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文档简介
关于二次函数中等腰三角形的存在问题学习目标1、会准确找到满足条件的点。2、会运用恰当的方法求出满足条件的点的坐标
学习重点1、能准确找到符合条件
的点。
2、利用等腰三角形的性
质、勾股定理和三角
形相似等知识求点的
坐标。学习难点利用等腰三角形的性质和勾股定理等知识求点的坐标。
第2页,共13页,2024年2月25日,星期天课前热身:如图,直线AB交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C.问:(1)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM
是以线段AB为底的等腰三角形?
基本方法:线段AB为底:作线段AB的垂直平分线,垂直平分线与对称轴的交点第3页,共13页,2024年2月25日,星期天(2)在x轴上是否存在点D,使△ABD是以线段AB为腰的等腰三角形?基本方法:以线段AB为腰:分别以点A、B为圆心,线段AB长为半径画弧,与x轴的交点第4页,共13页,2024年2月25日,星期天(3)在抛物线的上是否存在点P,使△ABP
是等腰三角形?基本方法:分别以线段AB为底和腰,
找出满足条件的点数学基本思想----分类讨论第5页,共13页,2024年2月25日,星期天典例讲解如图,已知二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
试问:在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是线段AB为底的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第6页,共13页,2024年2月25日,星期天方法一:等腰三角形的性质和勾股定理解答
解:作线段AB的垂直平分线,垂足为D交x轴于点P,连接BP
设点P(a,0)
∵DP垂直平分AB,∴AP=BP
∵点P(a,0),点A(4,0)、点B(0,3),
∴OP=a,OA=4,0B=3,AP=BP=4-a,
∴在RT△OPB中,
即
解得
DP第7页,共13页,2024年2月25日,星期天方法二:利用相似三角形解答解:作线段AB的垂直平分线,垂足为D交x轴于点P,
设点P(a,0)
∵点P(a,0),点A(4,0)、点B(0,3),
∴OP=a,OA=4,0B=3,AP=BP=4-a,
在RT△OAB中,即
∴AB=5
∴AD=BD=2.5
∵PD⊥AB
∴∠ADP=90°∵∠AOB=90°
∴∠ADP=∠AOB∵∠OAB=∠DAP∴⊿0AB∽⊿DAP
即
DP第8页,共13页,2024年2月25日,星期天方法三:函数解答作线段AB的垂直平分线,垂足为D交x轴于点P,设点P(a,0)∵点A(4,0)、点B(0,3),∴OA=4,0B=3,过D作DC⊥OA于C∵OB⊥OA∴CD∥OB
∵直线AB过点A(4,0)和B(0,3)两点∴直线AB的解析式为
设直线DP的表达式为∵AB⊥DP∵直线DP过点∵点P在DP上又在x轴上DPC第9页,共13页,2024年2月25日,星期天变式练习:如图,抛物线交x轴于A、C两点,交y轴于B点试问:在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的
Q点坐标;若不存在,请说明理由.第10页,共13页,2024年2月25日,星期天1.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.课后作业:第11页,共13页,2024年2月25日,星期天2、如图,一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.问在x轴上是否存在点P,使
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