安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷含答案

2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，则（）A． B． C． D．2．已知，则（）A． B． C．1 D．23．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（）A． B．C． D．与相交4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（）A． B． C． D．5．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（）A． B．C． D．6．已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆，圆，则（）A．两圆的圆心距的最小值为1B．若圆与圆相切，则C．若圆与圆恰有两条公切线，则D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为210．已知等比数列的公比为，前项和为，则（）A．B．对任意成等比数列C．对任意，都存在，使得成等差数列D．若，则数列递增的充要条件是11．已知函数，则（）A．函数在上单调递减B．函数为奇函数C．当时，函数恰有两个零点D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在的展开式中，的系数为_________．13．抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则_________．14．已知实数，满足，则的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．（1）求三棱锥的体积；（2）求与平面所成角的正弦值．16．（15分）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．17．（15分）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．（1）证明：；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：．18．（17分）已知曲线在点处的切线为．（1）求直线的方程；（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；（3）设，求证：．19．（17分）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“-距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A2．B3．C4．C5．B6．D7．A8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AD10．ACD11．BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1513．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．解析：（1）如图所示，取的中点，连接．因为是正三角形，所以．又因为平面底面平面，所以平面，且．又因为是的中点，到平面的距离为，．所以三棱锥的体积为．（2）连接，因为，所以为等边三角形，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则，即，取，则，所以．设与平面所成角为，则．即与平面所成角的正弦值为．注：其他解法酌情赋分．16．解析：（1）因为，所以，再将点代入得，解得，故粗圆的方程为；（2）由题意可设，由可得，所以，又因为，所以直线的方程为，令，则，故，同理，从而，故．注：其他解法酌情赋分．17．解析：（1）,同理．所以（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为，则，所以又，所以．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．（3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布，所以．．故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级．注：其他解法酌情赋分．18．解析：（1）因为，所以，所以直线的方程为：（2）令，则，令，则，由，解得，由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当等号成立，所以除切点之外，曲线在直线的下方．（3）由，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，．因为，则，不妨令．因为曲线在点的切线方程为，设点在切线上，有，由（1）知时，，则，即，要证：，只要证：，只要证：，又，只要证：，令，则，易证在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上单调递减