高中数学选修2-1模块复习资料

模块复习提升课一常用逻辑用语,[学生用书P76])1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若¬p，则¬q逆否命题若¬q，则¬p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，qeq\o(⇒,\s\up0(/))p；③必要不充分条件：q⇒p，peq\o(⇒,\s\up0(/))q，④既不充分也不必要条件：peq\o(⇒,\s\up0(/))q，且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p.3．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，¬p.(2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与¬p必定是一真一假．4．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题．全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题．存在量词用符号“∃”表示．特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若¬p，则¬q”；命题的否定为“若p，则¬q”．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．3．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．四种命题及其关系[学生用书P76]设命题为“若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”，该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．【解析】命题的否定：若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k＞0.假命题；否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题．【答案】3eq\a\vs4\al()四种命题的写法及其真假的判断方法(1)四种命题的写法①明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件．(2)简单命题真假的判断方法①直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证；②间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．写出命题“若eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，真命题．否命题：若eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．逆否命题：若x≠2或y≠－1，则eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，真命题．充分、必要条件的判断及应用[学生用书P77](1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“a＞5”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由正弦定理，知a≤b⇔2RsinA≤2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA≤sin B．故选A.(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a＞4，而a＞5⇒a＞4，且a＞4eq\o(⇒,\s\up0(/))a＞5，所以“a＞5”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】(1)A(2)Aeq\a\vs4\al()判断充分、必要条件的方法集合法：即看集合A和B的包含关系．①若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．②若AB，则A是B的充分不必要条件；③若AB，则A是B的必要不充分条件；④若A＝B，则A，B互为充要条件；⑤若Aeq\o(⊆,\s\up0(/))B，且Aeq\o(⊇,\s\up0(/))B，则A是B的既不充分也不必要条件．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．解：设A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10}，B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a}，由于p是q的充分而不必要条件，可知AB.从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a≥－2，,1＋a<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a>－2，,1＋a≤10，))解得0<a≤3.故所求正实数a的取值范围为(0，3]．含有逻辑联结词的命题[学生用书P77](1)命题p：正数的对数都是负数；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题C．¬p为假命题 D．¬q为假命题(2)设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________．【解析】(1)例如∃x0>1，logax0＞0(a>1)，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0.))综上可知，“p或q”是假命题，故选B.(2)若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1.若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2.依题意得p与q一真一假，若p真q假，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a≤2，))即1＜a≤2.若p假q真，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a＞2，))a不存在．综上1＜a≤2.【答案】(1)B(2)(1，2]eq\a\vs4\al()判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(1)先确定简单命题p，q.(2)分别确定简单命题p，q的真假．(3)利用真值表判断所给命题的真假．1.已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面选项中真命题是()A．¬p∧¬q B．¬p∨¬qC．¬p∨q D．p∧q解析：选B.对于命题p，如图所示作出函数y＝ax(a>1)与y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命题．对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要条件，故命题q为假命题．所以¬p为假，¬q为真，所以p∧q为假，¬p∨q为假，¬p∧¬q为假，¬p∨¬q为真．2．设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是________．解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1，所以命题¬p：c≤0或c≥1.又由(4c)2－4＜0，得－eq\f(1,2)＜c＜eq\f(1,2)，即命题q：－eq\f(1,2)＜c＜eq\f(1,2)，所以命题¬q：c≤－eq\f(1,2)或c≥eq\f(1,2)，由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．当p真q假时，实数c的取值范围是eq\f(1,2)≤c＜1.当p假q真时，实数c的取值范围是－eq\f(1,2)＜c≤0.综上所述，实数c的取值范围是－eq\f(1,2)＜c≤0或eq\f(1,2)≤c＜1.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))全称命题与特称命题[学生用书P78](1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)若命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1，故选A.(2)因为∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，所以方程xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.【答案】(1)A(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)eq\a\vs4\al()全称命题、特称命题真假判断(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假．1.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解析：选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定是¬p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))C．(0，3]D．[3，＋∞)解析：选D.由函数的性质可得函数f(x)＝x2－2x的值域为[－1，3]，g(x)＝ax＋2的值域是[2－a，2＋2a]．因为∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以[－1，3]⊆[2－a，2＋2a]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≤－1，,2＋2a≥3，))解得a≥3.,[学生用书P147(单独成册)])[A基础达标]1．命题“若a>0，则a2>0”的逆命题是()A．若a>0，则a2≤0 B．若a2>0，则a>0C．若a≤0，则a2>0 D．若a≤0，则a2≤0解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为()A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．下列表述错误的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．命题“若a∈M，则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”C．“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件D．对任意的φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数解析：选D.当α＝0，β＝eq\f(π,3)时，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,3)))＝tan0＋taneq\f(π,3)成立，故选项A正确．对于选项B、C，显然正确．在D中，存在φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，D错误．4．设p：log2x<0，q：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－1)>1，则p是q的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.p：log2x<0⇔0<x<1；q：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－1)>1⇔x<1，所以p⇒q但qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，所以p是q的充分不必要条件，故选B.5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(¬q)是真命题D．命题p∨(¬q)是假命题解析：选C.当x＝10时，x－2＝8，lgx＝lg10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，¬q是真命题，进而得到命题p∧(¬q)是真命题，命题p∨(¬q)是真命题．故选C.6．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac＞0”的一个等价命题：________________．解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．答案：若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不均大于07．给出下列三个命题：①当m＝0时，函数f(x)＝mx2＋2x是奇函数；②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1.其中为真命题的是________(填序号)．解析：①中，当m＝0时，f(x)＝mx2＋2x＝2x是奇函数，故①是真命题；②中，取a＝b＝0，c＝1，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故②不是真命题；③的逆否命题为“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题．答案：①③8．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0.若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：p：－4＜x－a＜4，即a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0，即2＜x＜3，所以¬p：x≤a－4或x≥a＋4，¬q：x≤2或x≥3；而¬p是¬q的充分条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3.))解得－1≤a≤6.答案：[－1，6]9．指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p：0<m<eq\f(1,3)；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．解：(1)因为{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，所以{x|x>－2或x<3}⃘{x|－2<x<3}，而{x|－2<x<3}{x|x>－2或x<3}．所以p是q的必要不充分条件．(2)因为a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数eq\o(⇒,\s\up0(/))a、b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,\f(3,m)>0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－12m>0，,m>0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,m>0))⇔0<m<eq\f(1,3).所以p是q的充要条件．10．设有两个命题：p：关于x的不等式sinxcosx>m2＋eq\f(m,2)－1的解集是R；q：幂函数f(x)＝x7－3m在(0，＋∞)上是减函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题．因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题．故p和q两个命题一真一假．若p真，则2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1<m<eq\f(1,2).若q真，则7－3m<0，所以m>eq\f(7,3).p真q假时，－1<m<eq\f(1,2)；p假q真时，m>eq\f(7,3).所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，＋∞)).[B能力提升]11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)＞0的一个必要不充分条件是()A．x＜0 B．x＜0或x＞4C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3解析：选C.由x2－4x＞0有x＞4或x＜0，故f(x)＞0的必要不充分条件中x的取值范围应包含集合{x|x＞4或x＜0}，验证可知，只有C选项符合．12．下列选项中叙述错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题B．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件C．若“p∨q”为假命题，则“(¬p)∧(¬q)”也为假命题D．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0解析：选C.对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于B，由x＞2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0，反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，因此“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；对于C，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(¬p)∧(¬q)”是真命题；对于D，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0，综上所述，选C.13．已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2.(1)当b＞0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明：a≤2eq\r(b)；(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2eq\r(b).证明：(1)此题等价于对所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0，因为b＞0，所以Δ＝a2－4b≤0.又因为a＞0，所以a≤2eq\r(b).(2)①必要性：设对所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1.令x＝1∈[0，1]，则有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1.因为b＞1，所以eq\f(1,2)－eq\f(1,2b)≤eq\f(a,2b)≤eq\f(1,2)＋eq\f(1,2b).这说明eq\f(a,2b)∈[0，1]．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)))≤1，即eq\f(a2,2b)－b·eq\f(a2,4b2)≤1.所以a2≤4b，a≤2eq\r(b).综上所述，有b－1≤a≤2eq\r(b).②充分性：设b－1≤a≤2eq\r(b).因为b＞1，所以eq\f(a,2b)＝eq\f(a,2\r(b))·eq\f(1,\r(b))＜1.所以当x∈[0，1]时f(x)的最大值为f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)))＝a·eq\f(a,2b)－b·eq\f(a2,4b2)＝eq\f(a2,4b)＜1.又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线，所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2eq\r(b).14．(选做题)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范围．解：将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．若g(x)＝2x－2<0，则x<1.又因为对任意x∈R，g(x)<0或f(x)<0，所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．当2m>－m－3，即－1<m<0时，f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<－m－3}．依题意2m<1，即m<eq\f(1,2)，所以－1<m<0.当2m<－m－3，即m<－1时，f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}．依题意－m－3<1，即m>－4，所以－4<m<－1.因此满足①的m的取值范围是－4<m<0.②中，因为当x∈(－∞，－4)时，g(x)＝2x－2<0，所以问题转化为存在x∈(－∞，－4)，f(x)>0，即f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m<0，则(x－2m)(x＋m＋3)<0.由①的解法知，当－1<m<0时，2m>－m－3，即－m－3<－4，所以m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.二圆锥曲线与方程,1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y＝±eq\f(b,a)x或y＝±eq\f(a,b)x无限延展，没有渐近线，有准线变量范围|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e＝eq\f(c,a)，且0<e<1e＝eq\f(c,a)，且e>1e＝1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2．椭圆的焦点三角形设P为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S＝b2taneq\f(α,2).(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.3．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0(a>0，b>0)，即y＝±eq\f(b,a)x；双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0(a>0，b>0)，即y＝±eq\f(a,b)x.(2)如果双曲线的渐近线为eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0时，它的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4．特殊的两个双曲线(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线系方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝k(k≠0)．(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距．(3)等轴双曲线方程一般设为x2－y2＝a2(或y2－x2＝a2)．5．抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．6．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a中，应有2a>|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a中，应有2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点F不在定直线l上．2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看x2，y2系数的符号．4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．轨迹问题[学生用书P79](1)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→)).则动点P的轨迹C的方程为________．(2)如图所示，椭圆C0：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆O：x2＋y2＝teq\o\al(2,1)，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，圆O与椭圆C0相交于A，B，C，D四点，求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程．【解】(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)．因为eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故填x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，则B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，则直线AA1的方程为y＝eq\f(y1,x1＋a)(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝eq\f(－y1,x1－a)(x－a)，②由①×②，得y2＝eq\f(－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,1)－a2)(x2－a2)，③又点A(x1，y1)在椭圆C0上，故eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，从而yeq\o\al(2,1)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),a2))).④把④代入③，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x<－a，y<0)，即为点M的轨迹方程．eq\a\vs4\al()求曲线方程的常用方法及特点(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．已知动点M到定点A(1，0)与到定直线l：x＝3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，作MN⊥l于N，由|MA|＋|MN|＝4得eq\r(（x－1）2＋y2)＋|x－3|＝4.当x≥3时，上式化简为y2＝－12(x－4)；当x<3时，上式化简为y2＝4x.所以点M的轨迹方程为y2＝－12(x－4)(x≥3)和y2＝4x(x<3)，其轨迹是两条抛物线段．圆锥曲线的定义及应用[学生用书P80](1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．(2)已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．【解析】(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义，知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为求点P到点A(－1，1)的距离与点P到点F(1，0)的距离之和的最小值．显然，A，P，F三点共线时，所求的距离之和取得最小值，且AF的长为所求的最小值，故最小值为eq\r(22＋12)，即为eq\r(5).(2)设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)．因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝eq\f(1,2)|PF′|，又|FN|＝eq\r(|OF|2－|ON|2)＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－eq\f(1,2)|PF′|＝eq\f(1,2)(|PF|－|PF′|)－|FN|＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.【答案】(1)eq\r(5)(2)－1eq\a\vs4\al()圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．(2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．已知动点M的坐标满足方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对解析：选C.把轨迹方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|写成eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5).所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．所以动点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．圆锥曲线的方程与几何性质[学生用书P80](1)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是eq\r(3)c2，则这一椭圆的离心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)(2)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，则C的焦距等于()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)【解析】(1)eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).(2)双曲线的一条渐近线方程为eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0，即bx－ay＝0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝eq\r(3)，故b＝eq\r(3)，结合eq\f(c,a)＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.【答案】(1)A(2)Ceq\a\vs4\al()求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f(c,a)，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．1.过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．解析：设直线方程为y＝eq\f(b,a)(x－c)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,a)（x－c）))得x＝eq\f(a2＋c2,2c)，由eq\f(a2＋c2,2c)＝2a，e＝eq\f(c,a)，解得e＝2＋eq\r(3)(e＝2－eq\r(3)舍去)．答案：2＋eq\r(3)2．已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为eq\f(4\r(5),5)，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为__________．解析：抛物线焦点为F(0，2)，准线为y＝－2，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，依题意可得eq\f(|－2a|,\r(a2＋b2))＝eq\f(4\r(5),5)，即eq\f(a,c)＝eq\f(2,\r(5))，又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，在Rt△FOF2中，|OF2|＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，所以c＝eq\r(5)，所以a＝2，b＝1，所以双曲线方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝1直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P81]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2eq\r(2)，离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),7)))满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．【解】(1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，所以a＝eq\r(2)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由第一问知F2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k(x－1)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立直线与椭圆的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,\f(x2,2)＋y2＝1，))化简得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝eq\f(－2k,1＋2k2)，所以AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2,1＋2k2)，\f(－k,1＋2k2)))，①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－eq\f(－k,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2k2,1＋2k2)))，因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：eq\f(\r(3),7)＋eq\f(k,1＋2k2)＝eq\f(2k,1＋2k2)，即2eq\r(3)k2－7k＋eq\r(3)＝0，解得k＝eq\r(3)或k＝eq\f(\r(3),6).②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．所以斜率k的取值为0，eq\r(3)，eq\f(\r(3),6).eq\a\vs4\al()直线与圆锥曲线关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“Δ>0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为(eq\r(2)，0)，离心率为eq\f(\r(6),3).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．解：(1)因为椭圆的右焦点为(eq\r(2)，0)，离心率为eq\f(\r(6),3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝\r(2)，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，))所以a＝eq\r(3)，b＝1.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率存在时，直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(6km,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3m2－3,1＋3k2)，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.所以x1x2＋y1y2＝0，所以(1＋k2)eq\f(3m2－3,1＋3k2)－km×eq\f(6km,1＋3k2)＋m2＝0，所以4m2＝3(k2＋1)．所以原点O到直线的距离为d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(3),2)，当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，所以xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝0，因为xeq\o\al(2,1)＋3yeq\o\al(2,1)＝3，所以|x1|＝|y1|＝eq\f(\r(3),2)，所以原点O到直线的距离为d＝|x1|＝eq\f(\r(3),2)，综上，点O到直线AB的距离为定值．(3)当直线AB斜率存在时，由弦长公式可得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(\f(（1＋k2）（36k2－12m2＋12）,（1＋3k2）2))＝eq\r(3＋\f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6))≤eq\r(3＋\f(12,6＋2\r(9k2·\f(1,k2))))＝2，当且仅当k＝±eq\f(\r(3),3)时，等号成立，所以|AB|≤2，当直线AB斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝eq\r(3)<2，所以△OAB面积＝eq\f(1,2)|AB|d≤eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以△OAB面积的最大值为eq\f(\r(3),2).,[学生用书P149(单独成册)])[A基础达标]1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为()A．(1，0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) D．(0，1)解析：选C.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a，所以a＝2，所以抛物线方程为x2＝eq\f(1,4)y，焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).故选C.2．设k<3，k≠0，则下列关于二次曲线eq\f(x2,3－k)－eq\f(y2,k)＝1与eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,2)＝1的说法正确的是()A．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B．有相同的顶点C．有相同的焦点D．有相同的离心率解析：选C.当0<k<3时，则0<3－k<3，所以eq\f(x2,3－k)－eq\f(y2,k)＝1表示实轴在x轴上的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.所以两曲线有相同焦点；当k<0时，－k>0且3－k>－k，所以eq\f(x2,3－k)＋eq\f(y2,－k)＝1表示焦点在x轴上的椭圆．a2＝3－k，b2＝－k.所以a2－b2＝3＝c2，与已知椭圆有相同焦点．3．设点P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝eq\r(3)|PF2|，则此双曲线的离心率为()A．eq\r(5) B．eq\f(\r(10),2)C．eq\r(3)＋1 D．3解析：选C.由题知PF1⊥PF2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，,|PF1|＝\r(3)|PF2|，))得eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.故选C.4．已知点P是椭圆16x2＋25y2＝400上一点，且在x轴上方，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为－4eq\r(3)，则△PF1F2的面积是()A．24eq\r(3) B．12eq\r(3)C．6eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：选C.椭圆16x2＋25y2＝400的标准方程是eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1，F1(－3，0)、F2(3，0)．直线PF2的方程为y＝－4eq\r(3)(x－3)．由点P在x轴上方和方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16x2＋25y2＝400，,y＝－4\r(3)（x－3）))可得P点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，2\r(3))).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3).5．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±eq\f(1,2) B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)解析：选C.由题设，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±eq\f(b2,a).不妨设B(c，eq\f(b2,a))，C(c，－eq\f(b2,a))，则kA1B＝eq\f(\f(b2,a),c＋a)，kA2C＝eq\f(－\f(b2,a),c－a)，根据题意，有eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得eq\f(b,a)＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.6．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4eq\r(3)y的焦点，则椭圆C的方程为________．解析：根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，所以F(1，0)，所以c＝1.又因为椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4eq\r(3)y的焦点，所以b＝eq\r(3)，b2＝3，所以a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝17．已知点A(4，0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．解析：设M(eq\f(yeq\o\al(2,1),6)，y1)，则|MA|2＝(eq\f(yeq\o\al(2,1),6)－4)2＋yeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,36)yeq\o\al(4,1)－eq\f(1,3)yeq\o\al(2,1)＋16＝eq\f(1,36)(yeq\o\al(2,1)－6)2＋15≥15，当且仅当yeq\o\al(2,1)＝6，即y1＝±eq\r(6)，x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),6)＝1时，|MA|取最小值eq\r(15)，此时M(1，±eq\r(6))．答案：(1，±eq\r(6))8．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))(O为坐标原点)，则|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝________．解析：设F1为右焦点，因为|eq\o(PF,\s\up6(→))|＝6，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝10－6＝4，又eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))，所以M为PF的中点，所以OM为△FPF1的中位线，所以|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2.答案：29．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4eq\r(13)，求抛物线方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以OA⊥OB，故直线OB的方程为y＝－eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))联立得B(8p，－4p)．因为|AB|＝4eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－8p))eq\s\up12(2)＋(p＋4p)2＝16×13，所以p＝eq\f(8,5)，所以抛物线方程为y2＝eq\f(16,5)x.10．设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，离心率为eq\f(\r(2),2)，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P(x0，y0)满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－eq\f(1,2)，求证：xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)为定值．解：(1)由e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，得a2＝2b2，因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝2，所以由椭圆的对称性，知该直线过点(c，1)或(－c，1)，且点(±c，1)在椭圆上，即eq\f(c2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，即eq\f(a2－b2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kOM·kON＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－eq\f(1,2)，化简得x1x2＋2y1y2＝0.因为M，N是椭圆上的点，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，即有xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝x1＋2x2,y0＝y1＋2y2))，所以xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝4＋4×4＋0＝20.即xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)为定值．[B能力提升]11．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),6)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：选C.因为△AOB为边长等于1的正三角形，所以O到AB的距离为eq\f(\r(3),2)，A或B到x轴的距离为eq\f(1,2).当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为抛物线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝2p·eq\f(\r(3),2)，所以2p＝eq\f(\r(3),6).所以抛物线的方程为y2＝eq\f(\r(3),6)x.当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．因为抛物线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－2p·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))，所以2p＝eq\f(\r(3),6).所以抛物线的方程为y2＝－eq\f(\r(3),6)x.12．点F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线作垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率是________．解析：由题意得双曲线C的右焦点为F(c，0)，记一条渐近线OA的方程为y＝eq\f(b,a)x，则另一条渐近线OB的方程为y＝－eq\f(b,a)x，设A(m，eq\f(bm,a))，B(n，－eq\f(bn,a))，因为2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以2(c－m，－eq\f(bm,a))＝(n－c，－eq\f(bn,a))，所以2(c－m)＝n－c，－eq\f(2bm,a)＝－eq\f(bn,a)，解得m＝eq\f(3c,4)，n＝eq\f(3c,2)，所以A(eq\f(3c,4)，eq\f(3bc,4a))．由FA⊥OA可得eq\f(\f(3bc,4a)－0,\f(3c,4)－c)·eq\f(b,a)＝－1.所以a2＝3b2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)13．设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,1－a2)＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．解：(1)因为a2>1－a2，2c＝1，a2＝1－a2＋c2，则a2＝eq\f(5,8)，1－a2＝eq\f(3,8)，所以椭圆E的方程为eq\f(8x2,5)＋eq\f(8y2,3)＝1.(2)证明：设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)，Q(0，m)，则eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq\o(QF2,\s\up6(→))＝(c，－m)，eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(c，m)．由eq\o(F2P,\s\up6(→))∥eq\o(QF2,\s\up6(→))，eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F1Q,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（c－x）＝yc，,c（x＋c）＋my＝0，))所以(x－c)(x＋c)＝y2，即x2－y2＝c2.由椭圆E的方程可知，c2＝a2－(1－a2)＝2a2－1，所以x2－y2＝2a2－1，即y2＝x2－2a2＋1.将上式代入椭圆E的方程，得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2－2a2＋1,1－a2)＝1，解得x2＝a4.因为点P是第一象限内的点，所以x＝a2，y＝1－a2.故点P在定直线x＋y＝1上．14．(选做题)已知圆M：(x＋eq\r(5))2＋y2＝36，定点N(eq\r(5)，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足eq\o(NP,\s\up6(→))＝2eq\o(NQ,\s\up6(→))，eq\o(GQ,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点(2，0)作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤－1？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(NP,\s\up6(→))＝2\o(NQ,\s\up6(→))，,\o(GQ,\s\up6(→))·\o(NP,\s\up6(→))＝0，))知Q为线段PN的中点，且GQ⊥PN，则GQ为线段PN的中垂线，故|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝|eq\o(GN,\s\up6(→))|，所以|eq\o(GN,\s\up6(→))|＋|eq\o(GM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝6.故点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且其长半轴长a＝3，半焦距c＝eq\r(5)，所以短半轴长b＝2.所以点G的轨迹C的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1))⇒(9k2＋4)x2－36k2x＋36(k2－1)＝0，所以x1＋x2＝eq\f(36k2,9k2＋4)，x1x2＝eq\f(36（k2－1）,9k2＋4)，y1y2＝[k(x1－2)][k(x2－2)]＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－eq\f(20k2,9k2＋4)，则x1x2＋y1y2＝eq\f(36（k2－1）,9k2＋4)－eq\f(20k2,9k2＋4)＝eq\f(16k2－36,9k2＋4).由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2≤－1，得eq\f(16k2－36,9k2＋4)≤－1，解得k2≤eq\f(32,25)，故－eq\f(4\r(2),5)≤k≤eq\f(4\r(2),5).故存在这样的直线l，使得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤－1，且直线l的斜率k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(2),5)，\f(4\r(2),5))).三空间向量与立体几何,1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共线向量定理的推论：若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要结论a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))；②cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2).4．空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小．(ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．1．关注零向量(1)由于零向量与任意向量平行，所以由a∥b，b∥c无法推出a∥c.(2)0a＝0，而0·a＝0.2．正确理解数量积的概念和运算性质(1)a·b＝a·c(a≠0