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函数y=eq\f(2-5x2,16+x2)的图像示意图※.函数的定义域∵分式函数的分母16+x2>0,对任意的x都成立,则自变量x可以取全体实数,∴函数y=eq\f(2-5x2,16+x2)的定义域为(-∞,+∞)。※.函数的单调性本步骤用导数知识来判断,先求函数的一阶导数:∵y=eq\f(2-5x2,16+x2)∴eq\f(dy,dx)=eq\f(-10x(16+x2)-2x(2-5x2),(16+x2)2)=-2*82*eq\f(x,(16+x2)2),则函数的单调性为:(1).当x≥0时,eq\f(dy,dx)≤0,此时函数y在定义域上为减函数;(2).当x<0时,eq\f(dy,dx)>0,此时函数y在定义域上为增函数。此时x=0处,函数y有最大值,即:ymax=f(0)=eq\f(2-0,16+0)=eq\f(1,8).※.函数的值域把函数y=eq\f(2-5x2,16+x2)变形为x2的二次方程为:(16+x2)y=2-5x2(5+y)x2=2-16y则有:x2=eq\f(2-16y,5+y)≥0,解出:-5<y≤eq\f(1,8),所以函数y的值域为:(-5,eq\f(1,8)]。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=-2*82*eq\f(x,(16+x2)2),∴eq\f(d2y,dx2)=-2*82*eq\f((16+x2)2-4x2(16+x2),(16+x2)4)eq\f(d2y,dx2)=2*82*eq\f(3x2-16,(16+x2)3),令eq\f(d2y,dx2)=0,则3x2-16=0,则x1=-eq\f(4\r(3),3),x2=eq\f(4\r(3),3),此时函数的凸凹性为:(1).当x∈(-∞,-eq\f(4\r(3),3))∪(eq\f(4\r(3),3),+∞)时,eq\f(d2y,dx2)>0,此时函数y的图像为凹曲线;(2).当x∈[-eq\f(4\r(3),3),eq\f(4\r(3),3)]时,eq\f(d2y,dx2)≤0,此时函数y的图像为凸曲线。※.函数的奇偶性∵f(x)=eq\f(2-5x2,16+x2),∴f(-x)=eq\f(2-5(-x)2,16+(-x)2)=eq\f(2-5x2,16+x2),即f(-x)=f(x),则函数为偶函数,其图像关于y轴对称。.函数的五点图表x01.152.313.464.622-5x22-4.61-24.68-57.86-104.7216+x21617.3221.3427.9737.34y0.13-0.27-1.16-2.07-2.80x-4.62-3.46-2.31-1.1502-5x2-104.72-57.86-24.68-4.61216+x237.3427.9721.3417.3216y-2.80-2.07-1.16-0.270.13.函数的图像示意图y=eq\f(2-5x2,16+x2) y(0,0.13)(-1.15,-0.27)(1.15,-0.27)(-2.31,-1.16)(2.31,-1.16)(-3.46,-2.07)(3.46,-2.07)
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