专题06 反比例函数（解析版）

专题06反比例函数一、单选题1．下列函数中，不是反比例函数的是（

）A．xy＝－5 B．y＝ C．y＝ D．y＝【答案】C【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可．【解析】解：∵反比例函数的三种形式为：①（k为常数，k≠0），（k为常数，k≠0）②xy=k（k为常数，k≠0）③y=kx-1（k为常数，k≠0），是正比例函数不是反比例函数故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．2．若函数y＝x2m＋1为反比例函数，则m的值是(

)A．1 B．0 C．0．5 D．－1【答案】D【解析】解：因为函数为反比例函数，故选D．【点睛】反比例函数有三种形式：3．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2C．m＞2 D．m＜2【答案】B【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．【解析】∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+2＜0，解得m＜-2．故选B．4．已知点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)在反比例函数y＝的图象上．当x1＜x2＜0＜x3时，y1，y2，y3的大小关系是（

）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【答案】B【分析】由，可知反比例函数图象在第一、第三象限，根据反比例函数的性质判断即可．【解析】解：∵，∴反比例函数图象在第一、第三象限，∵时，随着的增大而减小，时，随着的增大而减小，且第一象限的函数值大于第三象限的函数值，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．5．如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，已知△ABO的面积为3，则k值为(

)．A．-3 B．3 C．-6 D．6【答案】C【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式．【解析】解：设A点坐标为A（x，y），由图可知A点在第二象限，∴x＜0，y＞0．又∵AB⊥x轴，∴|AB|＝y，|OB|＝|x|，∴S△AOB|AB|×|OB|y×|x|＝3，∴﹣xy＝6，∴k＝﹣6．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6．关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.7．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1） B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限 D．当x＜0时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．故选B．8．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即．所以的面积等于．故选C．【点睛】考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．9．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是【】A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2C． D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大【答案】C【解析】求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断：A、联立y=x+1和，把y=x+1代入得：，解得：x1=﹣2，x2=1．代入y=x+1得：y1=﹣1，y2=2，∴B（﹣2，﹣1），A（1，2）．∴A、B关于原点不对称，故本说法错误．B、由图象知，当0＜x＜1时，一次函数y1=x+1的图象在反比例函数的图象下方，即y1＜y2，故本说法错误．C、∵，∴，故本说法正确．D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本说法错误．故选C．10．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（

）A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内【答案】C【分析】利用图中信息一一判断即可．【解析】解∶由图象可知，经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，故A选项正确．不符合题意．设0<x<5时函数解析式为y1=k1x，把（5，10）代入得，k1=2，∴y1=2x，∴y1=8时，x=4，15-4=11，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，故B选项正确，不符合题意；由图象可知，y=5时，x<5或x>15，设反比例函数解析式为y2=，把（15，8）代入得：8=，解得：，∴，当y1=5时，x1=2.5，当y2=5时，x2=24，24-2.5=21.5＜35，故C选项错误，符合题意；当y1=2时，x1=1，当y2=2时，x2=60，60-1=59，故D选项正确．不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．11．如图，若点M是轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥轴，分别交函数和的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（

）A．∠POQ不可能等于90° B．C．这两个函数的图象一定关于轴对称 D．△POQ的面积是【答案】D【解析】解：根据反比例函数的性质逐一作出判断：A．∵当PM=MO=MQ时，∠POQ=90°，故此选项错误；B．根据反比例函数的性质，由图形可得：＞0，＜0，而PM，QM为线段一定为正值，故，故此选项错误；C．根据，的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于轴对称，故此选项错误；D．∵||=PM•MO，||=MQ•MO，∴△POQ的面积=MO•PQ=MO（PM+MQ）=MO•PM+MO•MQ=．故此选项正确．故选D．12．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC·CF的值增大． D．当y增大时，BE·DF的值不变．【答案】D【解析】解：由图象可知，反比例函数图象经过（3，3），应用待定系数法可得该反比例函数关系式为，因此，当x=3时，y=3，点C与点M重合，即EC=EM，选项A错误；根据等腰直角三角形的性质，当x=3时，y=3，点C与点M重合时，EM=，当y=9时，，即EC=，所以，EC＜EM，选项B错误；根据等腰直角三角形的性质，EC=，CF=，即EC·CF=，为定值，所以不论x如何变化，EC·CF的值不变，选项C错误；根据等腰直角三角形的性质，BE=x，DF=y，所以BE·DF=，为定值，所以不论y如何变化，BE·DF的值不变，选项D正确．故选D．二、填空题13．一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．【答案】．【分析】设出反比例函数解析式，然后把点A的坐标代入求出k值，即可得到解析式．【解析】解：设这个反比例函数解析式为y＝，∵反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），∴＝﹣3，解得k＝6，∴这个反比例函数的解析式是y＝．故答案为：y＝．【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．14．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4，边OA在x轴上，若双曲线经过边OB上一点D（4，m），并与边AB交于点E，则点E的坐标为_____．【答案】【分析】作DF⊥OA于F，易证得△DOF∽△BOA，得到，求得m的值，即可求得D的坐标，代入y＝，求得k的值，得到解析式，把x＝6代入解析式即可求得E的坐标．【解析】解：作DF⊥OA于F，∵点D(4，m)，∴OF＝4，DF＝m，∵∠OAB＝90°，∴DF//AB，∴△DOF∽△BOA，∴＝，∵OA＝6，AB＝4，∴，∴m＝，∴D(4，)，∵双曲线y＝经过点D，∴k＝4×＝，∴双曲线为y＝，把x＝6代入得y＝＝，∴E(6，)，故答案为(6，)．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图像上点的坐标特征，根据待定系数法求出反比例函数的解析式是解答本题的关键．15．已知，与成正比例，与成反比例，且当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5，求y与x之间的函数关系式_______________．【答案】【解析】由题意设则将时,和时,代入得：解得：故与之间的函数关系为．故答案为：．【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数定义的应用，熟记函数定义是解题关键．16．如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是___________．【答案】x＜0或1＜x＜4【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．【解析】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．17．在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是______．【答案】【分析】将点向下平移5个单位长度得到点，再把点B代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可．【解析】将点向下平移5个单位长度得到点，则，∵点恰好在反比例函数的图像上，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．18．双曲线、在第一象限的图像如图，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连结BD、CE，则＝_______．【答案】【解析】设A点的横坐标为a，把x=a代入得，则点A的坐标为（a，）．∵AC⊥y轴，AE⊥x轴，∴C点坐标为（0，），B点的纵坐标为，E点坐标为（a，0），D点的横坐标为a．∵B点、D点在上，∴当y=时，x=；当x=a，y=．∴B点坐标为（，），D点坐标为（a，）．∴AB=a－=，AC=a，AD=－=，AE=．∴AB=AC，AD=AE．又∵∠BAD=∠CAD，∴△BAD∽△CAD．∴．19．如图，点A在双曲线上，点C在双曲线上，轴，过点A作轴，垂足为点B，连接，，与x轴交于点D，若，面积为6，则的值为__________．【答案】【分析】设轴的垂足为点E，点，则，根据，，得到，根据，得到，故点，结合题意，得到，，，解得，，计算的值即可．【解析】解：设轴的垂足为点E，点，则，因为轴，轴，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以点，因为点A在双曲线上，点C在双曲线上，所以，，因为面积为6，所以，所以，所以，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，线段与坐标的关系，平行线分线段成比例定理，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．20．如图，四边形OABC是矩形，对角线OB在y轴正半轴上，点A在反比例函数y的图像上，点C在反比例函数y的图像上，且点A在第一象限．过点A、C分别作x轴的垂线段，垂足分别为点E、F，则以下说法：①k1k2＝﹣1，②，③阴影部分面积是（k1+k2），④若四边形OABC是正方形，则k1+k2＝0，正确的是________．（填序号）【答案】②④【分析】利用比例系数k的几何意义判断①②③，利用∠AOC是直角，结合邻边相等的矩形是正方形证明△OFC和△AEO全等，判断④【解析】解：∵四边形OABC是矩形，∴△OCB≌△BAO，∵CF⊥x轴，AE⊥x轴，∴∠CFO＝∠AEO＝90°，OF和OE分别对应△OCB和△BAO的高，∴OE＝OF，∵点A、C分别在反比例函数y和y的图像上，∴OE·AE＝|k1|，OF·CF＝|k2|，∴|，故②符合题意；∴|k1k2|＝OE·AE·OF·CF＝OE2·AE·CF，由图易知∵点E的位置不固定∴k1k2的大小也不确定，故①不符合题意；由图像可知，k1＞0，k2＜0，∴S阴影＝S△CFO+S△OEA（k1﹣k2），故③不符合题意；若四边形OABC是正方形，如下图，则OC＝OA，∵∠FCO+∠COF＝90°，∠COF+∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠FCO，又∵∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，∴△CFO≌△OEA（AAS），∴CF＝OE＝OF＝AE，∵OE·AE＝|k1|，OF·CF＝|k2|，∴|k1|＝|k2|，∵k1＞0，k2＜0，∴k1＝﹣k2，∴k1+k2＝0，故④符合题意；故答案为：②④．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的性质、三角形全等的判定，解题的关键是用k=xy的关系式将线段代入进行化简，从而得到对应的数量关系，容易出错的地方为易忽略的负号．三、解答题21．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝的图象经过点A(1，)．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点O是坐标原点，将线OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．【答案】（1）y＝；（2）在，理由见解析【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出k值即可；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.利用勾股定理可求出OA的长，进而可得∠OAC=30°，∠AOC＝60°，由旋转的性质可得∠AOB=30°，即可求出∠BOD的度数，进而可得BD、OD的长，即可得B点坐标，把B点横坐标代入解析式即可得答案.【解析】(1)把A(1，)代入y＝，得k＝1×＝，∴反比例函数的解析式为y＝.(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在Rt△AOC中，OC＝1，AC＝.由勾股定理，得OA＝＝2，∴∠OAC=30°，∠AOC＝60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.由题意，∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，∴∠BOD＝30°，在Rt△BOD中，得BD＝1，OD＝，∴B点坐标为(，1)．将x＝代入y＝中，得y＝1，∴点B(，1)在反比例函数y＝的图象上.【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.22．如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．【答案】（1）点C坐标为（3，）．反比例函数的解析式．（2）．【分析】（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为，根据等边三角形和锐角三角函数的知识求出AD和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值．【解析】分析：解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，∠CAB=60°．∴AD=3，CD=sin60°×AC=×6=．∴点C坐标为（3，）．∵反比例函数的图象经过点C，∴k=．∴反比例函数的解析式．（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标为6，∴纵坐标23．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（1，4）和点B（，）．（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当>0时，直接写出>时自变量的取值范围；（3）如果点C与点A关于轴对称，求△ABC的面积．【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为（2）0＜＜1；（3）12【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是（－2，－2），利用待定系数法求一次函数的解析式．（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出当>0时，一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围或0＜x＜1．（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．【解析】解：（1）∵点A（1，4）在的图象上，∴＝1×4＝4．∴反比例函数的表达式为∵点B在的图象上，∴．∴点B（－2，－2）．又∵点A、B在一次函数的图象上，∴，解得．∴一次函数的表达式为．（2）由图象可知，当0＜＜1时，＞成立（3）∵点C与点A关于轴对称，∴C（1，－4）．过点B作BD⊥AC，垂足为D，则D（1，－5）．

∴△ABC的高BD＝1＝3，底为AC＝4＝8．∴S△ABC=AC·BD=×8×3=12．24．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？【答案】（1）s=（2）该轿车可以行驶875千米【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系中即可求得k的值，从而确定解析式；（2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值．【解析】（1）由题意得：a=0.1，S=700，代入反比例函数关系中，解得：k=Sa=70，所以函数关系式为：；（2）将a=0.08代入得：S==875千米，故该矫车可以行驶875千米．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值．25．为预防“流感病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2mg时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？【答案】(1)y＝(2)从消毒开始，师生至少在75min内不能进入教室【分析】（1）根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；（2）代入相关数据，进一步求解可得答案．（1）设反比例函数关系式为y＝．将(25,6)代入关系式，得k＝25×6＝150，则函数关系式为y＝．将y＝10代入关系式，得10＝，解得x＝15．故A(15,10)．∴反比例函数关系式为y＝(x≥15)．设正比例函数关系式为y＝nx，将A(15,10)代入上式，得n＝，∴正比例函数关系式为y＝x(0≤x≤15)．综上，y＝（2）当y＝2时，＝2，解得x＝75．答：从消毒开始，师生至少在75min内不能进入教室．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．26．已知反比例函数的图象经过点．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．【答案】(1)(2)点在反比例函数的图象上(3)【分析】（1）把点代入函数解析式，即可；（2）过点作轴的垂线交轴于点，再根据勾股定理，求出的长，根据旋转的性质，得，，过点作轴的垂线交轴于点，求出点的坐标，代入解析式，判断点是否在此反比例函数的图象上；（3）把点代入反比例函数的解析式，得到关于的一元二次方程；根据题意，可得点的坐标为，根据的面积是，根据三角形的面积公式及，得出的值，最后将所求的代数式变形，把的值代入，即可求出的值．【解析】（1）∵反比例函数的图象经过点∴∴∴反比例函数的解析式为：．（2）过点作轴的垂线交轴于点∵点∴，∴∵线段绕点顺时针旋转得到线段∴，∵∴∴∴∴∴∴点∵将代入中，得∴点在反比例函数图象上．（3）∵点在此反比例函数的图象上∴∴∴∵，点的纵坐标为∴点∵∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解反比例函数解析式，旋转的性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，把看成一个整体，代入式子，进行计算．27．直线与反比例函数图象交于A，B两点，C是第一象限内的反比例函数图象上A点右侧任意一点；(1)如图1，求A，B两点坐标；(2)如图2，连接，若，求点C的坐标；(3)如图3，设直线分别与x轴相交于D，E两点，且，，求的值．【答案】(1)；(2)C；(3)2【分析】（1）当时，解方程可得点A、B的横坐标，从而得出答案；（2）过点A作，交直线于D，过A作