用向量方法研究立体几何中的度量关系 高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

用向量方法研究立体几何中的度量关系（3课时，含习题课）

湘教版选择性必修二4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时两条直线所成的角、直线与平面所成的角

求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题.在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？1.会用向量方法求两直线所成角.2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.会用向量的方法求两直线的夹角、直线与面所成的角，培养学生数学运算能力以及直观想象.课标要求素养要求探究点1两条直线所成的角

特别地：当两条直线平行时,规定它们所成的角为0；2.异面直线a与b所成的角

当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O,过点O作直线a'和b'使得a'//a,b'//b,把a',b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图3－40(2)).

cosθ=|cos<a,b>|例1

如图3－41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.

例8如图3－41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.探究点2直线与平面所成的角1.直线与这个平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角.

sinθ=|cos<l,n>|

3.直线与这个平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角.

P132练习1.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E是A'D'的中点,求直线A'B与直线CE夹角的余弦值.2.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,AD=2,AA'=1,求异面直线A'B

与C'D夹角的余弦值.BEB'O(A)zxyDCC'A'D'第1题BB'O(A)zxyDCC'A'D'第2题3.如图,在空间直角坐标系中有长方体

ABCD－A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'夹角的正弦值.4.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E,F分别是B'C'和A'D'的中点,求直线AC与平面ABEF夹角的正弦值.BFB'O(A)zxyDCC'A'D'第4题EBB'O(A)zxyDCC'A'D'第3题课时典例精析讲义[目标导航]新知导学·素养启迪新知梳理

小试身手1.如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为

.

3.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成角为

.

答案:30°探究点一课堂探究·素养培育异面直线所成的角[例1]如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(

)变式训练1-1:本例中条件不变,求异面直线AB与PC所成角的余弦值.变式训练1-2:本例中条件不变,求平面PAB的一个法向量与BC所成角的余弦值.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.方法总结探究点二求直线与平面所成的角[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(2)求BD与平面ADMN所成的角.用向量法求直线与平面的夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系;方法总结即时训练2-1:如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C.(1)证明:如图所示,取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.如图所示,以O为坐标原点,OA,OA1,OC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.即时训练2-1:如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(2)求A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.数学窗函数思想在立体几何中的运用立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.[典例]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=2,E,F分别是CC1,BC的中点.(1)若D是AA1的中点,求证:BD∥平面AEF.(1)证明:连接DC1,BC1,因为三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AA1,CC1的中点,所以AD∥C1E,AD=C1E,所以四边形ADC1E是平行四边形,所以AE∥DC1.因为E,F分别是CC1,BC的中点,所以EF∥BC1,又AE∩EF=E,DC1∩BC1=C1,所以平面AEF∥平面BDC1,又BD⊂平面BDC1,所以BD∥平面AEF.[典例]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=2,E,F分别是CC1,BC的中点.(2)若M是线段AE上的任意一点,求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值.1.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.2.能用向量方法解决点到平面、点到直线的距离问题.课标要求会用向量的方法求面与面所成的二面角、点到平面的距离、点到直线的距离培养学生数学运算能力以及直观想象.素养要求第2课时两平面所成的角、空间中的距离问题

求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题.在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?

探究点1用向量求两个平面所成的角

一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α−l−β的平面角与两法向量所成角<n1,n2>相等(如图3−47(1))或互补(如图3−47(2)).

如右图,平面α,β相交,形成四个二面角,我们把这四个角中不大于900的二面角称为平面α与平面β的夹角,设平面α与平面β的夹角为θ,则

例10

如图3−48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD−A'B'C'D',求二面角A'−DC−A的平面角.图3−48

例10如图3−48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD−A'B'C'D',求二面角A'−DC−A的平面角.图3−48

BB'O(A)zxyDCC'A'D'第4题SCDBA第5题典例精析讲义[目标导航]新知导学·素养启迪新知梳理(2)一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角n1,n2相等[如图(1)]或互补[如图(2)].小试身手1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为

.

答案:45°或135°3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为

.

4.如图所示,正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C,则二面角A-CD-B的余弦值是

.

解析:因为以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角,所以平面ABD⊥平面BCD,如图所示,连接A1C交BD于O,则AO⊥BD.因为平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OA,分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.课堂探究·素养培育探究点求二面角或二面角的三角函数值[例题]

如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD.(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.(2)解:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又因为O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图所示,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.[例题]如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.变式训练1:(变设问)本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.变式训练2:(变条件、变设问)本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤(1)建立适当的坐标系,写出相应点的坐标;(2)求出两个半平面的法向量n1,n2;(3)设二面角的平面角为θ,则|cosθ|=|cos<n1,n2>|;(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角,从而求出θ(或其三角函数值).方法总结利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点.易错警示数学窗向量法求解空间中的探求性问题[典例]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PDC⊥平ABCD,AB∥CD,AD=AB=PD=1,CD=2,∠PDC=∠ADC=90°,点M在棱PB上,且BM=λBP.(1)证明:BC⊥DM.[典例]

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PDC⊥平面ABCD,AB∥CD,AD=AB=PD=1,CD=2,∠PDC=∠ADC=90°,点M在棱PB上,且BM=λBP.思路分析:(2)通过建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法即可得出λ的值.与空间角有关的探索性问题的解题策略与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解.求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式.规律方法探究点2用向量研究空间中的距离问题

几何学中,经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值,通常叫作这两个图形的距离.

空间中常见的距离有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题,如何用向量方法求解这些距离呢？

图

3−50

回顾平面内直线l外一点P到直线l距离的几种求解方法.方法如下：1.综合几何方法:如图3−50(1),过点P作直线l的垂线,垂足为点D1,一般转化为求三角形的高,即PD1的长度.图

3−50

几种距离

①点到直线的距离就等于过这点向直线所引垂线段的长度;

②点到平面的距离就等于过这

点向平面所作垂线段的长度；

③如果一条直线和一个平面平行,它们之间的距离就等于过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度;

④两个平行平面间的距离就等于这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度.

垂直反映了距离的本质.用向量方法求解距离,也要抓住这一点.无论是对于平面还是直线,法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式,因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.图3−511.点到平面的距离

图3−51

例13:在单位正方体ABCD−A'B'C'D'中,点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行,请证明你的结论,并求直线C'M到平面ACD'的距离;若不平行,请说明理由.

用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤是：(1)确定一个法向量；(2)选择参考向量；(3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量；(4)求投影向量的长度.P138练习1.与已知平面距离等于1的点的轨迹是什么图形?2.已知直线l上有两点到一个平面α的距离都为1,那么这条直线l与平面α的位置关系是怎样的?3.已知点M(－1,1,－2),平面α经过原点O,且垂直于向量n=(1,－2,2),求点M到平面α的距离.

1.点到直线的距离

如图3−55,设点P是直线l外一点l0是直线l的单位方向向量,过点P作直线l的垂

线,垂足为点P',则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢？

若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P

到直线l的距离为

例15

如图3−57,在空间直角坐标系中有长方体ABCD−A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.用向量的方法求点B到直线A'C的距离.

第3课时点到平面的距离与点到直线的距离[目标导航]新知导学·素养启迪1.空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线间的距离、相互平行的平面之间的距离2.直线l外一点P到直线l的距离若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为新知梳理3.点到平面的距离

小试身手1.已知点A(1−t,1−t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为

.

2.在空间直角坐标系中,点P(0,0,1)为平面ABC外一点,其中A(1,1,0),B(0,2,3),若平面ABC的一个法向量为(1,