专题02 轴对称的性质（七大类型）（题型专练）（解析版）

专题02轴对称的性质（七大类型）【题型1轴对称】【题型2利用轴对称的性质求角度】【题型3利用轴对称的性质求线段长度】【题型4在格点中作轴对称图形】【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】【题型7轴对称图案的设计】【题型1轴对称】1．下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A．故选：A．2.（2022秋•岳麓区校级期末）新年伊始，虎年来临，大家都开始用上了虎的图腾与吉祥物．以下小老虎的表情设计没有利用轴对称的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据对称轴两旁的部分能完全重合可知，B、C、D都利用了轴对称，A没有利用轴对称，故选：A．3．两个图形关于某条直线对称，对称点一定在（）A．这条直线的两旁 B．这条直线的同旁 C．这条直线上 D．这条直线两旁或这条直线上【答案】D【解答】解：两个图形关于某条直线对称，对称点一定在这条直线的两旁或这条直线上，故选：D．4．小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆a，b，c，d，e，f．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆e，f和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（）A．a B．b C．c D．d【答案】C【解答】解：如图，作E关于AG的对称点E′，连接E′F，交AG于点C，连接CE，则点C所在的木杆c应该优先选择．故选：C．【题型2利用轴对称的性质求角度】5.（2022秋•河北期中）如图，△ABC和△A'B'C'成轴对称，若∠A'＝36°，∠C＝24°，则∠B为（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'成轴对称，∴∠A＝∠A'＝36°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180﹣36°﹣24°＝120°，故选：C．6.（2022•城关区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（）A．10° B．14° C．38° D．52°【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝38°，∴∠B＝52°，∵点D与点B关于直线l对称，∴∠CDB＝∠B＝52°，∵∠CDB＝∠ACD+∠A，∴52°＝∠ACD+38°，∴∠ACD＝14°，故选：B．7.（2022春•港北区期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（）A．70° B．55° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：C．8．如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（）A．120° B．118° C．116° D．114°【答案】D【解答】解：如图所示，连接AD，由题意可得，∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∠BAC＝180°﹣67°﹣56°＝57°，则∠EAF＝∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC＝2∠DAB+2∠DAC＝2（∠DAB+∠DAC）＝2∠BAC＝2×57°＝114°故选：D．9．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（）A．144° B．108° C．72° D．54°【答案】B【解答】解：由折叠的定义知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°，故选：B．【题型3利用轴对称的性质求线段长度】10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P关于直线l的对称点，∴直线l是PP1的垂直平分线，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P关于直线m的对称点，∴直线m是PP2的垂直平分线，∴OP2＝OP＝2.8，当P1，O，P2不在同一条直线上时，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜5.6，当P1，O，P2在同一条直线上时，P1P2＝OP1+OP2＝5.6，∴P1，P2之间的距离可能是5，故选：A．11.（2022春•和平县期末）已知：如图，P是∠AOB内的一点，P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交于点OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是5cm．【答案】5．【解答】解：∵P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，∴PM＝MP1，PN＝NP2；∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5cm，∴△PMN的周长为5cm．故答案为：5．12．如图，直线l1、l2交于点O，点P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2．若OP＝4，P1P2＝7，则△P1OP2的周长是15．【答案】15．【解答】解：∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，∴OP1＝OP＝OP2＝4，∵P1P2＝7，∴△P1OP2的周长＝OP1+OP2+P1P2＝4+4+7＝15，故答案为：15．13．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是等边三角形，△ABC的周长＝24cm．【答案】等边三角形，24．【解答】解：∵AD是△ABC的对称轴，∴BD＝CD＝4cm，AB＝AC，∴BC＝BD+CD＝8cm，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的周长为＝3BC＝24cm．故答案为：等边三角形，24【题型4在格点中作轴对称图形】14.（2023•秦都区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）写出点A关于x轴对称的点的坐标（3，﹣4）；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1．【答案】（1）（3，﹣4）．（2）见解答．【解答】解：（1）∵A（3，4），∴点A关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣4）．故答案为：（3，﹣4）．（2）如图，△A1B1C1即为所求．15.（2023•鹿城区校级二模）如图，在8×8的方格纸中，P，Q为格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图．​（1）在图1中画出格点△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，使得△DEF与△ABC关于线段PQ成轴对称图形．（2）在图2中画出△ABC平移后的格点△GHK，点A，B，C的对应点分别为G，H，K，使得线段PQ平分△GHK的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，△GHK即为所求，答案不唯一（只需点H在线段PQ上）．16．如图，在8×8的方格纸中，P，Q为格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图．​（1）画出格点△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，使得△DEF与△ABC关于线段PQ成轴对称图形．（2）画出△ABC平移后的格点△GHK，点A，B，C的对应点分别为G，H，K，使得线段PQ平分△GHK的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，△GHK即为所求，答案不唯一（只需点H在线段PQ上）．17．如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2）．（1）在网格内作△A'B'C'，使它与△ABC关于y轴对称，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标．（2）求出四边形ABB′A′的面积．【答案】（1）△A'B'C'见解答，A′（2，4），B′（3，1），C′（1，2）；（2）15．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求，A′（2，4），B′（3，1），C′（1，2）；（2）四边形ABB′A′的面积为×（4+6）×3＝15．【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（）A．18° B．19° C．20° D．21°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，故选：C．19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC上一点，将△ABC沿AM折叠，点B恰好能与AC的中点D重合，若AB＝6，则M点到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：过点M作ME⊥AC于E，过点M作MF⊥AB于F，由折叠的性质可得：∠BAM＝∠DAM，AD＝AB＝6，∴MF＝ME，∵D是AC的中点，∴AC＝2AD＝12，∵S△BAC＝S△BAM+S△CAM，即AB•AC＝AB•MF+AC•ME，∴×6×12＝×MF×6+×12×MF，解得：ME＝4，∴点M到AB的距离是4．故选：B．20．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9cm，BC＝8cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．5cm【答案】C【解答】解：由折叠的性质得，BE＝BC＝8cm，CD＝DE，∴AE＝AB﹣BE＝9﹣8＝1（cm），∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AC+AE＝5+1＝6（cm）．故选：C．21．如图，要判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：方案Ⅰ：沿图中虚线折叠并展开，测量发现∠1＝∠2．方案Ⅱ：先沿AB折叠，展开后再沿CD折叠，测得AO＝BO，CO＝DO对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（）A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行【答案】D【解答】解：对于方案Ⅰ，∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴方案Ⅰ可行；对于方案Ⅱ，在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，即：a∥b，∴方案Ⅱ可行，综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行．故选：D．22．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．5cm【答案】C【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm，∵AE＝AC＝6cm（折叠的性质），∴BE＝4cm，设CD＝xcm，则在Rt△DEB中，42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3．故选：C．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在AC上，并且CF＝2，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将△CEF沿直线EF翻折，使点C落在点P处，PE的长为，则边EF的长为（）A． B．3 C． D．4【答案】C【解答】解：根据折叠可知，∠C＝∠P，CF＝PF，CE＝PE，∵∠C＝90°，CF＝2，PE＝，∴∠P＝90°，PF＝2，在Rt△PEF中，EF＝＝＝．故选：C．24．一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB＝35°，则：①∠GEF＝35°；②∠EGB＝70°；③∠AEG＝110°；④∠EFC′＝145°．以上结论正确的有（）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝35°，由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝35°，故①正确；∴∠DEG＝35°×2＝70°，∴∠AEG＝180°﹣70°＝110°，故③正确；∵AD∥BC，∴∠EGB＝∠DEG＝70°，故②正确；又∠EFC＝180°﹣∠EFB＝180°﹣35°＝145°，由折叠的性质可得：∠EFC'＝∠EFC＝145°，故④正确．结论正确的有①②③④．故选：D．25．将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果∠1＝66°，那么∠2的度数为（）A．66° B．48° C．52° D．无法确定【答案】B【解答】解：由折叠的性质可知，∠1＝∠3，∵∠1＝66°，∴∠3＝66°，∵长方形的两条长边平行，∴∠2+∠1+∠3＝180°，∴∠2＝48°，故选：B．26．如图，把长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EBF＝α，则∠1的度数为（）A． B．90°﹣α C．120°﹣α D．【答案】A【解答】解：∵长方形纸条ABCD沿EF折叠，∴∠DEF＝∠BEF，AD∥BC，∴∠1＝∠DEF，∠EBF＝∠AEB＝α，∴2∠DEF＝180°﹣α，∴∠1＝∠DEF＝90°﹣，故选：A．27．如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上，展开后得到折痕AD，则AD是△ABC的（）A．高线 B．中线 C．垂线 D．角平分线【答案】A【解答】解：∵将△ABC折叠，使点C落在BC边上，∴AD⊥BC，∴AD是△ABC的高线，故选：A．28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°．点M，N分别在AB，BC上，将四边形ABCD沿MN对折，得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D＝（）A．35° B．70° C．95° D．125°【答案】C【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．故选：C．29．如图，长方形纸片ABCD，P为边AD的中点，将纸片沿BP，CP折叠，使点A落在E处，点D落在F处，若∠1＝40°，则∠BPC大小为（）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：由折叠可得：∠BPE＝∠APB＝∠APE，∠CPF＝∠DPC＝∠DPF，∵∠1＝40°，∠APE+∠1+∠DPF＝180°，∴∠APE+∠DPF＝140°，∴∠BPE+∠CPF＝（∠APE+∠DPF）＝70°，∴∠BPC＝∠1+∠BPE+∠CPF＝110°．故选：B．30．如图，长方形纸带ABCD，AD∥CB，将ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为108°．【答案】108°【解答】解：由折叠可知：∠DEF＝∠D'EF，∵AD∥BC，∴∠1＝∠DEF，∵∠1＝2∠2，∴∠DEF＝∠D'EF＝2∠2，∴∠2+∠DEF+∠D'EF＝5∠2＝180°，∴∠2＝36°，∴∠D'EF＝72°，∴∠AEF＝∠2+∠D'EF＝108°．故答案为：108°．31．如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为60°．【答案】60°．【解答】解：如图：∵∠A＝120°，∴∠DEB＝∠A＝120°，∴∠DEC＝60°，∵∠C＝60°，∴∠CDE＝60°．故答案为：60°．32．如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕，再将另一角∠EDB斜折过去，使BD边落在∠A'BC内部，折痕为BE，点D的对应点为D′，设∠ABC＝35°，∠EBD＝65°，则∠A'BD'的大小为20°．【答案】20．【解答】解：根据翻折可知：∠A′BA＝2∠ABC＝2×35°＝70°，∴∠A′BD＝180°﹣∠A′BA＝110°，∵将另一角∠EDB斜折过去，使BD边落在∠A'BC内部，折痕为BE，∴∠D′BE＝∠EBD＝65°，∴∠A′BE＝∠A′BD﹣∠EBD＝110°﹣65°＝45°，∴∠A'BD'＝∠D′BE﹣∠A′BE＝65°﹣45°＝20°，∴∠A'BD'的大小为20°．故答案为：20．【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】33．如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝4，且S△ABC＝5，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为．【答案】．【解答】解：∵将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAB，AE＝AP，∠EAC＝∠PAC，∴AD＝AP＝AE，∠DAB+∠EAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝45°，∴∠DAE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，要使△ADE面积最小，即是使AD（AE）的长度最小，也就是AP长度最小，此时AP为△ABC的边BC上的高，∵BC＝4，且S△ABC＝5，∴AP最小为＝＝，即AD（AE）的最小值为，∴△ADE面积的最小值为AD•AE＝××＝，故答案为：．34．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是9.6．【答案】9.6．【解答】解：如图，连接CP，∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，∴∠ACP＝∠ACP1，∠BCP＝∠BCP