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PAGEPAGE1高等数学竞赛试题(一)答案填空:(本题12分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)1.若是上的连续函数,则a=-1。2.函数在区间上的最大值为。3.。4.设函数由方程所确定,则。二、选择题:(本题12分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)设函数f(x)可导,并且,则当时,该函数在点处微分dy是的(A)(A)等价无穷小;(B)同阶但不等价的无穷小;(C)高阶无穷小;(D)低阶无穷小。设函数f(x)在点x=a处可导,则在点x=a处不可导的充要条件是(C)(A)f(a)=0,且;(B)f(a)≠0,但;(C)f(a)=0,且;(D)f(a)≠0,且。曲线(B)(A)没有渐近线;(B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;(C)有一条铅直渐近线;(D)有两条水平渐近线。设均为可微函数,且。已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项中的正确者为(D)(A)若,则;(B)若,则;(C)若,则;(D)若,则。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数,且,,求。(本题9分)解:由题设可推知f(0)=0,,于是有。故。 四、设函数由参数方程所确定,求。(本题9分)解:由,,得到,所以。而当x=9时,由及t>1,得t=2,故。五、设n为自然数,计算积分。(本题9分)解:注意到:对于每个固定的n,总有,所以被积函数在x=0点处有界(x=0不是被积函数的奇点)。又,于是有,上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有。所以。六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数,x=0为其第一类跳跃间断点,证明是连续的偶函数,但在x=0点处不可导。(本题9分)证明:因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点,所以存在,设为A,则A≠0;又因f(x)为奇函数,所以。命:则在x=0点处连续,从而在上处处连续,且是奇函数:当x>0,则-x<0,;当x<0,则-x>0,,即是连续的奇函数,于是是连续的偶函数,且在x=0点处可导。又,即,所以是连续的偶函数,但在x=0点处不可导。七、设f(u,v)有一阶连续偏导数,,,证明:。(本题10分)解:设:,则类似可得,代入原式左边,得到八、设函数f(u)连续,在点u=0处可导,且f(0)=0,求:。(本题10分)解:记,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数的对称性,有于是有。九、计算,其中L为正向一周。(本题10分)解:因为L为,故其中D为L所围区域,故为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。当时,;当时,;当时,;当时,,故D的面积为2×1=2。从而。十、设常数,证明:当x>0且x≠1时,。(本题10分)证明:设函数,故要证,只需证:当;当。显然:。命:,则。当x=2时,,x=2为唯一驻点。又,,所以x=2为的唯一极小值点,故为的最小值(x>0),即当x>0时,从而严格单调递增。又因,所以当;当。高等数学竞赛模拟试题(二)参考答案填空题(每小题4分,共40分)1.函数(其中)的反函数为。2.设与是非零向量,且及则。3.,则。4.若且有,则=。5.。6.。7.。8.已知当时,与为等价无穷小,则,。9.设是连续函数,则。10.直线过点且与两条直线,垂直,则的参数方程为。二、(每小题6分,共18分)1.设求解:2.求极限解:,,。3.在已知平面内作一直线,此直线通过已知直线与平面的交点,且垂直于已知直线,试求该直线的方程。解:求解,得与的交点为。直线的方向向量为,所求直线的方向向量,而,所求直线的方程为,。三、(8分)设是由方程所确定的隐函数,求。解:令,四、(7分+9分)1.设,求使不等式成立的最小的值。解:单调增加,2.证明:当时,证:由于是偶函数,仅考虑即可,,即要证:,而。五、(9分)设在上存在连续导数,在内存在二阶导数,,,求证:1)至少存在互异的两点,使得;2)至少存在一点,使得。证
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