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精品文档-下载后可编辑余弦定理在求边以及求边的范围的几点思考【摘要】余弦定理在求边和求边的范围上都有其自身的特点,如果能应用的话当在完成题目的过程中有着事半功倍的效果.
【关键词】余弦定理;求边;求边的范围
余弦定理在高中数学中是一项重要内容,尤其是在求边和求边的范围上相比正弦定理而言有其独到的地方,下面具体通过几个例题就余弦定理求边及求边的范围问题进行说明.
余弦定理求边是余弦定理应用中很常见的问题,通过以下例子来谈谈应用余弦定理求边.
分析用正弦定理来解决这个题目,虽然思路简单,但计算比较复杂,容易出错.
解法二由余弦定理有
解得a1=5,a2=4.
分析此题利用余弦定理来完成题目比较容易,但给出的条件不是两边及其夹角,而是两边及其非夹角的余弦值,这样的题目用正弦定理去做比余弦定理做要麻烦得多,我们就可以明显地发现余弦定理求边的好处.
通过以上例子可以看出用余弦定理求边除直接应用定理求边外,还有些题目不用正弦定理,而用余弦定理,可以减少运算量,使运算得到简化,达到事半功倍的效果.
余弦定理也可以用来求三角形边的范围,下面通过实例就余弦定理求边问题做一探讨.
例3已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是什么?
解析由题意,x应满足条件22+42-x2>0,22+x2-42>0,
解得23
分析此题直接利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc,要使角A为锐角,则cosA>0,所以只需b2+a2-c2>0来完成题目,但根据大边对大角我们不需要边长为2的边所对的角是锐角的判断,只要边长为4所对的边是锐角就够了,这样三角形的三个角都是锐角,所以三角形为锐角三角形,从而确定了第三边的范围.通过此例,笔者发现用余弦定理来确定三角形边的范围是一个不错的办法.
例4在锐角ABC中,边长a=1,b=2,边长c的取值范围是什么?
分析直接利用余弦定理来求边的范围很容易犯上述的错误,出错的主要原因是只考虑了角C为锐角的情况,而忽略了角B也一定是锐角的情况.
解析
利用几何画板对例4探究,作出两个同心圆,小圆的半径为1cm,大圆的半径为2cm,动点A在大圆周上运动.
如图,CB=1cm,CA=2cm,这时利用度量工具可以测出AB=1.52cm,满足1
第一个等式由前面例1可知1
所以cosB=c2-32c∈(0,1),解不等式可得3
综上可得c的取值范围为3
分析通过上面的例子我们可以看出在余弦定理的应用中,要全面认识余弦定理所蕴含的知识点.在利用余弦定理解决问题中,考虑问题不全面导致范围扩大,所以要考虑大边对大角的知识点和锐角三角形的三个角都是锐角.
通过以上例子可以得出,余弦定理在求边和求边的范围上都有其自身的特点,如果应用得当就会在完成题目的过程中起到事半功倍的效果,只要
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