抛物线的简单几何性质（原卷版）

3.：抛物线的简单几何性质【考点梳理】考点一：抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p考点二：直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．考点三：直线和抛物线1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.2．抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【题型归纳】题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点、范围）1．（2023·全国·高二专题）对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为2．（2022·高二课时练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞23．（2017秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为A． B． C． D．4．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（

）A． B． C． D．题型二：抛物线的对称性5．（2023·全国·高二专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023秋·高二课前预习）是抛物线上的两点，为坐标原，且的面积为，则（

）A． B． C． D．题型三：抛物线的弦长问题7．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·全国·高二专题练习）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为（

）A． B． C． D．题型四：抛物线的焦点弦性质问题10．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（

）A．1 B．2 C． D．311．（2023春·江西吉安·高二江西省万安中学校考期中）过抛物线C：的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为（

）A．2 B． C．1 D．12．（2023春·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（

）A． B．4 C． D．题型五：抛物线中的参数范围13．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线上三点A，B，C，且当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2022春·北京·高二北京二中校考期末），是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．6415．（2022·全国·高二专题练习）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（

）A．1 B． C． D．题型六：抛物线的定值、定点问题16．（2023秋·全国·高二期中）如图，设直线与抛物线(为常数)交于不同的两点，且当时，抛物线的焦点到直线的距离为.过点的直线交抛物线于另一点，且直线过点，则直线过点（

）A． B． C． D．17．（2023秋·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．18．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.(1)求抛物线的方程；(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.【双基达标】单选题19．（2023·全国·高二专题练习）直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（）A． B． C． D．20．（2023秋·高二课时练习）已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A． B． C．8 D．221．（2023秋·高二课时练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（

）A．4 B． C．8 D．22．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（

）A． B． C．8 D．23．（2023秋·高二课时练习）过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，若直线的斜率为2，直线，的斜率倒数之和为3，则（

）A． B．5 C． D．1524．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二课时练习）已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点.求证：(1)，；(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.26．（2023·全国·高二随堂练习）如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.(1)若，求弦AB中点的轨迹方程；(2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：.【高分突破】一、单选题27．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（

）A． B．3 C． D．628．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．229．（2023·全国·高二专题练习）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．430．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．631．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（

）A．2 B． C．3 D．32．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且位于第一象限，于点，过点作QF的平行线交轴于点，若，且四边形PQKR的面积为，则直线QR的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题33．（2023春·全国·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则的最小值为34．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（

）A．直线l的方程为B．原点到直线l的距离为C．D．以AB为直径的圆过原点35．（2023秋·高二单元测试）如图，过抛物线的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则（

）A． B．C． D．36．（2023秋·高二课时练习）已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（

）A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B．若直线l过焦点F，则C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D．若，则直线l恒过点三、填空题37．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线与直线交于两点（点在第一象限），的焦点为，则.38．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为．39．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则40．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，．四、解答题41．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．42．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦