2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级第一学期期末

数学试卷

一、单项选择题（每小题3分，共计30分）

1.cos60°的倒数是（）

A.B.

2

3.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.掷一枚骰子，朝上一面的点数为5

B.某个数的相反数等于它本身

C.任意画一个三角形，它的内角和是178°

D.在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直

4.若根是方程好-%-1=0的一个根，则机2_形+2020的值为（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

5.如图，正六边形A5CD石厂内接于。0,半径为4,则这个正六边形的边心距0M的长为

c.MD.4«

6.如图，在平行四边形ABC。中，点M为CD的中点，AM与相交于点N,若已知

DMN=3，那么等于（）

B

A.m>9B.用n9C.m<-9D.mW-9

9.如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1,0）,将△OAB绕点O

逆时针旋转60°,则旋转后点B的对应点方的坐标为（）

10.已知二次函数y=or2+bx+cQWO）的图象如图所示，有下列5个结论：

①a6c<0；®b<a+c-③2a+b=0；@4ac-b2<0；⑤（iam+b）（%Wl）.其中

正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共21分）

11.某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平

均增长率为x,则可列出方程为.

12.如图，在△ABC中，。是线段AB上的一点（不与点A,B重合），连接CZ）.请添加

一个条件使AABC与△D2C相似，这个条件可以是（写出一个即可）.

13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120。，面积为12互加2的扇形，则这个圆

锥的高是cm.

q

14.若关于x的一元二次方程近2-3x-弓=0有实数根，则实数%的取值范围是.

4

15.如图，反比例函数y=上■的图象经过对角线的交点尸，已知点A、C、£＞在坐标

x

轴上，BDA.DC,nABC。的面积为8,贝U左=.

16.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点、E,尸分别在边BC,AC上，

沿EF所在的直线折叠/C,使点C的对应点。恰好落在边AB上，若△所C^AABC

相似，则AD的长为

A

17.二次函数yn%2的图象如图所示，点Ao位于坐标原点，点4,A2,A3,....,A2020在y

轴的正半轴上，点囱，&,B3,……，&020在二次函数y=T位于第一象限的图象上，

△AoBiAi,△AI2A2,223A3,......,△Azoig&ccoAzozo都是直角顶点在抛物线上的等腰

直角三角形，则△A2020&021A2021的斜边长为.

三、解答题。(本题共计7小题，共计69分)

18.计算：(it-2011)°+(sin600)1-|tan30°-V3I+^8,

19.解方程：

(1)3x2-4x-2=0；

(2)5x(x-2)=2(x-2).

20.为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高(单位：cm),

并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.

(1)填空：样本容量为,a=；

(2)把频数分布直方图补充完整；

(3)若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率.

学生身高频数分布直方图学生身高扇形统计图

(每组合最小值)

21.如图，以点。为圆心，AB长为直径作圆，在OO上取一点C,延长AB至点D,连接

DC,ZDCB=ZDAC,过点A作交DC的延长线于点E.

(1)求证：。是O。的切线；

(2)若CZ)=4,DB=2,求AE的长.

22.如图一次函数yi=hx+3的图象与坐标轴相交于点A(-2,0)和点8,与反比例函数

>2=丝(x>0)的图象相交于点C(2,in).

x

(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若点尸是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴交于点若

PD-CP=1：2时，求△(%)尸的面积；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点。，使尸。+C。的值最小，若存在请直接写

出PQ+CQ的最小值，若不存在请说明理由.

23.等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AE为/BAC的角平分线，交BC于点、E,点、

。为AB的中点，连结C。交AE于点G,过点C作CFLAE,垂足为点八交AB于点”.

(1)如图1,AG与C8的数量关系为；案•的值为；

(2)如图2,以点C为位似中心，将△C4E做位似变换，得到△CAE,使△。4囚与4

CAE的相似比为％(0<^<1),AE与C。、S的交点分别为G，，尸，隐去线段AE,

试求状”的值;

Au

(3)如图3,将(2)中的等腰直角三角形改为等腰三角形，NB=30°,且其他条件不

变，

-CF'

①女了”的值为_______.

Av

②若CF=、Q,直接写出△AGC的面积.

24.如图，抛物线丁=⑪2+6尤+。与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

(0,3),抛物线的顶点为D,连接BC,P为线段BC上的一个动点(P不与B、C重

合),过点尸作尸尸〃》轴，交抛物线于点E交x轴于点G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当PG=2P/时，求点尸的坐标；

(3)连接C。、BD、CF、BF,当ACB歹的面积等于△CB。的面积时(点尸与点。不重

合)，求点尸的坐标；

(4)在(3)的条件下，在y轴上，是否存在点。使△CPQ为等腰三角形，若存在，

请直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共计30分）

1.cos60°的倒数是（）

A.B.」C.22

D.

2277

【分析】首先知道cos60。的值，然后再求其倒数.

解：cos60°=p

cos60°的倒数是2,

故选：C.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形.故本选项正确;

8、是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故本选项错误；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形.故本选项错误.

故选：A.

3.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.掷一枚骰子，朝上一面的点数为5

B.某个数的相反数等于它本身

C.任意画一个三角形，它的内角和是178。

D.在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直

【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可.

解：A、掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件，因此选项A不符合题意；

8、某个数的相反数等于它本身是随机事件，因此选项8不符合题意；

C、任意画一个三角形，它的内角和是178。是不可能事件，因此选项C符合题意；

。、在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直是随机事件，因此选项。不符合题意；

故选：C.

4.若根是方程N-x-1=0的一个根，贝！］:层-m+2020的值为()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【分析】利用一元二次方程根的定义得到然后利用整体代入的方法计算m?

-771+2020的值.

解：•••根是方程x2-x-1=0的一个根，

/.m2-777-1=0,

/.m2-m=1,

Am2-771+2020=1+2020=2021.

故选：C.

5.如图，正六边形ABC。所内接于。。，半径为4,则这个正六边形的边心距的长为

()

A.2B.273C.弧D.4^3

【分析】连接OC、OB,证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可.

解:如图所示，连接OC、0B

;多边形ABCDEF是正六边形，

AZBOC=60°,

•：OA=OB,

/.△BOC是等边三角形，

/.ZOBM=60°,

OM=OBsmZOBM=4X浮=2«,

故选：B.

6.如图，在平行四边形ABC。中，点〃为C。的中点，AM与8。相交于点N,若已知S4

A.6B.9C.12D.3

【分析】证ADMNs/\BAN得DN：NB=DM：AB=MN：AN=1：2,据止匕知S^ZWN：S

△ADN=MN：AN=1：2,从而得出答案.

解：在口ABC。中，^DC//AB,AB=CD,

・・,点〃为8的中点，

：.AB=2DM,

:•丛DMNsABAN,

：.DN：NB=DM：AB=MN：AN=1：2,

:・SADMN：SLADN=MN:AN=1：2,

♦:丛DMN=3,

••SAADN=6,

7.若抛物线y=12-6x+加与x轴没有交点，则机的取值范围是（）

A.m>9B.m29C.m<-9D.mW-9

【分析】利用根的判别式△VO列不等式求解即可.

解：:•抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，

A=b2-4〃c<0,

・・・(-6)2-4X1•小VO,

解得m>9,

Am的取值范围是m>9.

故选：A.

【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正

确.

解：当机V0,几＞0时，函数〃的图象经过第一、二、四象限，y=（加卢。）的

x

图象在第二、四象限，故选项A错误、选项。正确；

当机＞0,〃＞0时，函数y=mx+〃的图象经过第一、二、三象限，了=^^（11111卉0）的图

x

象在第一、三象限，故选项5错误；

当相＞0,〃V0时，函数〃的图象经过第一、三、四象限，了=^咀（1101户0）的图

x

象在第二、四象限，故选项C错误；

故选：D.

9.如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，A点坐标（1,0）,将△O4B绕点。

逆时针旋转60°,则旋转后点8的对应点"的坐标为（）

C.(--1,

【分析】如图，故点2作BHLOA于区设2次交y轴于工求出点3的坐标，证明3,

B'关于y轴对称，即可解决问题.

解：如图，故点8作皮于X,设28'交y轴于J.

：.OA=1,

•.•△AOB是等边三角形，BH1OA,

：.OH=AH=^-OA=^,88=.而汨=淬,

VZAOB=ZBOB'=60°,ZJOA=90°,

AZBOJ=ZJOB'=30°,

•：OB=OB，,

：.BB'±OJ,

：.B,B'关于y轴对称，

故选：A.

10.已知二次函数y=〃x2+bx+c(Q#0)的图象如图所示，有下列5个结论：

①〃hcVO；②Z?V〃+c；③2〃+/?=0；@4ac-b2<0；⑤)a+b<m(am+b)(mv£l).其中

正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】由图象可获取：开口向下，a<0；对称轴为直线工=-1,b=2a<0；抛物线与

y轴的交点在y轴正半轴，。>0；抛物线与冗轴有两个不同的交点，△=b2-4ac>0；当

元=-1时，y有最大值.再结合选项进行判断即可.

解：•・•开口向下，

•・•对称轴为直线X=-1,

；・b=2a<3

故③不正确；

・・•抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，

.*.c>0,

abc>Of

故①不正确；

当％=-1时，y>0,

.\a-/?+c>0,

:.b〈a+c,

故②正确；

・・・抛物线与x轴有两个不同的交点，

A=b2-4ac>0,

故④正确；

•.•当x=-1时，y有最大值，

.'.a-b+c^m(ain+b)+c(m#l),

故⑤不正确；

综上所述：②④正确，

故选：A.

二、填空题(本题共计7小题，每题3分，共21分)

11.某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平

均增长率为x,则可列出方程为100(1+x)2=21.

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，利润的

平均月增长率为x,那么根据题意即可得出121=100(1+尤)2.

解：设该商场二、三月利润的平均增长率为X,

由题意得：100(1+x)2=121,

故答案是：100(1+x)2=121.

12.如图，在aABC中，。是线段4B上的一点(不与点A,B重合)，连接CD.请添加

一个条件使AABC与△DBC相似，这个条件可以是或

【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可.

解：在△ABC和△DBC中，

---ZB=ZB,

添加NBCO=NA或/CDB=/BCA或丝=里，ABCD^ABAC.

ABBC

故答案为：/8。=/4或/(?。8=/8。1或兽=罂.

ABBC

13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120。，面积为12Tte源的扇形，则这个圆

锥的高是4^/?.cm.

【分析】首先利用扇形面积公式求出扇形的半径，进而求出底面圆的半径，再利用勾股

定理求出圆锥的高即可.

解：设母线长为ran,底面圆的半径为Rem,

2

弋_120n-r_

J扇形---------------------]/冗,

360

解得：r=6,

底面圆的周长为：1日尸=2TTR,

ioU

解得：R=2,

2

，这个圆锥的高是：6~2J=4V2(cm).

故答案为：历.

14.若关于x的一元二次方程近2-3x-弓=0有实数根，则实数上的取值范围是-1

4

且20.

【分析】根据一元二次方程的定义，首先二次项系数不为0,其次有实数根的条件是

0,列出不等式即可求解.

解：•.•履2-2%-3=0有实数根，

，户0

(-3)2-4k*(―

解得人》-1且20,

故答案为k2-1且k¥0.

15.如图，反比例函数丫=上■的图象经过oABCD对角线的交点P,已知点A、C、。在坐标

x

轴上，BDLDC,nABCZ)的面积为8,贝I]k=一4.

【分析】由平行四边形面积转化为矩形8。。4面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比

例函数比例系数k的意义即可.

解：过点P作轴于点E,

・・•四边形ABCD为平行四边形，

：.AB^CDf

又・・,8D，x轴，

J.ABDO为矩形，

.\AB—DOf

••S矩形ABQO=SQA8CZ)=8,

・・・P为对角线交点，尸EL轴，

・・・四边形PDOE为矩形面积为4,

,/反比例函数y=上的图象经过。ABCD对角线的交点尸，

X

・・・|向=8矩形PDOE=4，

•.•图象在第二象限，

k<0,

k=-4,

故答案为-4.

16.如图，在RtZvl3c中，ZC=90°,AC=3,3c=4,点E,尸分别在边BC,AC上，

沿EF所在的直线折叠NC,使点C的对应点。恰好落在边AB上，若4EFC和△MC

Q5

相似，则AO的长为菖或9,

一5一2一

【分析】△(?£尸与△A2C相似，分两种情况：①若CP：C£=3：4,止匕时£尸〃AB,CD

为AB边上的高；②若CE：CF=3：4,由相似三角形角之间的关系，可以推出

ECD与/A=/FCD,从而得到CD=AD=BD,即D点、为AB的中点.

解：若与3c相似，分两种情况：

①若CF：C£=3：4,

VAC：BC=3：4,

:.CF：CE=AC：BC,

J.EF//AB.

连接CD,如图1所示：

由折叠性质可知，CDLEF,

：.CD±AB,即此时CD为AB边上的高.

在RtZkABC中，VZACB=90°,AC=3,BC=4,

22

.\AB=7AC+BC=5,

3Q

.\AD=AC9COSA=3X—=—；

55

②若CE：CF=3：4,

VAC：BC=3：4,ZC=ZC,

.,.△CEF^ACAB,

AZCEF=ZA.

连接CD,如图2所示：

由折叠性质可知，ZCEF+ZECD=90°,

又：NA+NB=90°,

，ZB=ZECD,

：,BD=CD.

同理可得：ZA=ZFCD,AD=CD,

.•.D点为AB的中点，

1R

：.AD=-^-AB=^；

故答案为：接或之.

b2

17.二次函数y=%2的图象如图所示，点A。位于坐标原点，点4,人2,A3,.............,A2020在y

轴的正半轴上，点3,&,B3,……,&020在二次函数位于第一象限的图象上，

△AoBiAi,Z\Ai82A2,△A233A3,.............，△A201932020A2020都是直角顶点在抛物线上的等腰

直角三角形，则△A2020B2021A2021的斜边长为4042

【分析】过点31作y轴的垂线B1G交y轴于点Ci,过点比作y轴的垂线&C2交y轴于

点。2,...........,过点32020作y轴的垂线3202002020交y轴于点。2020,由等腰直角三角形的

性质，分别求出。41=2,A1A2=4,...,从而发现规律，即可求&202血021=4040.

解：如图：过点历作y轴的垂线51G交y轴于点G,过点&作y轴的垂线32c2交y轴

于点G,...........，过点C020作y轴的垂线520200020交y轴于点GO2O,

设51(Xl,yi),B2(%2,>2),%(X3,>3),.............,&021(%2021,y2021),

・・・AAoBiAi是等腰直角三角形，

・・・OCi=BiCx,

「Bi在二次函数y=/上，

・—2

..Xi—xr,

・・.阳=1或％i=0(舍去)，

.,.Bi(1,1),

.\OAi=2f

Z\A由2A2是等腰直角三角形,

A1C2—B2C2,

•・•良在二次函数y=X2上，

2+X2=X22,

・・.％2=2或X2=-1(舍去)

：.B2(2,4),

・・AIA2=4,

042=6,

・・・AA2B3A3是等腰直角三角形,

/.A2C3—B3C3,

二治在二次函数y=%2上，

6-^X3=X32,

・・.％2=3或九2=-1(舍去)

：.B3(3,9),

・・.A2A3=6,

A2020A2021—2X2021=4042,

故答案为4042.

三、解答题。（本题共计7小题，共计69分）

18.计算：(互-2011)°+(sin60°)1-|tan30°-代|+我.

【分析】本题涉及零指数累、负指数幕、特殊角的锐角三角函数值、立方根、绝对值的

性质.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算

结果.

解：原式=1*哼一技2

=3.

19.解方程:

(1)3x2-4.x-2=0；

(2)5x(x-2)=2(x-2).

【分析】（1）利用公式法求解可得;

（2）利用因式分解法求解可得.

解：(1)'.'a=3,b=-4,c=-2,

A=(-4)2-4X3X(-2)=40>0,

.--b±'b2_4ac_4±2技_2±板

2a2X33

._2+/102-V10

•・，X2

33

(2)5x(x-2)=2(x-2),

5x(x-2)-2(x-2)=0,

(x-2)(5%-2)=0,

'.x-2=0或5x-2=0,

.'.X\=2,%2=-1-.

5

20.为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高(单位：cm),

并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.

(1)填空：样本容量为100,a=30；

(2)把频数分布直方图补充完整；

(3)若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率.

学生身高频数分布直方图学生身高扇形统计图

(每组合最小值)

【分析】(1)用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算2组所占的百

分比得到a的值；

(2)利用2组的频数为30补全频数分布直方图；

(3)计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率

求解.

解：(1)15米/=100,

360

所以样本容量为100；

B组的人数为100-15-35-15-5=30,

所以a%=^~_..-X100%=30%,则a=30；

故答案为100,30；

(2)补全频数分布直方图为:

学生身高频数分布直方图

（每组合最小值）

（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30=45,

样本中身高低于160cm的频率为肃=0.45,

所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45.

21.如图，以点。为圆心，长为直径作圆，在。。上取一点C,延长至点。，连接

DC,/DCB=NDAC,过点A作交。C的延长线于点E.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若CO=4,DB=2,求AE的长.

【分析】（1）连接。C,如图，根据圆周角定理得到/ACB=90°,即/2C0+/AC0=

90°,求得NOCA=NDCB,得到/DCO=90°,根据切线的判定定理得到CD是。。

的切线；

（2）根据勾股定理得到。2=3,求得42=6,根据切线的性质得到AE=CE,根据勾股

定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接。C,OE,如图，

'：AB为直径，

ZACB=90°,即/BCO+/1=90°,

又,:ZDCB=ZCAD,

•：ZCAD=ZOCA,

：.ZOCA=ZDCB,

：.ZDCB+ZBCO^90°,

即NDC0=9。,

•・・OC是。。的半径，

・・・CO是。。的切线；

(2)解：VZDCO=90°,OC=OB,

：.OB2+42=(08+2)2,

/.OB—3,

.\AB=6,

"AE1AD,AB是O。的直径，

.•.AE是。。的切线，

..•CD是OO的切线；

：.AE=CE,

-,-AD-+AEr=DE2,

：.(6+2)2+A£2=(4+AE)2,

解得AE=6.

22.如图一次函数力="什3的图象与坐标轴相交于点A(-2,0)和点8,与反比例函数

以=±2(x>0)的图象相交于点C(2,m).

x

(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若点尸是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴交于点D,若

PD：CP=1：2时，求△口?尸的面积；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点。，使PQ+CQ的值最小，若存在请直接写

出PQ+CQ的最小值，若不存在请说明理由.

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)证明△PEDs^cED,则兽=坐，而尸CP=1：2,C点坐标为(2,6),利

CECD

用S/\COP=S2COD-S^POD,即可求解；

(3)作C关于y轴的对称点U,连接，交y轴于Q,此时,PQ+QC=P。，PQ+CQ

的值最小，最小值为尸。的长，利用勾股定理求得即可.

解：⑴I•一次函数尸%卅3的图象与坐标轴相交于点A(-2,0),

3

-2左i+3=0,解得左1=5，

3

・•・一次函数为：尸■|■x+3,

q

•・,一次函数》=万计3的图象经过点C(2,m).

3

2+3=6,

・・・C点坐标为(2,6),

•・•反比例函数丁2=5~(%>0)经过点C,

X

Afa—2X6=12,

19

・••反比例函数为：y=—；

x

(2)作CE_LOO于E,PFLOD^F,

J.CE//PF,

：.LPFDs^CED,

.PF=PD

•而一而‘

,:PD：CP=1：2,C点坐标为(2,6),

：.PD：CD=1：3,CE=6,

.PF_1

,工一百’

：.PF=2,

点的纵坐标为2,

19

把y=2代入”=—求得X=6,

x

：.P(6,2),

设直线CD的解析式为y=ax+b,

2a+b=6a=-l

把C(2,6),尸(6,2)代入得，解得，

6a+b=2b=8

直线CD的解析式为y=-x+8,

令y=0,则x=8,

：.D(8,0),

.♦.00=14,

:.SACOP=SACOD-5APOD=-^-X8X6--^-X8X2=16；

(3)存在，理由如下：

作C关于y轴的对称点U,连接尸。，交y轴于。此时PQ+CQ的值最小，最小值

为P。的长，

VC(2,6),P(6,2),

：.C(-2,6),

:-PC'=V(6+2)2+(2-6)2=4VS.

故PQ+CQ的最小值为475.

23.等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AE为NBAC的角平分线，交BC于点、E,点

。为AB的中点，连结C。交AE于点G,过点C作CVLAE,垂足为点E交AB于点H.

⑴如图1,AG与C8的数量关系为AG=CH；冬的值为春；

（2）如图2,以点C为位似中心，将△CAE做位似变换，得到△CAE,使ACA对与△

C4E的相似比为左（0＜左＜1）,AE与CD、C”的交点分别为G,F,隐去线段AE,

CH'

试求的值;

（3）如图3,将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形，ZB=30°,且其他条件不

变，

①片L的值为_a―•

£x/

②若CF=M，直接写出△AGC的面积.

【分析】（1）通过证明△AGO之△CD8可得AG=C8；通过证明△AC/之可得

CF—CH,结论可得；

（2）过点A'作A'B'//AB,分别交CD于点£＞',交CH于点、H',与（1）相同的

方法解答即可；

（3）①过点A'作A'B'//AB,分别交CD于点D',交CH于点、卬，与（1）类似

的方法解答，证明△&'G'D'sXCH'D'得到^—=^—p—=tanZAzCD'=

tan60°=a,再证明△△'CF'^AAZH'F'得出CF'=F'H',CF'=^CH',

结论可得；

②利用①的结论求得A'G'的长，利用三角形的面积公式计算即可.

解：（1）AG与CH的数量关系为：AG=CH；※4；理由：

•・•等腰直角三角形A3C中，NAC3=90°,点。为A8的中点，

；・CD_LAB,CD=BD=AD.

：.ZCAD=ZACD^45°,NDCB=NDBC=45°.

VAE为/BAC的角平分线，

ZGAD=ZCAG=—ZDAC=22.5°.

2

CF±AE,

：.ZACF=ZAHF=61.5°.

VZAGD=ZACD+ZCAG=45°+22.5°=67.5°,

/AGD=ZAHC.

在△AGO和中，

,ZAGD=ZAHF

,ZADG=ZCDH=90°，

.AD=CD

:.△AGDQdCHD(A4S).

J.AG^CH.

在△ACF和中，

，ZACF=ZAHF

<ZAFC=ZAFH=90°,

LAF=AF

AAACF^AAHFCAAS).

:.CF=FH.

：.CF=^-CH,

.CFCF1

"AG"CHI'

故答案为：AG=CH；-1；

(2)过点A‘作A'B'//AB,分别交CO于点D',交CH于点H',如图,

则/CA，B'=ZCAB=45°,ZB'=ZB=45°,D'是A，B'的中点.

;等腰直角三角形A'B'C中，AA'CB'=90°,点。'为A'B'的中点,

：.CD'±A'B',CD1=B'D'=A'D'.

：.ZCA'D'=ZAZCD'=45°,ZDzCB'=ZD'B'C=45°.

•.WE'为/B'A1C的角平分线，

：.ZG'A'D'=ZCA'G'=—ZD'A'C=22.5°.

2

•:CP±AZE',

.♦.NA'CF'=/A'H'F'=67.5

VZAZG'D'=ZA'CD'+ZCA'G'=45°+22.5°=67.5

.WG'D'=NA'H'C.

在AA，G'D'和△C/TD'中，

‘NA'G'D'=NA'H'F'

，NA'D'G'=ZCDZH'=90°,

£D'=CD'

.♦.△A'G'D'名△CH'D'(A4S).

：.A'G'=CH'.

在CF'和H'F'中，

fZA/CFy=ZAZHZ『

<NA'F'C=ZAyF'H'=90°,

KF'=A'F'

...△A'CF'之Z\A'H'F'(A4S).

：.CF'=F'H'.

：.CF'~CH',

2

.CFy_CFy_1

•*G'二C『T

(3)①过点A'作A'B'//AB,分别交CD于点£>',交CH于点、印，如图,

则/QTB'=ZCAB=3O°,ZB'=ZB=3O°,D'是A，B'的中点.

;等腰三角形A'B'C中，ZAZCB'=120°,点。'为A'"的中点,

：.CD'J_A'B'.

：.ZA'CD'=60°,ZD'CB'=60°.

VA7E'为NC的角平分线，

:.NG'A'D'=ZCA'G'=-ZD'A1C=15°.

2

;CF'±AZE',

：.ZA'CF'=ZA'H'F'=75°.

VZAZG'D'=ZAZCD'+ZCA'G'=60°+15°=75

AZA'G'D'=ZA'H'C.

'：ZA'D'G'=ZCD'H'=90°，

.♦.△A'G'D's^cHD'.

A

-=B-=tan/A'CD'=tan60°=«.

LnrLrU

.\A/G'=-/3CH,.

在△A，CF'和