高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1851-5

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质．3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．4.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．【热点题型】题型一函数单调性的判断例1、(1)下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝eq\f(1,x)－xD．f(x)＝ln(x＋1)(2)函数y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)．解析(1)由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)是减函数，f(x)＝eq\f(1,x)－x求导，f′(x)＝eq\f(1,x2)－1<0，∴f(x)＝eq\f(1,x)－x在(0，＋∞)是减函数．(2)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则y1－y2＝eq\f(x1＋2,x1＋1)－eq\f(x2＋2,x2＋1)＝eq\f(x2－x1,x1＋1x2＋1).∵x1>－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，又x1<x2，∴x2－x1>0，∴eq\f(x2－x1,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0.∴y1>y2，所以函数y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．答案(1)C(2)减函数【提分秘籍】(1)图象法eq\x(作图象)→eq\x(看升降)→eq\x(归纳单调性区间)(2)转化法(3)导数法eq\x(求导)→eq\x(判断f′x正、负)→eq\x(单调性区间)(4)定义法eq\x(取值)→eq\x(作差)→eq\x(变形)→eq\x(定号)→eq\x(单调性区间)求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则．【举一反三】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)题型二求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝logeq\f(1,2)(x2－3x＋2)．解析(1)由于y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1x≥0，,－x2－2x＋1x<0，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2x≥0，,－x＋12＋2x<0.))画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logeq\f(1,2)u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.∴函数y＝logeq\f(1,2)(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝eq\f(3,2)，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝logeq\f(1,2)u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝logeq\f(1,2)(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)若函数f(x)的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【举一反三】求下列函数的单调区间，并指出其增减性．(1)y＝(a>0且a≠1)；(2)y＝logeq\f(1,2)(4x－x2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝ex＋sinx，则()A．f(1)<f(2)<f(3) B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1) D．f(3)<f(1)<f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，又当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f′(x)＝ex＋cosx>0恒成立，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<eq\f(π,2)，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即f(3)<f(1)<f(2)．答案：D【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题．(3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接.【举一反三】已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，如果对于0<x<y，都有f(x)>f(y)．(1)求f(1)的值；(2)解不等式f(－x)＋f(3－x)≥－2.解析：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0.(2)由题意知f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x>0，,3－x>0，))∴x<0，∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，x、y∈(0，＋∞)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1.∴f(－x)＋f(3－x)≥－2可化为f(－x)＋f(3－x)≥－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即f(－x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3－x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥0＝f(1)⇔feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,2)))≥f(1)⇔feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)·\f(3－x,2)))≥f(1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,－\f(x,2)·\f(3－x,2)≤1，))解得－1≤x<0.∴不等式的解集为{x|－1≤x<0}．【变式探究】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－ax<1,logaxx≥1))是(－∞，＋∞)上的增函数，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,3)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))题型四函数奇偶性的判定例4、(1)下列函数不具有奇偶性的有________．①f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝x2＋|x|－2；④f(x)＝lgx2＋lgeq\f(1,x2)；⑤f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋xx<0，,－x2＋xx>0))(2)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析(1)①由eq\f(1－x,1＋x)≥0可得函数的定义域为(－1,1]，所以函数为非奇非偶函数．②∵x∈R，f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x3－x是奇函数．③∵x∈R，f(－x)＝(－x)2＋|－x|－2＝x2＋|x|－2＝f(x)，∴f(x)＝x2＋|x|－2是偶函数．④定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝lgx2＋lgeq\f(1,x2)＝lgx2＋lg(x2)－1＝lgx2－lgx2＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．⑤当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．∴函数为奇函数．(2)若f(x)是奇函数，则对任意的x∈R，均有f(－x)＝－f(x)，即|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|是偶函数，即y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．反过来，若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则不能得出y＝f(x)一定是奇函数，比如y＝|x2|，显然，其图象关于y轴对称，但是y＝x2是偶函数．故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件．答案(1)①(2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路：①定义法：②图象法：③性质法：a.“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；b．“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．(2)判断函数奇偶性时应注意问题：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．【举一反三】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C题型五函数的周期性例5、已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2014)的值为()A．2 B．0C．－2 D．±2解析∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2014)＝f(2)＝2.答案A【提分秘籍】函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(x＋a)＝－f(x)⇒T＝2a.【举一反三】函数f(x)＝lg|sinx|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数．答案：C题型六函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例6、设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋f(0)＝2eq\f(1,2)－1＋21－1＋20－1＝eq\r(2).答案：eq\r(2)【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数值．(2)与函数图象有关的问题．(3)奇偶性、周期性单调性的综合．2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性.【举一反三】设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，则下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3.其中正确命题的序号是________．【高考风向标】1.【高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为f'(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f'(x)＝g'(x)，即2xln2＝2x＋a记h(x)＝2xln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2存在x0∈(0，1)，使得h(x0)＝0，可知函数h(x)先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f'(x)＝－g'(x)，即2xln2＝－2x－a令h(x)＝2xln2＋2x，则h'(x)＝2x(ln2)2＋2＞0恒成立，即h(x)是单调递增函数，当x→＋∞时，h(x)→＋∞当x→－∞时，h(x)→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h(x)有交点.④正确2.【高考陕西，文10】设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】；；因为，由是个递增函数，所以，故答案选C3.【高考浙江，文12】已知函数，则，的最小值是．【答案】4.【高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数，其中为实数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.1．（·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.2．（·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2)B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A【解析】由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．3．（·江苏卷）已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－xeq\o\al(3,0)＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．【解析】(1)证明：因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝ex(x>0)，则t>1，所以m≤－eq\f(t－1,t2－t＋1)＝－eq\f(1,t－1＋\f(1,t－1)＋1)对任意t>1成立．因为t－1＋eq\f(1,t－1)＋1≥2eq\r(（t－1）·\f(1,t－1))＋1＝3,所以－eq\f(1,t－1＋\f(1,t－1)＋1)≥－eq\f(1,3)，当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．因此实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).(3)令函数g(x)＝ex＋eq\f(1,ex)－a(－x3＋3x)，则g′(x)＝ex－eq\f(1,ex)＋3a(x2－1)．当x≥1时，ex－eq\f(1,ex)>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－xeq\o\al(3,0)＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，故e＋e－1－2a<0,即a>eq\f(e＋e－1,2).令函数h(x)＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－eq\f(e－1,x).令h′(x)＝0,得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0.所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e＋e－1,2)，e))⊆(1，e)时，h(a)<0，即a－1<(e－1)lna，从而ea－1<ae－1；②当a＝e时，ea－1＝ae－1；③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)lna，故ea－1>ae－1.综上所述，当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e＋e－1,2)，e))时，ea－1<ae－1；当a＝e时，ea－1＝ae－1；当a∈(e，＋∞)时，ea－1>ae－1.4．（·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋eq\f(x,x2＋1)(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x＋2)＋eq\f(x,x2＋1)(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝eq\f(x,x2＋1)(x＞－2)．易知f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以存在正数M＝eq\f(1,2)，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确5．（·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤eq\f(1,2)时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥eq\f(e,2)时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当eq\f(1,2)＜a＜eq\f(e,2)时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当a≤eq\f(1,2)时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当eq\f(1,2)＜a＜eq\f(e,2)时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥eq\f(e,2)时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤eq\f(1,2)时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥eq\f(e,2)时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以eq\f(1,2)＜a＜eq\f(e,2).此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.解得e－2＜a＜1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.6．（·北京卷）函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x≥1，,2x，x<1))的值域为________．【答案】(－∞，2)【解析】函数y＝logeq\f(1,2)x在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y＝logeq\f(1,2)x的值域为(－∞，0]；函数y＝2x在R上是增函数，当x<1时，函数y＝2x的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．7．（·北京卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝eq\f(1,x)B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|【答案】C【解析】对于A，y＝eq\f(1,x)是奇函数，排除．对于B，y＝e－x既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D，y＝lg|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意．8．（·新课标全国卷Ⅱ]若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)【答案】D【解析】由题意存在正数x使得a>x－eq\f(1,2x)成立，即a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\do7(min).由于x－eq\f(1,2x)是(0，＋∞)上的增函数，故x－eq\f(1,2x)>0－eq\f(1,20)＝－1，所以a>－1.答案为D.9．（·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【答案】C【解析】x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1<x0，则f(x)在区间(x1，x0)单调递减，C错误．D正确．故答案为C.10．（·四川卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a，x<0，,lnx，x>0，))其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)证明：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)．故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)·f′(x2)＝－1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.因为x1<x2<0，所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2<0，2x2＋2>0，因此x2－x1＝eq\f(1,2)[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥eq\r([－（2x1＋2）]（2x2＋2）)＝1.当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－eq\f(3,2)且x2＝－eq\f(1,2)时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.(3)当x1<x2<0或x2>x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图像在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(xeq\o\al(2,1)＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－xeq\o\al(2,1)＋a.当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(1,x2)·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＝2x1＋2，①,lnx2－1＝－xeq\o\al(2,1)＋a.②))由①及x1<0<x2知，0<eq\f(1,x2)<2.由①②得，a＝lnx2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x2)－1))eq\s\up12(2)－1＝－lneq\f(1,x2)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－2))eq\s\up12(2)－1.令t＝eq\f(1,x2)，则0<t<2，且a＝eq\f(1,4)t2－t－lnt.设h(t)＝eq\f(1,4)t2－t－lnt(0<t<2)．则h′(t)＝eq\f(1,2)t－1－eq\f(1,t)＝eq\f(（t－1）2－3,2t)<0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln2－1，所以a>－ln2－1，而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．11．（·四川卷）设函数f(x)＝eq\r(ex＋x－a)(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是()A．[1，e]B．[1，1＋e]C．[e，1＋e]D．[0，1]【答案】A【高考押题】1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg|x|为偶函数．答案C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.答案D3．若函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．先减后增解析∵y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－eq\f(b,2a)<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．答案B4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是 ()．A．(－∞，0] B．[0,1)C．[1，＋∞) D．[－1,0]解析g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案B5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，1]C．(－∞，0) D．(－∞，－1]解析二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案C6．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()．A．3B．1C解析由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.答案D7．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()．A．－1B．0C解析(构造法)构造函数f(x)＝sineq\f(π,2)x，则有f(x＋2)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋2))＝－sineq\f(π,2)x＝－f(x)，所以f(x)＝sineq\f(π,2)x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案B8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 ()．A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3))) B．f(sin1)<f(cos1)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6))) D．f(cos2)>f(sin2)9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则该函数是 ()．A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减解析当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．答案C10．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为()A．2B．－1C．－eq\f(1,2)D．1解析f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.答案D11．设函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则下列结论错误的是 ()．A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．答案C12．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．解(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.(i)当a<0，b>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>－eq\f(a,2b)，解得x>logeq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；(ii)当a>0，b<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<－eq\f(a,2b)，解得x<logeq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).14．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.15.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f()的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f()＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.16．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝eq\f(1,2)x，求使f(x)＝－eq\f(1,2)在[0,2014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝eq\f(1,2)x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝eq\f(1,2)(－x)＝－eq\f(1,2)x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－eq\f(1,2)x，即f(x)＝eq\f(1,2)x.故f(x)＝eq\f(1,2)x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)，∴f(x)＝－eq\f(1,2)(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，－1≤x≤1，,－\f(1,2)x－2，1<x<3.))由f(x)＝－eq\f(1,2)，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝－eq\f(1,2)的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2014，则eq\f(1,4)≤n≤eq\f(2015,4).又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，∴在[0,2014]上共有503个x使f(x)＝－eq\f(1,2).高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线与直线互相垂直，那么a的值等于()A．1B．C．D．2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq\r(3)，则圆C的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线在点（1，2）处的切线为，则直线上的任意点P与圆上的任意点Q之间的最近距离是（）A.B.C.D.22.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为。若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的方程为。3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆的半径为为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合）沿圆周逆时针滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为（）A．或 B．C．或 D．或2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值是2，则（）A.B.C.D.4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线与抛物线x2=4y相交于A,B两点，与圆C：(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点，若这样的直线恰有4条，则r的取值范围是（）A.（1，3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【热点题型】题型一空间几何体的三视图和直观图例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．答案(1)B(2)eq\f(\r(6),16)a2解析(1)该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.(2)画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝eq\f(1,2)DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)S△OAB＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.【提分秘籍】(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【举一反三】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形答案(1)B(2)C解析(1)如图，几何体为三棱柱．题型二空间几何体的表面积与体积例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.eq\f(23,3)B.eq\f(47,6)C．6D．7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．答案(1)C(2)A(3)1∶2∶3解析(1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V＝2×2×2－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(23,3).(3)设正方体的棱长为a，①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图①所示，有2r1＝a，∴r1＝eq\f(a,2)，S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.【提分秘籍】(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．【举一反三】(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(2),4)答案(1)C(2)C解析(1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为eq\r(42＋12)＝eq\r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq\f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).(2)因为C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO＝CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，所以侧视图的面积等于S△AOC＝eq\f(1,2)CO·AO＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)，故选C.题型三空间几何体的结构特征例3、给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④⑤解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．【提分秘籍】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【举一反三】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案A图1图2【高考风向标】1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体与一个底面边长为，高为的正四棱锥的组合体，故其体积为.故选C.2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(B)(C)(D)【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为，故选B.3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则()（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.5.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】B6.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()（A）QUOTE（B）QUOTE（）（）【答案】B【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为，斜边上的高为，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为，故选B.7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面PAC⊥底面ABC，且≌，由三视图中所给数据可知：,取中点连接，则中，∴，故选C.8.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为.【答案】【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.9.【高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.【答案】