2024届安徽省亳州市高三上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2安徽省亳州市2024届高三上学期1月期末质量检测数学试题一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.2.已知复数，则“”是“的实部小于0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为若其实部小于0，则，即，显然是的必要不充分条件，则“”是“的实部小于0”的必要不充分条件，故选：B.3.如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（）A.140 B.240 C.280 D.320〖答案〗C〖解析〗由已知得，所以，因为第五组的员工人数为80，所以第二组的员工人数为.故选：C.4.在等差数列中，已知，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗设的公差为.由已知可得，所以，则.故选：B.5.如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.6.已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无法确定〖答案〗B〖解析〗直线的方程可化为，所以直线恒过点，曲线即，表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图），由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1.故选：B.7.在三棱锥中，已知，平面平面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分别取的中点为，连接.因为，所以,则,又则,又平面平面，平面平面，，则,平面，所以平面，又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,故为二面角的平面角，所以，所以，三棱锥外接球的球心在直线上.设，则，即，解得（负值舍），所以三棱锥外接球的半径为，表面积为.故选：A.8.当时，函数在上的零点的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗D〖解析〗令，则，即.构造函数，则问题等价于讨论方程的根的个数.因为函数在上单调递增；函数在上单调递增；所以在上单调递增，故问题进一步等价于讨论方程的根的问题，即可转化为根的问题，即等价于当时，函数与直线在上交点个数.因为函数在上单调递增；函数在上单调递增；所以函数单调递增，故.又因为当时，所以当时，方程只有一根，所以函数在上的零点的个数为1.故选：D二､多项选择题9.已知向量满足，且，则的坐标可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗设为坐标原点，则由可知三点共线，且在之间，选项A：，，与不平行，选项A错误；选项B：，，与平行，且在之间，选项B正确；选项C：，，与平行，且在之间，选项C正确；选项D：，，与平行，但不在之间，选项D错误.故选：BC.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗设的最小正周期为，由图象可得到，故，因为，所以，解得，故A正确；将代入，得，则，解得，因为，所以当时，，所以，故B错误；因为，所以的图象关于点对称，故C正确；当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD11.将正数用科学记数法表示为，则，我们把，分别叫做的首数和尾数，若将的首数记为，尾数记为，则下列说法正确的是（）A.B.是周期函数C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以，故A正确；对于B，若，必有，不可能存在非零常数，使得恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误；对于C，设，则，若10，则，若，则，所以，故C正确；对于D，设同选项，若，则，若，则，所以，故D错误.故选：AC.12.已知抛物线的焦点到点的距离为，直线经过点，且与交于点（位于第一象限），为抛物线上之间的一点，为点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.B.若的斜率为1，则当到的距离最大时，（为坐标原点）为直角三角形C.若，则的斜率为3D.若不重合，则直线经过定点〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为抛物线的焦点的坐标为，由已知得，解得，故A正确；对于B，当到的距离最大时，以为切点的的切线斜率也为1，因为，所以只需考虑，则，令，得，则，则此时，又的坐标为，所以轴，所以为直角三角形，故B正确；对于C，如图，设的准线为，过点分别作，过点作，当时，设，所以，所以，即的斜率为，故C错误；对于D，设，则，设的方程为，代入，得0，易得，所以，直线的方程为，则，所以经过定点，故D正确.故选：ABD.三､填空题13.已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为__________.〖答案〗〖解析〗设，令，得，则切点为，故所求的方程为.故〖答案〗为：.14.已知随机变量，若，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因，所以，所以.故〖答案〗为：.15.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗将两式平方,相加得，即，因为，所以，所以.故〖答案〗为：16.已知椭圆的左､右焦点分别为为坐标原点，点在上，且，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意知椭圆方程为，则，设，则，而，由余弦定理得，即，所以.因为O为的中点，故，所以，，所以，即，故〖答案〗为：.四､解答题17.设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，点在边上，，且，求.解：（1）因为，由余弦定理得，整理得，所以，因为，所以.（2）由题意知，所以，由（1）的过程可得，代入的值整理得，解得或.当时，，此时为钝角，不符合条件，当时，，符合条件，所以.18.记正项等比数列､等差数列的前项和分别为，已知，.（1）求和的通项公式；（2）设集合，求中元素的个数.解：（1）设的公比为的公差为，因为，所以，解得或（舍去），所以.因为，所以，即，因为，所以，所以.（2）因为，所以，因为，从四个数中任取两个数（可重复）有种取法，易知不同取法中的两个数之和都互不相等，故集合中的元素有10个.19.如图，直四棱柱的棱长均为为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明：在直四棱柱中，平面，而平面，所以，因为四棱柱的各棱长均相等，故四边形是菱形，所以，又因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：设与的交点为，则，根据直四棱柱可以为坐标原点，所在直线为轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知，则.设平面的法向量为，则即，取.设平面法向量为，则即，取.因为，所以二面角的正弦值为.20.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题.（1）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及.（2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率.解：（1）的所有可能取值为，所以的分布列为123故.（2）记事件“小张回答类题”，“小张回答类题”，“小张回答论述题”.（i）由（1）知，由题意知，所以.（ii），所以.21.已知函数.（1）若，求的极小值；（2）若对任意的和，不等式恒成立，求的最大值.解：（1）当时，，所以，易知在上单调递增，且，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以在处取得极小值.（2）因为，所以恒成立等价于恒成立.设，则，易知在上单调递增，且当时，，当时，，所以在内存在唯一零点，即，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以.结合式，可知：，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为2，要使恒成立，须，即的最大值为2.22.已知双曲线经过点，直线与交于两点，直线分别与轴相交于点.（1）证明：以线段为直径的圆恒过点；（2）若，且，求.（1）证明：将代入，得，所以，所以的方程为.要证明以线段为直径的圆恒过点，即证.设，根据题意知直线的斜率存在，则，故直线，令，得，用替换，得.所以，所以.因为，所以，所以，故原命题得证.（2）解：因为，所以.由可得，记的斜率为，则用替换，可得.所以，化简可得，又，所以，解得或（舍去）.所以.安徽省亳州市2024届高三上学期1月期末质量检测数学试题一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.2.已知复数，则“”是“的实部小于0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为若其实部小于0，则，即，显然是的必要不充分条件，则“”是“的实部小于0”的必要不充分条件，故选：B.3.如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（）A.140 B.240 C.280 D.320〖答案〗C〖解析〗由已知得，所以，因为第五组的员工人数为80，所以第二组的员工人数为.故选：C.4.在等差数列中，已知，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗设的公差为.由已知可得，所以，则.故选：B.5.如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.6.已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无法确定〖答案〗B〖解析〗直线的方程可化为，所以直线恒过点，曲线即，表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图），由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1.故选：B.7.在三棱锥中，已知，平面平面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分别取的中点为，连接.因为，所以,则,又则,又平面平面，平面平面，，则,平面，所以平面，又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,故为二面角的平面角，所以，所以，三棱锥外接球的球心在直线上.设，则，即，解得（负值舍），所以三棱锥外接球的半径为，表面积为.故选：A.8.当时，函数在上的零点的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗D〖解析〗令，则，即.构造函数，则问题等价于讨论方程的根的个数.因为函数在上单调递增；函数在上单调递增；所以在上单调递增，故问题进一步等价于讨论方程的根的问题，即可转化为根的问题，即等价于当时，函数与直线在上交点个数.因为函数在上单调递增；函数在上单调递增；所以函数单调递增，故.又因为当时，所以当时，方程只有一根，所以函数在上的零点的个数为1.故选：D二､多项选择题9.已知向量满足，且，则的坐标可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗设为坐标原点，则由可知三点共线，且在之间，选项A：，，与不平行，选项A错误；选项B：，，与平行，且在之间，选项B正确；选项C：，，与平行，且在之间，选项C正确；选项D：，，与平行，但不在之间，选项D错误.故选：BC.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗设的最小正周期为，由图象可得到，故，因为，所以，解得，故A正确；将代入，得，则，解得，因为，所以当时，，所以，故B错误；因为，所以的图象关于点对称，故C正确；当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD11.将正数用科学记数法表示为，则，我们把，分别叫做的首数和尾数，若将的首数记为，尾数记为，则下列说法正确的是（）A.B.是周期函数C.若，则D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以，故A正确；对于B，若，必有，不可能存在非零常数，使得恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误；对于C，设，则，若10，则，若，则，所以，故C正确；对于D，设同选项，若，则，若，则，所以，故D错误.故选：AC.12.已知抛物线的焦点到点的距离为，直线经过点，且与交于点（位于第一象限），为抛物线上之间的一点，为点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.B.若的斜率为1，则当到的距离最大时，（为坐标原点）为直角三角形C.若，则的斜率为3D.若不重合，则直线经过定点〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为抛物线的焦点的坐标为，由已知得，解得，故A正确；对于B，当到的距离最大时，以为切点的的切线斜率也为1，因为，所以只需考虑，则，令，得，则，则此时，又的坐标为，所以轴，所以为直角三角形，故B正确；对于C，如图，设的准线为，过点分别作，过点作，当时，设，所以，所以，即的斜率为，故C错误；对于D，设，则，设的方程为，代入，得0，易得，所以，直线的方程为，则，所以经过定点，故D正确.故选：ABD.三､填空题13.已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为__________.〖答案〗〖解析〗设，令，得，则切点为，故所求的方程为.故〖答案〗为：.14.已知随机变量，若，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因，所以，所以.故〖答案〗为：.15.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗将两式平方,相加得，即，因为，所以，所以.故〖答案〗为：16.已知椭圆的左､右焦点分别为为坐标原点，点在上，且，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意知椭圆方程为，则，设，则，而，由余弦定理得，即，所以.因为O为的中点，故，所以，，所以，即，故〖答案〗为：.四､解答题17.设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，点在边上，，且，求.解：（1）因为，由余弦定理得，整理得，所以，因为，所以.（2）由题意知，所以，由（1）的过程可得，代入的值整理得，解得或.当时，，此时为钝角，不符合条件，当时，，符合条件，所以.18.记正项等比数列､等差数列的前项和分别为，已知，.（1）求和的通项公式；（2）设集合，求中元素的个数.解：（1）设的公比为的公差为，因为，所以，解得或（舍去），所以.因为，所以，即，因为，所以，所以.（2）因为，所以，因为，从四个数中任取两个数（可重复）有种取法，易知不同取法中的两个数之和都互不相等，故集合中的元素有10个.19.如图，直四棱柱的棱长均为为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明：在直四棱柱中，平面，而平面，所以，因为四棱柱的各棱长均相等，故四边形是菱形，所以，又因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：设与的交点为，则，根据直四棱柱可以为坐标原点，所在直线为轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知，则.设平面的法向量为，则即，取.设平面法向量为，则即，取.因为，所以二面角的正弦值为.20.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的