2024年中考数学第一次模拟试卷（南通卷）（全解全析）

年中考第一次模拟考试（南通卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的倒数是（

）A． B． C．2024 D．【答案】B【解析】解：∵，∴的倒数是，故选：B．2．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、与不能合并，不符合题意；B、，不符合题意；C、，符合题意；D．，符合题意．故选：C．3．如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是故选：A．4．如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，故选：C．5．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（

）年龄/岁1213141516人数13422A．众数为14 B．极差为3 C．中位数为13 D．平均数为14【答案】A【解析】解：A、14岁的人数最多，故众数为14，选项正确；B、极差为：，选项错误；C、第6个和第7个数据均为14，故中位数为14，选项错误；D、平均数为，选项错误；故选A．6．如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：记交轴于点，如图所示：由知，,的面积是，,，，故选：B．7．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得：故选：D．8．如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：连接，∵是的切线，为切点，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∴．故选：A9．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，当P点位于E点时，，即，则，∵，∴，即，∵∴，∵点为的中点，∴，故选：C．10．如图，在中，，，．现在内叠放边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点，分别在，上，依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（）A．16个 B．13个 C．14个 D．15个【答案】A【解析】解：作于点．在中，，，，则由勾股定理，得．．则小正方形可以排4排．最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与的边交于、．∵，，则，解得：整数部分是7．则最下边一排是7个正方形．第二排正方形的上边的边所在的直线与的边交于、．则，解得，整数部分是5，则第二排是5个正方形；同理：第三排是：3个；第四排是：1个．则正方形的个数是：．故选：A．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．计算：的值为．【答案】/【解析】解：，故答案为：．12．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约906万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据906万用科学记数法表示为【答案】【解析】906万．故答案为：．13．分解因式：．【答案】【解析】解：．14．如图，，若，，则的大小为．【答案】/40度【解析】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．15．点在函数的图象上，则代数式的值等于．【答案】【解析】∵点在函数的图象上，∴，即，∴，故答案为：．16．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧相交于，两点．若，，则图中阴影部分的；面积为．（结果不取近似值）【答案】【解析】解：连接，四边形是菱形，，，、都是等边三角形，，，，故答案为：17．图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，则点的位置较原来的位置上升高度为．【答案】【解析】解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点旋转前如图3：∵，，，∴，∵,，∴，∵，∴在和中，，，故点到的距离为：，旋转后如图3：∵，∴，∵，∴，在中，，故，点的位置较原来的位置上升高度为:，故答案为：18．如图，在中，，，以点为直角顶点、为直角边向下作直角，且，连接，则的最大值是．

【答案】【解析】解：如图，作，使，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴当点C，点A，点E共线时，有最大值，∴的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（1）解方程：

（2）解不等式组：

【解析】解：（1）去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，检验，当时，，∴是原方程的解；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为.20．、、、四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，请用画树状图或列表的方法，求、两位选手抽中相邻跑道的概率．【解析】画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下：由图可知，共有12种等可能的结果，其中两位选手抽中相邻跑道的结果有，共6种，∴两位选手抽中相邻跑道的概率为．21．根据我市体育中考“3+1+1+1”模式，“跳绳”作为中考体育必考项目之一．我校为了了解今年九年级学生跳绳的水平，随机抽取部分九年级学生的测试成绩按、、四个等级进行统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图.请你根据所给信息，解答下列问题(1)求随机抽取的总人数；(2)求扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；(3)若我校九年级共有学生人，请求出取得等级的学生人数．【解析】（1）根据题意，得（人）．（2）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为，等级人数为（人），补全条形统计图如图：（3）（人）答：全校有达到A等级的学生有144人．22．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，且，，求四边形的面积．【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即，∵，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．（2）解：四边形是矩形，，，，在中，由勾股定理得：，，四边形为菱形．，设，则，在中，由勾股定理得，即，，，．23．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；(2)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，发现当日所获利润为8000元，每个房间刚好住满2人，且当天房间支出不少于500元，问这天宾馆入住的游客有多少人？(3)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）解：（且为整数）（2）设每个房间房价增加元，根据题意，得：，化简，得；解得：．∵，解得：，∴这天宾馆入住的游客有人．答：这天宾馆入住的游客有人．（3）设每天所获利润为元，根据题意可知，．∵二次项系数，∴当时，取得最大值，即．此时每间房间定价为（元）．答：当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元．24．如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)延长，交于点F，若，求的半径．【解析】（1）证明：∵为直径，点C在圆上，∴，∴，又，∵，∴，∴，∴，即，又点A在上∴是的切线；（2）连接，∵点D是的中点，∴，∴，∵为直径，点D在圆上，∴，而，∴，在中，，∴；（3）连接，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，，，而，∴．25．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

【解析】（1）解：由垂等四边形的定义得，∵，，，∴，∴；（2）解：作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形，如图，

以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点B、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，四边形即为所求的垂等四边形；（3）解：连接，由（2）可得等腰，

∴，作，∴，，∵四边形是垂等四边形，∴，∴，∴，∴，∴，∵的半径为，∴，∴，设，则，∵，∴，解得：或3，∴或3，∵，∴或，作，∵∴，∴，∴或，∴或．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，其中，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标；(3)另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物