第04讲 全等三角形的判定知识解读+真题演练+课后巩固（解析版）

第04讲全等三角形的判定经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等；2.使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.3.通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.知识点1判定全等三角形（边边边）1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。知识点2判定全等三角形（边角边）1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。知识点3判定全等三角形（角边角）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。知识点4判定全等三角形（角角边）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。知识点5判定全等三角形（直角边、斜边）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。【题型1判定全等角形（SSS）】【典例1】（2022秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵DE＝CE，∴EA+DE＝EB+CE，∴AD＝BC，在△ACB和△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（SSS）．【变式1-1】（2022秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD．求证：△EAC≌△FBD．【解答】证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC和△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SSS）．【变式1-1】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点A，D，B，E【答案】证明：∵AD=BE，∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE，在△ABC与△EDF中，AB=EDAC=EF∴△ABC≌△EDF(∴∠EDF=∠ABC.【解析】根据已知条件可知AD=BE，结合线段的和差关系可得AB=DE，利用SSS证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.【变式1-2】（2022八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，【答案】证明：∵BE＝∴BE+EC＝∴BC＝在△ABC和△DEF中，BC=EFAB=DE∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝【解析】根据BE=CF易得BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，进而根据全等三角形对应角相等即可得出答案.【题型2判定全等角形（SAS）】【典例2】（2022秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED．【解答】证明：∵EC＝BF，∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE，在△CBA和△FED中，，∴△CBA≌△FED（SAS）．【变式2-1】（2022秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE．【解答】证明：∵AF∥DE，∴∠A＝∠D，∵AC＝DB，∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC，在△ABF和△DCE中，∵，∴△ABF≌△DCE（SAS）．【变式2-2】（2022秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．【解答】解：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即：BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【变式2-3】（2022秋•朝阳区校级期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【题型3判定全等角形（ASA）】【典例3】（2022秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED．【解答】证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．【变式3-1】（2023八上·金东期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC.求证：△ABC≌△DFE.【答案】解：∵BF=EC∴BF+CF=EC+CF，∴BC=EF，在△ABC和△DFE中，∵∴△ABC≅△DFE(ASA).【解析】【分析】由已知条件可知∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，BF=EC，结合线段的和差关系可得BC=EF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.【变式3-2】（2023八上·汉阴期末）如图，在△ADC和△CEB中，点A、B、C在一条直线上，∠D=∠E，AD∥EC，AD=EC.求证：△ACD≌△CBE.【答案】证明：∵AD∥EC∴∠CAD=∠BCE在△ACD与△CBE中∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE(ASA)【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠CAD=∠BCE，从而用ASA判断出△ACD≌△CBE.【变式3-3】（2022八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，AB//ED，AC//DF．【答案】证明：∵FB=EC，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，在△ABC与△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB=DE，AC=DF．【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得AB=DE，AC=DF。【题型4判定全等角形（AAS）】【典例4】（2022秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：△AOB≌△DOC．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）．【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，AB∥DE，AB=DE，∠ACB=∠F，求证：BE=CF.【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF.在△ABC和△DCE中，∠B＝∠DEF∴△ABC≌△DCE（AAS）.∴BC=EF，∴BC-CE=EF-CE，即BE=CF.【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据已知条件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用AAS证明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根据线段的和差关系进行证明.【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ACB=∠D，求证：△ABC≌△EAD.【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，在△ABC和△EAD中，∠ACB=∠D∠CAB=∠E∴△ABC≌△EAD(AAS).【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.【变式4-3】（2022八上·西城期末）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，【答案】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，∴∠A=90°，∴∠A=∠D．在△ABE和△DCE中，∠A=∠D∴△ABE≌△DCE．∴BE=CE．【解析】【分析】先利用“AAS”证明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得BE=CE。【题型5判定全等角形（HL）】【典例5】（2022秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，在Rt△ADE与Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．【变式5-1】（2022八上·长春期末）如图，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且BC=DC．求证：△CFD≌△CEB．【答案】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，在Rt△CEB和Rt△CFD中，CE=CFCB=CD∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL)．【解析】【分析】先利用角平分线的性质可得CE=CF，再利用“HL”证明△CFD≌△CEB即可。【变式5-2】（2023八上·岳池期末）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC．求证：∠DBE=∠DAC．【答案】解：∵AD是△ABC的边BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°．在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=AC∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)∴∠DBE=∠DAC．【解析】【分析】根据三角形高的定义得∠BDE=∠ADC=90°，从而利用HL判断Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应角相等得∠DBE=∠DAC．【题型6全等角形判定与性质综合】【典例6】（2022秋•巫溪县期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．若∠B＝75°，∠AFB＝40°，则∠D的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∵∠B＝75°，∠AFB＝40°，∴∠A＝∠D＝180°﹣∠B﹣∠AFB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，∴∠D的度数为65°，故选：B．【变式6-1】（2022秋•万全区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上的一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】B【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中，，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：B．【变式6-2】（2022秋•离石区期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，则CD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．5【答案】B【解答】解：在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（AAS），∴BC＝BE＝3，∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2，故选：B．【变式6-3】（2022秋•平城区校级期末）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠CAD，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．故选：B．【典例7】（2022秋•丰都县期末）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠2＝∠3，AE＝AC，DE＝BC．（1）求证：△ABC≌△ADE．（2）若∠2＝60°，猜想△ABD的形状并证明．【解答】（1）证明：∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，∴∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，∵∠3+∠CFD+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFD，∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，∴∠E＝∠C，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：△ABD是等边三角形，理由如下：∵∠3＝∠2＝60°，∴∠BDE＝180°﹣∠3＝120°，∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE，∴∠ADB＝∠BDE＝60°，∴△ABD是等边三角形．【变式7-1】（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，DE=EF.（1）求证：△ADE≌△CFE（2）若AB=5，CF=3，求BD的长.【答案】（1）证明：∵CF//AB，∴∠A=∠ECF，在ΔADE和ΔCFE中，∠A=∠ECF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵ΔADE≌ΔCFE，CF=3，∴AD=CF=3，∴BD=AB-AD=5-3=2【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠A=∠ECF，∠F=∠ADE，用AAS判断出△ADE≌△CFE；

（2）根据全等三角形的对应边相等得AD=CF=3，进而根据BD=AB-AD算出答案.【变式7-2】（2023八上·东方期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC（1）求证：BA=BE；（2）若BC=12，求△DEC的周长.【答案】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠A=90°，在△ABD和△EBD中，∠A=∠DEB∠ABD=∠DBE∴△ABD≌△EBD(AAS)，∴BA=BE；（2）解：∵△ABD≌△EBD，∴AD=DE，∴△DEC的周长为DE+EC+CD=AD+CE+CD=AC+CE=BA+CE=BE+CE=BC=12.【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠ABD=∠EBD，由垂直的概念可得∠DEB=∠A=90°，利用AAS证明△ABD≌△EBD，据此可得结论；

（2）根据全等三角形的性质可得AD=DE，AB=BE，则可将△DEC的周长转化为BC，据此解答.【变式7-3】（2023八上·南宁期末）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D.（1）求证：AB=CD.（2）若AB=CF，试判断△CDF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若∠B=30°，求∠DFB的度数.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=CD；（2）解：△CDF是等腰三角形，理由如下：∵AB=CF，AB=CD，∴CD=CF，∴△CDF是等腰三角形；（3）解：∵∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵CD=CF，∴∠CFD=∠D=180°-∠C∴∠DFB=180°-∠CFD=105°.【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠C，估计BF=CE结合线段的和差关系可得BE=CF，利用AAS证明△ABE≌△DCF，据此可得结论；

（2）由已知条件可知AB=CF，结合（1）的结论可得CD=CF，据此可得△CDF的形状；

（3）由平行线的性质可得∠B=∠C=30°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CFD=∠D=75°，然后根据邻补角的性质进行计算.1．（2023•天府新区模拟）如图，已知AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠FDE C．∠ACB＝∠DFE D．∠B＝∠E【答案】B【解答】解：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，即AC＝DF，又AB＝DE，添加AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意；添加∠A＝∠FDE，∴△ABC≌△DEF（SAS），故B符合题意；添加∠ACB＝∠DFE，不能判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；添加∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选：B．2．（2023•双流区模拟）如图，在△ABC与△EBF中，若AB＝BE，BC＝BF，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（）A．∠A＝∠E B．∠CBF＝∠ABF C．∠ABE＝∠CBF D．∠C＝∠F【答案】C【解答】解：添加∠A＝∠E，不能判定△ABC≌△EBF，故A不符合题意；添加∠CBF＝∠ABF，不能判定△ABC≌△EBF，故B不符合题意；添加∠ABE＝∠CBF，根据SAS可证△ABC≌△EBF，故C符合题意；添加∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△EBF，故D不符合题意，故选：C．3．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【答案】B【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．4．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【答案】B【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．5．（2021•重庆）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【答案】B【解答】解：在△ABC和△DCB中，∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），故A能证明；B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），故C能证明；D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故D能证明；故选：B．6．（2020•永州）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】A【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是．【答案】AB＝DE（答案不唯一）．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．8．（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．【答案】CB＝CE（答案不唯一）．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．9．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．【答案】见试题解答内容【解答】解：添加的条件是OB＝OD，理由是：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．10．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【答案】∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．11．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．12．（2023•雁塔区校级模拟）如图，点A、B、F在同一条直线上，AC与BE交于点D，若AB＝AC．AD＝BD，∠E＝∠F，求证：△ABE≌△CAF．【答案】证明见解析．【解答】解：∵AD＝BD，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）．13．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD，连接AC，点M为线段AC上一点，连接BM，若AC＝BC，AB＝BM．求证：△ADC≌△CMB．【答案】见解答．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∠D+∠BCD＝180°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠BMA＝∠BCD，∵∠BMA+∠BMC＝180°，∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝∠BMC，在△ADC和△CMB中，，∴△ADC≌△CMB（AAS）．14．（2023•增城区一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：△ABE≌△DCF．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．15．（2023•荔湾区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）．16．（2023•碑林区校级四模）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠C，∵∠CED＝∠BAD，∠CED＝∠D+∠DAC，∠BAD＝∠DAC+∠BAC，∴∠D＝∠BAC，在△ABC和△DEA，，∴△ABC≌△DEA（AAS）．17．（2023•化州市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE＝CF．求证：△AEB≌△CFD．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA＝∠DFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA）．18．（2023•昆明模拟）如图，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，∠A＝∠DCF．求证：△AEF≌△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（ASA）．19．（2022秋•常州期末）已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．【答案】见解析．【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，即∠AOD＝∠BOC．在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）．20．（2023•天河区一模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解答过程．【解答】证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．1．（2022秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵DE＝CE，∴EA+DE＝EB+CE，∴AD＝BC，在△ACB和△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（SSS）．2．（2022秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED．【答案】见解答．【解答】证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．3．（2022秋•金东区期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B＝∠EFD，∠ACB＝∠DEF，且BF＝EC．求证：△ABC≌△DFE．【答案】见解答．【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA）．4．（2022秋•广饶县校级期末）如图，△ABC和△EFD的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知∠A＝∠E，AB∥EF，BD＝CF．求证：△ABC≌△EFD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，∵BD＝CF，∴BC＝DF，在△ABC与△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS）．5．（2022秋•城关区校级期末）如图，已知点F、C在线段BE上，∠B＝∠E，BF＝CE，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解答．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．6．（2023•碑林区校级三模）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．【答案】AB＝ED．【解答】解：添加条件AB＝ED，证明如下：在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．7．（2022秋•邻水县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．8．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△BCE中，∴Rt△ADF≌Rt△BCE，∴AF＝CE．9．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．10．（2022春•景泰县校级期中）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC．∴∠OCB＝∠OBC．∴OB＝OC（等角对等边）．11．（2021秋•镇平县期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD＝EC+ED．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．∴∠ABD＝∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD＝AE，EC＝AD．∵AE＝AD+DE，∴BD＝EC+ED．12．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．【答案】证明过程见解答部分．【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．13．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．【答案】见解答过程．【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB＝BC，∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE．（ASA）．14．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．15．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180