5.2.1三角函数的概念课件-高一上学期数学人教A版

5.2.1三角函数的概念学习目标1.借助单位圆理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(数学抽象)2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(数学运算)3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.(数学抽象)4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.(数学运算)复

习

回

顾在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.探

究

新

知思考：锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),你能否用点P的坐标表示sinα,cosα,tanα?这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢?

正弦函数余弦函数正切函数知识梳理设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

(1)把点P的纵坐标y叫做α的①

,记作sinα,即

;(2)把点P的横坐标x叫做α的②

,记作cosα,即

;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值

叫做α的③

,记作tanα,即

(x≠0).知识点一

三角函数的概念1.定义正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数。正弦函数

余弦函数

y=sinαx=cosα正切函数

2.三角函数的解析式和定义域三角函数解析式定义域正弦函数余弦函数正切函数

三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.RRy=sinxy=cosxy=tanx知识点二

三角函数值在各象限的符号如图所示：正弦：

象限正，

象限负；余弦：

象限正，

象限负；正切：

象限正，

象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[微思考]三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示：由α的终边所在的象限的横、纵坐标的符号决定．一二三四一四二三一三二四知识点三

诱导公式一(1)终边相同的角的同一三角函数的值

______.

(2)公式[微思考]

同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？相等题

型

探

究题型一

任意角三角函数的定义及应用(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sinα，cosα的值.解设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)，延伸探究如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P0(x，y).分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，则|MP|＝4，|M0P0|＝－y，|OM|＝3，|OM0|＝－x，△OMP∽△OM0P0，2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？解

(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，(2)若α的终边在第三象限内，设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin

α=y,cos

α=x,(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.题型二

三角函数值符号的应用例2(1)若sinαtanα<0,且

<0,则角α是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:

①sin105°cos230°;

②cos3tan.分析(1)由已知条件确定出sin

α,cos

α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.(1)答案

C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二、第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.(2)解

①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.反思感悟判断三角函数值在各象限符号的攻略:(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;(定象限)(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;（定符号）(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.变式训练(1)已知α=2,则点P(sinα,tanα)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(

)A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]答案

(1)D

(2)A题型三

诱导公式一的应用例3计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；解原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)

＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)

＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°反思感悟利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤变式训练

求下列三角函数值:小

试

牛

刀1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于√2.sin(－315°)的值是√3.若sinθ·cosθ>0，则θ在A.第一或第四象限

B.第一或第三象限C.第一或第二象限

D.第二或第四象限√5.y＝sinx＋tanx的定义域为

.1.知识清单：(1)三角函数的定义及求法；(2)三角函数