2020-2021学年丹东市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年丹东市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共18.0分）

1.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）

主视方向

A.=­6,x2=3B.——3,%2=6

C.=-2,乃=9D.%!=-9,%2=2

3.在一个不透明的布袋中装有50个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个

球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球

的个数可能有（）

A.13B.19C.24D.30

4.在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，（）

A.小刚的影子比小红的长B.小刚的影子比小红的影子短

C.小刚跟小红的影子一样长D.不能够确定谁的影子长

5.下列说法正确的有（）

（1）两组对边相等的四边形是矩形；

（2）两条对角线相等的四边形是矩形；

（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形;

（4）四条边都相等的四边形是菱形.

6.已知点P（3,2）在反比例函数y=久k才0）的图象上，则下列各点中在此反比例函数图象上的是

（）

A.(-3,-2)B.(3,-2)C.(-2,3)D.(2,-3)

7.如图，若△ABC内一点P,满足NPAB=NPBC=NPC4=a,则称点P

为A4BC的布洛卡点.通过研究一些特殊三角形中的布洛卡点，得到

如下两个结论：/

①若4BAC=90°,贝IJ必有NAPC=90°；②若ZB=AC,则必有NAPB=乙BPC.

对于这两个结论，下列说法正确的是（）

A.①对，②错BB.①错，②对

C.①，②均错D.①，②均对

8.如图，小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点，可得AaBC,贝IJBCr

边上的高是（）

9.如图，在正方形48CD中，P是正方形ABC。内一点，PA=1,PB=2,PC=3,将线段PB以点

B为旋转中心逆时针旋转90。,得到线段BP',下列结论:①P与P'的距离为2式,②〃PB=150°,

③正方形边长为+2或，④&CBP=2+孝，其中正确的是（）

Bc

A.①B.①③C.①②④D.①③④

二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）

10.已知a：b：c=2：3：5,求:二的值为____.

a-2b+3c

11.已知a2+2a+炉―4b+5=0,则&=,b=.

12.已知点P是线段4B上的一点，且4P2=AB-PB,如果4B=2,那么AP=.

13.某超市今年一月份的营业额为50万元.三月份的营业额为72万元.则二、三两个月平均每月营

业额的增长率是.

14.从一4、一7,、0、74这五个数中，任取一个数作为。的值，恰好使得关于X的一元二次方程

22

2ax2-6x-l=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在-，和，之间（包括一，和1），则取到

满足条件的a值的概率为.

15.如图，在菱形4BCD中，AC.BD相交于点。，E为2B的中点，若

OE=3,则菱形2BCD的周长是.

16.如图，在平面直角坐标系中，菱形4BCD的边长为4,坐标系原点。是4。

的中点，则点C的坐标为.

17.如图，矩形4BCD中，AB=3cm,BC=2cm,则图中的阴影部分的周长为cm.

18.如图，有一直角三角形纸片4BC,乙4cB=90。，4B=30。，AC=2,CD1AB于点。.F,G分

别是线段4。，8。上的点，H,/分别是线段4C,8c上的点，沿HF,G/折叠，使点4B恰好都

落在线段CD上的点E处，当FG=EG时，FC的长是.

三、解答题(本大题共8小题，共64.0分)

19.一个等腰三角形的两条边长分别是方程/-9》+18=0的两根，求该等腰三角形的周长.

20.由几个相同的正方体堆成的几何体的主视图和俯视图如图所示，

(1)这样的几何体最少需要个小正方体，最多需要小正方I一I|||

体；mm

(2)请画出这个几何体在用小正方体最少情况下的所有可能的左视图.主视图俯视图

21.甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所表的数值分别为

-4,-1,3,乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为-2,1,5,先从甲袋中随机取出一张卡片，

用山表示取出的卡片上标的数值，把m,n分别作为点4的横坐标，纵坐标.

(1)用适当的方法写出点4(m,n)的所有情况；

(2)求点A落在第三象限的概率.

22.近年来，某市为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2010年投入6000万元，2012年投入

8640万元.

(1)求2010年至2012年该市投入教育经费的年平均增长率；

(2)该市预计2013年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否

实现？请通过计算说明理由.

23.如图，在菱形4BCD中，对角线AC、BC相交于点。.

⑴若4B4D=120。，4。=8.求菱形48。。的周长.

Q)若DE//AC,求证：四边形40DE是矩形./\

24.如图，在△力BC和ADCB中，乙4=4。=90。，AC=BD,AC与BD相交于点0,限用无刻度直

尺完成以下作图：

(1)在图1中作线段BC的中点P；

(2)在图2中，在OB、OC上分别取点E、F,使EF//BC.

25.已知双曲线=：(x>0,直线1：丫-奁=0-&)(卜<0定点尸且与双曲线交，B两点4x1,),

B(x2y2)(xl<x2),直线，2：y=+&.

设N(02&),在双曲线上，在直，2上且PM〃；dft求PM+P最小值，求PPN取得最小值时P的坐标.(

考公：在平面直角坐标系中若(xlyl,(x,2)则4两点间的距离为=5(/-©)2+(%-%下)

若=-1,求△。力的面S；

26.如图所示，正方形48CD和正方形4EFG共顶点4,正方形48CD绕点4顺时针方向旋转，连接DG,

BE,BE与AC相交于点H.

(1)如图1,在旋转过程中，当G,A,H,C恰好在同一直线上时，若AE=&，AB=2,求线段DG的

长；

(2)如图2,连接HG,在旋转过程中，若NDG”=2乙4BE,求证：HG=HB；

(3)如图3,BE与DG相交于点。，点K为线段4G上一点，连接。K,若4E=3,AK=1,在旋转过程

中，直接写出线段0K的最小值.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：根据从主视方向看得到的图形是主视图，可得主视图是长方形，月.该长方形中有两条虚线.故

选4.

2.答案：A

解析：

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

方程利用因式分解法求出解即可.

解：方程分解得：(％-3)(x+6)=0,

可得x-3=0或x+6=0,

解得：%!=-6,x2=3,

故选：A.

3.答案：A

解析：解：设袋中有黑球x个，

由题意得：^=0.2,

解得：xx13,

经检验x=13是原方程的解，

则布袋中黑球的个数可能有13个.

故选：A.

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，

设出未知数列出方程求解.

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且

摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的

近似值就是这个事件的概率.

4.答案:D

解析：

本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律.平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的

物高和影长成比例.中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的

物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离

点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长.

解：因为在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长.

故选：D.

5.答案：A

解析：

本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法.

根据相关知识逐项判断即可.

解：(1)两组对边相等的四边形是平行四边形，故(1)错误；

(2)两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故(2)错误；

(3)四条边都相等且对角线相等的四边形是正方形，故(3)错误；

(4)四条边都相等的四边形是菱形，故(4)正确，

所以正确的有1个，

故选A.

6.答案：A

解析：解：•••点P(3,2)在反比例函数y=：(k芋0)的图象上，

k=3x2=6,

A、•••—3x(—2)=6,.•・此点在该函数图象上，故本选项正确；

8、•••3x(-2)=-6,.•.此点不在该函数图象上，故本选项错误；

C、•；-2x3=-6,；.此点不在该函数图象上，故本选项错误；

。、•••2x(—3)=-6,••.此点不在该函数图象上，故本选项错误.

故选：A.

直接把点P(3,2)代入反比例函数y=其/cM0)求出k的值，进而可得出结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数

的解析式是解答此题的关键.

7.答案：D

解析：解：若NBAC=90。，

/.BAP+/.PAC=90°,且NP4B=4PBC=4PCA=a,

・•・/LPAC+Z-ACP=90°,

:.2-APC=90°

故①对，

y^AB=AC,

.・.Z,ABC=乙ACB,R/.PAB=(PBC=乙PCA=a,

/.Z.ABP=Z.BCP,月/BAP=ZPBC,

•••△BCP

・•・Z-APB=Z.BPC

故②正确，

故选：D.

由直角三角形的性质可判断①，通过证明△ABPSABCP,可判断②.

本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用三角形中

的布洛卡点的定义是本题的关键.

8.答案：A

解析：解：如图所示：^^ACB=4—|xlx2—^xlxl—|xlx2=|,

设BC边上的高是左,则吸C・/i=|,

•・•BC=“2+12=V2,

A-2xy[2h=2

解得：九=这.

2

故选：A.

首先求出SMCB的值，再利用勾股定理得出BC的长，再结合三角形面积求出答案.

此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出^4BC的面积是解题关键.

9.答案：D

解析：解：如图，连接2P',过点4作4H，BP,交BP的延长线于H,

AD

C

将线段PB以点B为旋转中心逆时针旋转90。，

PB=P'B=2,乙PBP'=90°,

P'P=>JP'B2+PB2=V4T4=2伍

P与P'的距离为2或，故①正确；

•••乙PBP'=/.ABC=90°,

Z.ABP'="BP,

又：AB=BC,P'B=PB,

：.^P'BA^^PBC(_SAS},

PC=P'A=3,

vp'A2=9,PA2+P'P2=9,

：.P'A2=PA2+P'P2=9,

Z.APP'=90°,

•••PB=P'B=2,乙PBP'=90°,

乙BPP'=45°,

^APB=135°,故②错误；

Z.APH=45°,

■■AH1BH,

Z.APH=4PAH=45°,

AH=PH,

"PA2=PH2+AH2,

1=24H2,

AH=PH=

2

AB=>JAH2+BH2=J|+(2+y)2=55+2&,故③正确;

S四边形APBP=SMPP+S&BPP'=S&AP?B+S»ABP，

A|X2X24-|X2V2x1=S^AP，B+3x2x争

_,V2

,,c='Q十y

S>APIB=S“BC=2+w故④」E确，

故选：D.

由旋转的性质看得到PB=P'B=2,乙PBP'=90°,利用勾股定理可求P，P=2V2,故①正确；由“SAS”

可证△P'BA三APBC,可得PC=P'A=3,利用勾股定理的逆定理可得乙4PP'=90。，可求NAPB=

135°,故②错误；利用勾股定理可求4H的长，即可求48=J5+2加，故③正确；由面积的和差关

系可求〃4Pm=2+孝，由全等三角形的性质可求SMP,B=SAPBC=2+¥，故④正确，即可求解.

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及

勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

10.答案：高

解析：

本题考查比例的性质和分式的化简求值.设a、b、c均为k的倍数，然后用k表示出a、b、c,再把a、

b.c的值代入代数式进行计算即可得解.

解：?a：b：c=2：3：5,

・,•设a=2k,b=3k,c=5k(kH0),

.a+b_2k+3k_5

"a-2b+3c-2k-6k+15k—11,

故答案为

11.答案：一1；2

解析：解：•・,a2+2。+非—4%+5=0,

・•・苏+2Q+1+廿_4匕+4=0,即(a+I)2+(b—2)2=0,

・•・Q+1=0且b—2=0,

解得：a=-1,b=2.

故答案为：—1;2.

将已知等式左边的5变为1+4,利用加法运算律变形后，再利用完全平方公式变形，根据两非负数

之和为0,两非负数分别为0,即可求出。与b的值.

此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，灵活运用完全平方公式是解本题的关键.

12.答案：V5—1

解析：解：设4P=x,则P8=2—%,

由题意，X2=2(2—%),

解得x=V5—1或—石—1（舍弃）

故答案为：V5—1.

设AP=x,贝lJPB=2—x,根据AP2=4B-PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解.

此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念.学会利用参数构建方程解决问题.

13.答案:20%

解析：解：设增长率为X,根据题意得50（1+X）2=72,

解得x=-2.2（不合题意舍去），x=0.2,

所以每月的增长率应为20%,

故答案为:20%.

可设增长率为x,那么三月份的营业额可表示为50（1+》尸，已知三月份营业额为72万元，即可列出

方程，从而求解.

本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化

率为x,则经过两次变化后的数量关系为以1±;<）2=/?.（当增长时中间的"土”号选"+”,当降低

时中间的“土”号选“一"）

4

14.答案：-

5

解析：正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键用到的知识

点为：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，概率=所求情况数与总情况数之比.列举出

所有情况，让能够使关于X的一元二次方程23c2_6工_1=0有两个不相等的实数根的情况数除

以总情况数即为所求的概率.

77

在一4、-,、0、二、4这五个数中，任取一个作为a值每个数被抽到的机会相同，因而是列举法

22

求概率的问题，

方程2於2-6x-l=0有两个不相等的实数根的条件是（一6）2—4x2ax（-1）>0且a丰0,即

a>—4.5且a¥0,

在一4、—‘7、0、7二、4这5个数中有4个满足这个条件，

22

4

p（能够使关于X的一元二次方程2於2_6x-l=0有两个不相等的实数根）=1­

15.答案:24

解析：解：在菱形4BCD中，AO=CO,

•••E为4B的中点，

•••0E是△ABC的中位线，

•••BC=20E=2x3=6,

.1.菱形2BCD的周长=4x6=24.

故答案为：24.

根据菱形的角平分线互相平分可得4。=C。，然后判断出0E是AABC的中位线，根据三角形的中位

线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，再根据菱形的周长公式列式进行计算即可得解.

本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的

性质，以及菱形的周长公式，判断出0E是A/IBC的中位线是解本题的关键.

16.答案：（4,2国）

解析：解：•.•菱形的边长为4

・,.AB=BC=AD=4,AD//BC

•・・坐标系原点。是力。的中点，

:.A0—2,

BO=yjAB2-AO2=2V3

二点C坐标（4,2百）

故答案为：（4,2国）

由菱形的性质可得AB=BC=4D=4,AD//BC,由勾股定理可求B。的长，即可求点C坐标.

本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，求出B。的长是本题的关键.

17.答案：（芋+2）

解析：解：由图可知，

阴影部分的周长是：等+等+（3-2）+（3—2）=詈+2=（y+2）cm,

故答案为：（等+2）.

根据图形，可知阴影部分的周长是弧BF+弧BE+DE+DF的长，然后代入数据计算即可解答本题.

本题考查弧长计算公式、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.答案：|

解析：解：•••乙4cB=90°,4B=30°,AC=2,

•••AB=4,BC=2V3>

vCD1AB,

•••Z.CDB=90°,

.•・BD—3,

:.AD=AB—BD=1,

由折叠的性质得，AF=EF,EG=BG,

•・・FG=EG,

AFG=BG,

设尸。=%,

・•・AF=1—x,BF=3+%,

3+r

：•BG=EG=FG=—,

2

・・・DG=—,

2

•：EF2-DF2=EG2-DG2=DE2,

；.(-2=毁2_(*

解得：X=

DF=i

故答案为：

根据直角三角形的性质得到48=24C=4,由勾股定理得到BC=2h，求得BD=3,由折叠的性

质得到4F=EF,EG=BG,设。F=x,根据勾股定理列方程即可得到结论.

本题考查了翻折变换(折叠问题)，含30。直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关

键.

19.答案：解：•■•X2-9X+18=0,

A(x-3)(%-6)=0,

则x—3=0或x-6=0,

解得x=3或x=6,

当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6,3+3=6,所以不能组成三角形；

当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6,3+6>6,所以能组成三角形，周长为3+6+6=15.

答：该等腰三角形的周长为15.

解析：利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解.

本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨

论求解.

20.答案：86

解析：解：(1)、・俯视图中有5个正方形，

二最底层有5个正方体；

••・主视图第二层有1个正方形，

几何体第二层最多有3个正方体，最少有1个正方体，

二最多需要小正方体8个，最少有几何体5+1=6：

故答案为：8,6；

(2)这个几何体在用小正方体最少情况下的所有可能的左视图如图所示：

俯视图可确定最底层正方体的个数，主视图第二层正方体的个数即为第二层最多和最少正方体的个

数，然后相加即可.

此题考查由三视图判断几何体；用到的知识点为:俯视图中正方形的个数即为几何体最底层正方体

的个数.

21.答案：解：(1)画树状图得：

开始

加Y-13

/N/N/1\

«-215-215-?15

则共有9等可能的结果；

(2)•••点A落在第三象限的有2种情况，

二点4落在第三象限的概率为：|.

解析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

(2)由(1)可求得点4落在第三象限的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.答案：解：(1)设每年平均增长的百分率为支，根据题意得：

6000(1+%)2=8640,

(1+%)2=1.44,

v1+%>0,

・•・1+x=1.2,

%=20%.

答：每年平均增长的百分率为20%；

(2)2013年该县教育经费为：8640x(1+20%)=10368(万元)，

10368>9500,

•••能实现目标.

解析：(1)根据等量关系：2010年教育经费的投入x(l+增长率产=2012年教育经费的投入，把相

关数值代入求解即可；

(2)根据2013年该区教育经费=2012年教育经费的投入x(1+增长率)，求出2013年该县教育经费,

再与9500进行比较即可.

23.答案：(1)解：•••四边形ABCD是菱形，

.：AD=DC=BC=AB,ABAO=^BAD=6^,

.•.△ABC是等边三角形，

•••AB=BC=AC=8,

二菱形4BCO的周长=4AB=32；

(2)证明：vDE//AC,AE//BD,

•••四边形40DE是平行四边形，

•••四边形4BCD是菱形，

AC1BD,

^AOD=90°,

•••四边形40DE是矩形.

解析：(1)由菱形的性质得出AD=DC=BC=AB,/.BAO=\/.BAD=60°,证出△力8C是等边三角

形，得出4B=BC=AC=8,即可得出答案；

(2)先证四边形40DE是平行四边形，由菱形的性质得出=90°,即可得出结论.

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识；，

熟记菱形的性质和矩形的判定是解此题的关键.

24.答案：解：(1)如图1,点P为所作;

(2)如图2,EF为所作.

解析：(1)延长BA和CD,它们相交于点Q,然后延长Q。交BC于P,贝iJPB=PC；

(2)连结4P交OB于E,连结CP交0C于尸，贝ijEF〃BC.

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

25.答案:解：k=-l时,11：=-x2V2.

,V2(-l)

{XI3T'

(1+fc2)2

=~证-'

设直线口y交于C,则(0,2位).

=1-尤2)2[1+(±)2]

xlx2

当点在尸上等号成立，此时NF的方为y=-+2企,

解得：x=V21,%2=V2+1,

F(鱼,企)，如：

则PM=+：-&=J(x+i-V2)2=J/+5-2&(x+》+4.

[V2(-k)]24kx(-1)=2(+k2>0,

一些5即匕£=三，

k2k2

(y—V2fc(x—V2)

根据题得：=1/空格整理得履24-V21-fc)l=0(k<0),

V-X

S△ABS△AOC-S△OC='2V2(x2-X1)2A/2；

（=-x+2\[2八/口_

“得，।_1，化得%2—2加％+1=,

・・.PM=F.

整理得，%2+/£+=0即（2+1）（卜+）=0,解k—2或k=-：.

设Px,》，则（一:+或》

•••当（企-1,或+1时，PM+PN最小2.

解析：将1与y=《组成方程组，可到C点坐标，从而出A04面积；

设（X》，则（一：+&，》，根据P=F，求出点P坐标.

本题考查了反比例函数综合题涉及函数图象与方程组的的系、角形的积、一元二次方程根的判别一

元二次程的解法、间离公式的知识，综合性较强.

26.答案：（1）解：