山东省日照市高三5月校际联考数学（理）试题

高三校际联合考试理科数学2018.05本试卷共5页，满分150分。考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}2．若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数A． B．1 C． D．3．己知直线，直线A． B． C． D．4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为A． B． C． D．5．若双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为A. B. C. D．6.已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A.(1，+∞) B．(－∞，3) C．(1，3) D．7．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中mod(m，n)表示m除以n的余数，例如mod(7，3)=1．若输入m的值为8，则输出i的值为A．2 B．3C．4 D．58．已知中，，P为线段AC上任意一点，则的范围是A．[1，4] B．[0，4]C．[－2，4] D．9.己知数列中，，且对任意的，都有，则A． B． C． D．10．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A．二 B．三 C．四 D．五11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为A． B． C．3 D．4

12．如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实(虚)线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A． B． C． D．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，则实数_________．14．若满足条件的最大值为__________．15．已知__________．16．若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：①内单调递增；②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；④之间存在唯一的“隔离直线”．其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．(12分)己知分别为三个内角A，B，C的对边，且．(I)求角A的大小；(II)若b+c=5，且的面积为，求a的值．18．(12分)已知三棱锥P—ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：(I)证明：平面平面ABC；(II)求二面角A—PC—B的余弦值．19．(12分)在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示：(I)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(37<Z≤79)；(II)在(I)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：．

20．(12分)己知椭圆的焦距为，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线相交于P，Q两点，且．(I)求椭圆C的标准方程和圆A的方程。(II)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率成等比数列，记以线段OM，线段ON为直径的圆的面积分别为的值是否为定值?若是，求出此值：若不是，说明理由．21．(12分)已知函数(e为自然对数的底数)．(I)若的单调性；(II)若，函数内存在零点，求实数a的范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．(10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点且倾斜角为.(I)求曲线C的直角坐标方程和直线的参数方程；(II)设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23．(10分)选修45：不等式选讲已知函数的最大值为t．(I)求t的值以及此时x的取值集合；(II)若实数满足，证明：.二〇一五级校际联考理科数学答案2018.5一、选择题：DCDAACBDDCBB1．答案：D解析：，所以，故选D2．答案：C解析：，所以，故选C答案：D解析：因为，所以，所以，所以.故选D.4．答案：A解析：设圆的半径为，则圆的面积，正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率，故选A.5．答案：A解析：双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，因为是双曲线的渐近线方程，所以，解得，故选A.6．答案C解析:由“”是真命题，则为真命题，也为真命题，若为真命题，则不等式恒成立，，∴．若为真命题，即，所以．即.故选C.7．答案B解析:模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：，，，∴共要循环次，故．故选B．8．答案D解析：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则,，设,所以，故选D.9．答案：D解析：取m＝1得，，即，从而即，求得，故选D.10．答案C．解析：因为昨天值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日若今天为星期二，则星期一值夜班，星期四值夜班，则星期二与星期三至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾若今天为星期三，则星期二值夜班，星期四值夜班，则星期三与星期五至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾若今天为星期五，则星期四值夜班，与星期四值夜班矛盾若今天为星期六，则星期五值夜班，星期四值夜班，则下星期一与星期二至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾，综上所述，今天是星期四，故选C.11．答案B解析：设且,易知，设直线由所以易知在上为减函数，所以当时，,故选B12．答案B解析:几何体的直观图如图所示为三棱锥，三棱锥中，，所以外接球的直径为，则半径，所以外接球的表面积,故选B.二、填空题：13．答案：14．答案：15．答案：18016．答案：①②④13．答案：解析：由，则，所以，又由，所以，解得，故答案为.14．答案：解析：由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，，故答案为.15．答案：180解析：，，，故答案为.16．答案：①②④解析：①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立，即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正确，③错误；④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，若，则不恒成立.若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立.所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．三、解答题：17．答案:（Ⅰ）（或）;（Ⅱ）．解：（Ⅰ）由正弦定理得，∵∴，即．…3分∵∴∴∴．…6分（Ⅱ）由：可得．∴…9分∵∴由余弦定理得：∴…12分18.答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．（Ⅰ）证明：方法1：设的中点为，连接，．由题意得，，，，因为在中，，为的中点，所以，…2分因为在中，，，，所以，…4分因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.…6分（Ⅱ）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.由平面，故平面的法向量为，…8分由，，设平面的法向量为，则由得：令，得，，即，…10分.由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.…12分19.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析．解：（Ⅰ）,故，…2分∴，．∴综上,．…5分（Ⅱ）易知获赠话费的可能取值为，，，．…7分；；；．…9分的分布列为：∴．…12分20．答案：（Ⅰ）椭圆的方程为，圆的方程为；（Ⅱ）为定值，定值为.解：（Ⅰ）如图，设为的中点，连接，则，因为，即，所以，又，所以，所以，所以．………………2分由已知得,所以椭圆的方程为，……4分所以，所以，所以，所以圆的方程为．………………6分（Ⅱ）设直线的方程为，由，得，所以，由题设知，………………8分………………10分则故为定值，该定值为．…………1221．答案：（Ⅰ）(1)当时，在上单调递减；(2)当时,在上单调递减,在单调递增．（Ⅱ）的取值范围是.解：（I）定义域为故则(1)若，则在上单调递减；…2分(2)若，令.①当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；②当时，，因而在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.综上，(1)当时，在上单调递减；(2)当时，在上单调递减，在单调递增．…5分（Ⅱ）设,，设，则．(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.…7分(2)若,①当时，，由（1）知对任意恒成立，故，对任意恒成立，②当时,，因此当时必有零点，记第一个零点为，当时，单调递增，.由①②可知，当时，必存在零点.…9分(2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，，故在上为减函数，又，所以当时，，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.…12分（Ⅱ）解法二：设,，(1