2022-2023学年山东省济宁市泗水县高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省济宁市泗水县2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等比数列的前2项和为，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，由题知：，所以，解得，所以，即，所以.故选：D2.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，，所以，即.故选：D.3.小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为.故选：C.4.如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗由图象可得，切线过点和，切线斜率为，，切线方程为，则切点坐标为，有，所以.故选：C5.中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）A.72种 B.90种 C.360种 D.450种〖答案〗B〖解析〗由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱中都有2人,所以共有种；故选：B.6.定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，，所以．故选：D7.已知函数在定义域内单调递减，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，函数的定义域为，.由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，即，可转化为在上恒成立，所以．因为，所以，所以．因此实数a的取值范围是．故选：D．8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，使，则，可得，，若k为奇数，则，所以，，则，解得，或，当时，，，，，当时，，，，，若k为偶数，则，所以，，则，解得，或，当时，，，，当时，，，，，因此，所有解之和为：，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为〖答案〗AC〖解析〗根据二项式定理,的通项公式为,对于A,常数项为,故A正确;对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.10.已知事件满足，则（）A.若，则B.若与互斥，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则〖答案〗BC〖解析〗对A，因为，所以，错误；对B，因为与互斥，所以，正确；对C，因为，所以，而，所以，正确；对D，因为与相互独立，所以与相互独立，所以，，错误．故选：BC.11.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.公差 B.C.的最大值为 D.满足的的最小值为16〖答案〗AC〖解析〗因为，则，即，则，故A正确；，故B错误；由，得，,因为，所以数列是递减数列，且当时，，当时，，所以的最大值为，故C正确；，令，解得，所以满足的的最小值为，故D错误.故选：AC.12.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，因为，所以，则在上单调递减.所以，故，，故选：C第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________.〖答案〗〖解析〗没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球，则，，∴没有取到黄球的概率为.故〖答案〗为：.14.在等比数列中，且，则________.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：15.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________．〖答案〗〖解析〗设，∴，∴在R上单调递减．∵，∴的图象关于直线对称，∴，∴．∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是．故〖答案〗为：.16.过点与曲线相切的直线方程为______．〖答案〗〖解析〗设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（1）求值：．（2）若，且．求的值．解：（1）由组合数的性质，可得解得．又因为，所以或，当时，原式，当时，原式；（2）由，得，即，解得或（舍去），所以，当时，由已知，得，令，得，令，得，所以18.已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间.（2）求函数在区间上的最值.解：（1）由题意可得：，则，解得，当时，，，令，解得或，则的递增区间为，递减区间为，可得为极小值点，即符合题意，故的递增区间为，递减区间为.（2）∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，则函数在区间上的最大值为，又∵，即，则函数在区间上的最小值为，故函数在区间上的最大值为，最小值为.19.已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．（1）求；（2）记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．解：（1）由，，成等差数列，，，成等比数列可得，（2）由得，故，两式相减可得，而，所以为公比为2的等比数列，且首项为，故，进而20.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．解：（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．由全概率公式．（2）的可能取值为2，3．由题意知，由（1）知，则，，，．（3），此时，．21.已知数列满足，，数列满足．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1），得，因为，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，故，所以；（2）当为偶数时，，当奇数时，，综上所述，.22.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为．（2）［方法一］：通性通法.,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］最优解】：同构.由得，即，而，所以．令，则，所以在R上单调递增．由，可知，所以，所以．令，则．所以当时，单调递增；当时，单调递减．所以，则，即．所以a的取值范围为．［方法三］：换元同构.由题意知，令，所以，所以．于是．由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值为．所以．［方法四］：因为定义域为，且，所以，即．令，则，所以在区间内单调递增．因为，所以时，有，即．下面证明当时，恒成立．令，只需证当时，恒成立．因为，所以在区间内单调递增，则．因此要证明时，恒成立，只需证明即可．由，得．上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．当时，因为，显然不满足恒成立．所以a的取值范围为．山东省济宁市泗水县2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等比数列的前2项和为，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，由题知：，所以，解得，所以，即，所以.故选：D2.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，，所以，即.故选：D.3.小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为.故选：C.4.如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗由图象可得，切线过点和，切线斜率为，，切线方程为，则切点坐标为，有，所以.故选：C5.中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）A.72种 B.90种 C.360种 D.450种〖答案〗B〖解析〗由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱中都有2人,所以共有种；故选：B.6.定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，，所以．故选：D7.已知函数在定义域内单调递减，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，函数的定义域为，.由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，即，可转化为在上恒成立，所以．因为，所以，所以．因此实数a的取值范围是．故选：D．8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，使，则，可得，，若k为奇数，则，所以，，则，解得，或，当时，，，，，当时，，，，，若k为偶数，则，所以，，则，解得，或，当时，，，，当时，，，，，因此，所有解之和为：，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为〖答案〗AC〖解析〗根据二项式定理,的通项公式为,对于A,常数项为,故A正确;对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.10.已知事件满足，则（）A.若，则B.若与互斥，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则〖答案〗BC〖解析〗对A，因为，所以，错误；对B，因为与互斥，所以，正确；对C，因为，所以，而，所以，正确；对D，因为与相互独立，所以与相互独立，所以，，错误．故选：BC.11.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.公差 B.C.的最大值为 D.满足的的最小值为16〖答案〗AC〖解析〗因为，则，即，则，故A正确；，故B错误；由，得，,因为，所以数列是递减数列，且当时，，当时，，所以的最大值为，故C正确；，令，解得，所以满足的的最小值为，故D错误.故选：AC.12.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，因为，所以，则在上单调递减.所以，故，，故选：C第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________.〖答案〗〖解析〗没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球，则，，∴没有取到黄球的概率为.故〖答案〗为：.14.在等比数列中，且，则________.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：15.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________．〖答案〗〖解析〗设，∴，∴在R上单调递减．∵，∴的图象关于直线对称，∴，∴．∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是．故〖答案〗为：.16.过点与曲线相切的直线方程为______．〖答案〗〖解析〗设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（1）求值：．（2）若，且．求的值．解：（1）由组合数的性质，可得解得．又因为，所以或，当时，原式，当时，原式；（2）由，得，即，解得或（舍去），所以，当时，由已知，得，令，得，令，得，所以18.已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间.（2）求函数在区间上的最值.解：（1）由题意可得：，则，解得，当时，，，令，解得或，则的递增区间为，递减区间为，可得为极小值点，即符合题意，故的递增区间为，递减区间为.（2）∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，则函数在区间上的最大值为，又∵，即，则函数在区间上的最小值为，故函数在区间上的最大值为，最小值为.19.已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．（1）求；（2）记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．解：（1）由，，成等差数列，，，成等比数列可得，（2）由得，故，两式相减可得，而，所以为公比为2的等比数列，且首项为，故，进而20.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概