3、n+l3

又2=I（1-W）是递增的，

可得71=1时，|（1—止已有最小值

则群打"+…+H

解析：本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以

及数列的函数特征，考查运算能力和推理能力，属于中档题.

（1）运用等比数列的求和公式、结合等差中项性质，解方程可得的=q=3,进而得到与；由对数的

运算性质可得勾；

121

(2)由(1)可得〒=,•而M式;一a%利用裂项相消法求和，结合数列的增减性，即可得证.

20.答案：解：（1）由已知，圆。2：/+3+1）2=5的圆心为。2（0，-1），半径「=花,（1分）

由题设圆心到直线％：y=2尤+m的距离d=.（3分）

11+刈r=

即nn声守=归

解得m=-6(m=4舍去).(4分)

设k与抛物线的相切点为为®），%），又y'=2a工，（5分）

=

得2Q%O=2=&=%,yo(6分)

代入直线方程得：合；一6…Q=*

所以zn=-6,Q=；.(7分)

6

（2）由（1）知抛物线Ci方程为y=［一,焦点尸（0,|）.（8分）

设做小弓婢），由⑴知以4为切点的切线/的方程为y=枭式％-/）+24（10分）

令x=0,得切线/交y轴的B点坐标为（0,-：瓷）（11分）

O

所以而=Qi**_|）,而=（0,-：婢一|）,（12分）

.-.FM=FA+FB=（/,-3）（13分）

因为F是定点，所以点M在定直线丫=一,上.（14分）

解析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m,再利用导函数与切线的关系求出a的值即可.

（2）先求出以4为切点的切线，的方程以及点4,B的表达式，再求出京，而，利用前=后？+而即

可求出点M所在的定直线.

本题是对圆与椭圆知识的综合考查.当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解.，

也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解.本题用的是第一种.

21.答案：⑴证明：•••P4J"平面ABCD,BCu平面4BCD,

PAVBC,

•••4BCD为正方豚

•••AB1BC,

^PAOAB=A,PA,48u平面P4B,

•••BC，平面PAB,

•••AEu平面PAB,•••BCLAE,

PA=AB,E为线段PB的中点，

AE1PB,

又BCCPB=B,BC、PBu平面PBC,

AE1平面PBC.

（2）解：以4为原点，AB、AD.AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

p

ABx

设正方形力BCD的边长为2,则4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,l)，

：.AE=(1,0,1)>PC=(2,2,-2).VD=(