函数性质奇偶性讲义-高一上学期数学人教A版

函数的性质—奇偶性模块一：奇偶性的定义与证明知识精讲1．函数奇偶性的定义（1）奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．（2）偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．2．函数奇偶性的判断（1）定义法；（2）性质法：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（3）图像法．典例分析【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【练1.1】判断下列函数是否具有奇偶性：（1）； （2）．【练1.2】判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3）．【练1.3】（1）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（）A． B． C． D．（2）（多选）已知函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数【例2】若函数是奇函数，求实数的值．【练2.1】函数是奇函数，则__________．【练2.2】若函数为偶函数，则实数__________．

【例3】已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并证明．【练3.1】已知函数，且．（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性．【练3.2】已知函数，定义域为，且，．（1）确定函数的解析式；（2）判断并证明函数奇偶性．模块二：奇偶性的性质与应用知识精讲1．函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；2．函数是偶函数的图象关于轴对称；3．函数是奇函数的图象关于原点对称;4．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反;5．若为奇函数，则;推论1：若为奇函数;推论2：若为奇函数，且0在定义域内，则;推论3：若为奇函数，则关于有这样的性质；①；②若在上有最大值和最小值，则．典例分析【例4】（1）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则等于（）A． B．7 C． D．5（2）已知函数的图象关于原点对称，当时，，则当时，函数____．【练4.1】已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为____．

【练4.2】已知函数是定义在上的偶函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）用定义法证明在上的单调性．【例5】已知是定义在上的偶函数，那么的值为（）A． B． C． D．【练5.1】函数是定义在的偶函数，则的值为（）A． B． C． D．【练5.2】若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是________．【例6】（1）若函数是偶函数，在上有最大值8，则函数在上有（）A．最小值 B．最大值8 C．最小值 D．最小值（2）设函数，若，则________．

【练6.1】（1）定义在上的函数、，其中是奇函数满足且，则________．（2）已知且，那么________．（3）已知函数为奇函数，若，则______模块三：单调性与及奇偶性的综合知识精讲奇偶性和单调性的综合应用：1．利用单调性和奇偶性解不等式的方法（1）充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式，再利用单调性脱掉“”求解．（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．2．已知奇偶性，求函数的解析式根据函数奇偶性求解析式的三个步骤步骤一:“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间．步骤二:转化代入已知区间的解析式．步骤三:利用函数的奇偶性写出或，从而求出函数的解析式．典例分析【例7】（1）已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是________．（2）已知是定义域为的奇函数，而且是减函数，如果，那么实数的取值范围是____．【练7.1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【练7.2】已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为________．【例8】函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数在上是增函数；（3）解不等式．【练8.1】已知是定义在上的奇函数，且，若，，时，有．（1）证明在上是增函数；（2）解不等式（3）若对，恒成立，求实数的取值范围．

模块四：函数周期性知识精讲1．定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期;2．若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期;3．函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期；（2）的周期；（3）的周期；（4）（为常数）的周期；（5）（为常数）的周期；（6）双对称的周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期．典例分析【例9】（1）设是周期为2的奇函数，当时，，则（）A． B． C． D．（2）设函数对任意都有且，则（）A．2 B． C．2020 D．【练9.1】（1）已知是定义在上的偶函数，并满足，当，，则（） B． C． （2）偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则（）A． B． C． D．【例10】（1）函数是上最小正周期为2的周期函数，当时，则函数的图象在区间上与轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9（2）已知是定义在上周期为2的函数