2022-2023学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.集合a={%eM-5<2%—1<5}的子集个数为（）

A.4B.7C.8D.16

2.命题“Vx>5,logs%>1”的否定是.（）

A.Vx>5,log5x<1B.3x0>5,log5x0<1

C.Vx<5,log5x<1D.3x0<5,log5x0<1

3.下列各式中，与si吗的值相等的是（）

A.cos*B.sin亭C.sin?D.sin?

0333

4.“角。为第三象限角”是“sin8tane<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数fO）=（1）x+^cosx,则其图象可能是（）

1

2

6.已知a=tan2,b=log3c=-0.99,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鞋鱼的科学家发现鞋鱼的游速以单位:

6/s）与高成正比，其中X表示鞋鱼的耗氧量的单位数.当一条鞋鱼的耗氧量是2700个单

位时，它的游速为1.5zn/s.若一条鞋鱼的游速提高了lrn/s,则它的耗氧量的单位数是原来的

倍.（）

A.4B.8C.9D.27

8.已知函数/。)=m％+x-2的零点为右，则下列说法错误的是()

x2x

A.x06(1,2)B.xoe°=eC.(2—%0)°<1D.%；一"°<1

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列各式中，其中运算结果正确的是()

A.“71-4-=7r-4B.1093(92x33)=7

C.匈4+匈25=2D.log49=log23

10.已知函数=tan(x+［),则下列叙述中，正确的是()

4

A.函数/(%)的图象关于点6,0)对称B.函数f(x)在(-建)上单调递增

C.函数y=|/(x)|的最小正周期为与D.函数y=|f(x)|是偶函数

11.已知函数/'(X)=Asin{a)x+>0,a)>0,\(p\<$的部分

图象如图所示，下列说法正确的是()

A.函数/(%)的最小正周期为兀

B.函数/(%)的图象关于直线x=-号对称

C.函数/(%)图象向右平移弓个单位可得函数y=2s讥》的图象

D.若方程f(%)=THQHER)在［-9刍上有两个不等实数根%1，%

则COS(%1+%2)=2

12.已知函数y=/(%)是定义在R上的奇函数,/(I+%)=/(I-%),且当汽G［0,1］时,/(%)=

%2,则下列关于函数y=/(%)的判断中，其中正确的判断是()

A.函数y=/(%)的最小正周期为4

B.得=；

C.函数y=f(x)在［2,4］上单调递增

D.不等式/Q)>0的解集为［4k,4k+2］(kGZ)

三、填空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.已知万=3,则+2-2X=—.

14.已知幕函数y=(m2-3)%7n在(0,+8)上单调递增，则实数瓶=___；函数y=

幻吗(—/+E)的单调递增区间为_.

15.已知a,b,c均为正实数，且a+b=l,则竽+：+名的最小值为一.

babc+1

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题10.0分)

2

已知集合4={x|x-5x<a,aE.R},集合B={x|log2x<1}.

(1)当a=-4时，求ACB；

(2)若2UB=4,求实数a的取值范围.

17.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=x2+bx+c(b,c6R)是定义在R上的偶函数，且满足f[/(0)]=

(1)求函数/(X)的解析式；

ny

(2)试判断函数9。)=诉乙JI人而J-D9>0)在[1,+8)上的单调性并证明.

18.(本小题12.0分)

□

在△ABC中，tanA=-

4

(1)求sin(B+C),cos(B+C)的值；

19.(本小题12.0分)

已知函数fO)=W二，g(x)=咨二，其中e是自然对数的底数.

(1)求证：g(2x)=[/(x)]2+[5(x)]2：

7

(2)求函数h(x)=g(2x)-]9(x)的零点.

20.(本小题12.0分)

2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，

将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯/某体育用品商店借此良机展开促销活动,

据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y(单位：万元)随销售收入式单位：

万元)的变化情况如下表所示：

光(万元)35

-

r59

y(万元)2*111

•^44

(1)根据表中数据，分别用模型y=loga(x+m)+b(a＞。且a*1)与y=c^Jx+n+d建立y

关于x的函数解析式；

(2)已知当x=9时，y=3.3,你认为(1)中哪个函数模型更合理？请说明理由.(参考数据：

AT57«7.55)

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=sin2x-2Hco/x+a(a6R),且满足.从①函数/'(%)的图象关于点

场,0)对称；②函数/(%)的最大值为2；③函数/(%)的图象经过点这三个条件中任选

一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：

(1)求实数a的值并求函数/'(X)的单调递增区间；

(2)已知函数g(%)=lg2x-mlgx一m2(mGR),若对任意的%1E[一，：],总存在不e[1,100],

使得/(%i)4g(%2)，求实数小的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为4={xeW|-5<2x-1<5}={xGW|-2<x<3]={0,1,2},

所以该集合的子集的个数为23=8.

故选：C.

解出集合4再计算集合的子集个数.

本题主要考查子集个数的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，

命题“Vx>5,log5x>1"的否定是>5,log5x0<1.

故选：B.

根据命题的否定的定义判断.

本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因sin孚=—sinJcos^=sin§=?，sin萼=—sin'=一?，sin停=

33L62323323

.71

Sln3=

故选：c.

结合诱导公式求出各三角函数值后可得.

本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：角。为第三象限角，则有sin。<0,tan9>0,由s讥例cm。<0不一定有sin。<0,

tand>0,因此“角。为第三象限角”是“sinOtan。<0”的充分不必要条件.

故选：A.

掌握三角函数值的正负与角所在象限的关系是解决本题的关键.

本题属于三角函数与充要条件的交汇题目，判断谁是谁的充要条件关键要看前提和结论的推出关

系.

5.【答案】A

【解析】解：由条件知/⑺=。）兀+/os兀=（y—£<0,4符合，其它均不符合.

故选：A.

计算函数值/（兀）后可得.

本题主要考查函数图象的判断，考查排除法的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为a=tan2<tan^=-1=h<c=-0.992=-0.9801,

4

所以a<b<.c.

故选：A.

结合正切函数性质、指数函数性质，借助中间值-1比较可得.

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质

的合理运用.

7.【答案】C

【解析】解：由题意设u=klog3当久=2700时,0=1.5,即1.5=klog3=3k,解得k=

17X

••・”近必痂，

设原来的耗氧量的单位数为X1，提速后的耗氧量的单位数为%2，

贝图。。3斋-50g3盖=夕。。3光=1，即第=32=9.

故选：C.

根据初始值求得比例系数鼠然后设原来的耗氧量的单位数为与，提速后的耗氧量的单位数为%2,

即可得出答案.

本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查待定系数法，考查运算能力，属于基

础题.

8.【答案】D

【解析】解：由条件知函数/(%)在其定义域内单调递增，

所以其最多有一个零点，

又"1)=-1<0,/(2)=ln2>0,

于是%oe(1,2),A正确；

xx

所以+x0-2=0,整理得"X。+lne°=ln(xoe°)=2,

所以殉/。=e2,8正确;

因X。£(1,2)，

所以2—%。e(0,1),

于是(2—X。产<L溢』>1，C正确，D错误，

故选：D.

由零点存在定理及单调性确定零点与G(1,2),再利用零点的性质结合对数函数与指数函数性质判

断各选项.

本题考查零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：4选项：y(兀_4)4=I兀_4|=4—兀,A错误；

237

B选项：log3(9X3)=log33=7,8正确；

C选项：lg4+lg25=IglOO=IglO2=2,C正确；

2

。选项：log49=log223=log23,力正确.

故选：BCD.

利用开偶次方的性质以及对数的运算性质逐项分析即可.

本题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：/(-T)=tanO=0,A正确；

Xe(一时，%+江(0,》因此此时/(%)递增，8正确；lf(一力1=0,但|/咛)|不存在，C,D均

不正确.

故选：AB.

由正切函数性质判断48,利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD.

本题主要考查正切函数的图象，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：由图可知a=2,J=3—白=%所以7=兀，故A正确；

4J1Z4

因为T=—=7T,所以3=2,

(JL)

则/(%)=2s讥(2%+9),将点(工,2)代入得：2s讥(3+3)=2,

所以3+9=3+2/OT,fcGZ,又lw|V?，所以W=T，所以f(x)=2s讥(2%+勺,

。乙乙DD

对于B,因为f(一招)=2s讥(—期+货=一2,为最小值,

所以函数/Q)的图象关于直线久=-瑞对称，故2正确；

对于C,将函数/(%)图象向右平移着个单位，

可得函数y=2sin［2(x一$+§=2sin2x,故C错误；

对于。，由条件结合图象可知华=%于是/+叼=?所以cos(Xi+久2)=cos,=?，故D

zizo、,62

错误.

故选：AB.

根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项.

本题主要考查由y=2s讥(3%+0)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算

求解能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由f(l+x)=f(l-x)得/'(2+x)=/(-久)，

于是f(4+无)=/(-2-%)=-/(2+%)=-/(-%)=/(%),

所以函数y=f(x)的最小正周期为4,A正确；

哈=6)=6)=(|)2J8正确;

/(%)在［0,1］上递增，由/Q)是奇函数得/Q)在［-1,0］上递增，即在［-1,1］上递增，

又了(久)图象关于直线x=1对称(•."(1+久)=/(I-%)),因此f(x)在［1,3］上递减，

而下(尤)是周期为4的周期函数，因此f(x)在［3,5］上递增，C错误；

由选项C的讨论，可得到不等式7•0)20的解集为[4k,4k+2](kez),。正确.

故选：ABD.

由奇函数的性质与对称性得出函数的周期性，结合周期性、奇偶性、对称性及函数在[0,1]上的解

析式可得函数的性质，从而判断各选项.

本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及周期性的应用

13.【答案】1

【解析】解：由已知得22，+23=(2工)2+(2丁2=9+5=号.

故答案为：

根据指数幕的运算法则计算即可.

本题主要考查指数累的运算法则，属于基础题.

14.【答案】2[1,2)

【解析】解：因为y=(m2-3)%血是塞函数，

所以血2-3=1,解得?71=±2,

又y-(m2-3)%力在(0,+8)上单调递增，

所以771>0,则？71=2；

于是y=logi(—x2+mx)=logi(—x2+2%),

由—产+2久>0,解得0<x<2,则y=/。吗(―/+2久)的定义域为(0,2),

又〃=一%2+2%=-1)2,其开口向下，对称轴为1=1,

所以〃=一%2+2%在(0,1](或(0,1))上单调递增，在[1,2)(或(1,2))上单调递减，

又y=log串在其定义域内单调递减，

2

所以y=logi(-x2+曜)的单调递增区间为口2).

故答案为：2；[1,2).

先利用幕函数的定义与单调性求得加的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得y=

1。臾(-/+加功的单调递增区间.

2

本题主要考查了幕函数的定义和性质，考查了复合函数的单调性，属于中档题.

15.【答案】18

2

【解析】解：由条件知匹+£+2±=c[妈+妇也]+*

babc+1Lbab1c+1

Aa,b,3、，24、I4a~b,，24,,2424,

=0(万+£+2)+巾"(2]

T.-+2)+—=6C+—=6CC+1)+--6

“J6(c+l)-^-6=18,

当且仅当华=L6(c+l)=名,

ba'7c+1

又因为a+b=l,即。=<，b=I，c=l时，竽+：+冬的最小值为18.

33babc+1

故答案为：18.

先化简提公因式再应用a+b=1,a,6应用基本不等式，6(c+l)+言-6再应用基本不等式,

确定取等条件成立取得最小值即可.

本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题.

16.【答案】解：(1)当a=-4时，x2-5%+4<0,解得1WxW4,

所以4=[1,4],B={x|log2x<1}=(0,2],

所以4nB=[1,2].

(2)由4UB=4得8ex,

又B=(0,2],所以a>x2-5%对Vxe(0,2)恒成立，

当xe(0,2]时,%2-5%=(%-|)2-e[—6,0).

所以a20,于是实数a的取值范围为[0,+8).

【解析】(1)解不等式确定集合4B,然后由交集定义计算；

(2)由并集的结论得B£A,转化为a>x2-5久对Vx£(0,2]恒成立，求出,一5x在xe(0,2]时的

取值范围后可得参数范围.

本题主要考查集合的运算，以及转化能力，属于基础题.

17.【答案】解：(1)因为函数/(%)=x2+bx+c(hcGR)是定义在R上的偶函数,

所以/(-K)=/(%)恒成立,

即％2+b%+c=%2_b%+c恒成立，即b=0,

故/(%)=%2+c,/(0)=c,/(c)=c2+c,

满足f[/(O)]=—2=c?+c,

q

故c=-p/(%)=%2

(2)由(1)知0。)=引,

当a>0时,g(%)在［1,+8)上单调递减,证明如下:

设14V%29

ax2_a(x+%1^2-x—xxj)_a(x-xi)(xx-l)

则9。1)一9(X2)=走$122212

2+2%22(1+咳)(1+1)2(l+x1)(l+x1)

因为1<X1<X2,

所以久2一久1>0，XTX2-1>0,(1+%1)(+%2)>0>

又a>0,

。。2一/)062-1)>0,

所以2(1+好)(1+七)

故g(%i)>9(x2),

故a>0时，函数g(x)在［1,+8)上单调递减.

【解析】(1)由偶函数的定义，利用恒等式知识求解；

(2)根据单调性的定义证明.

本题主要考查了函数奇偶性的应用，还考查了函数的单调性的判断，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由汝加4=—1<0知角4为钝角,

所以sinA>0,cosA<0,

因加.=鬻=一本sin2X+cos2X=l,解得sM4=|,cosA=

34

于是sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA=cos(8+C)=cos(7r—/)=—cosA=

1

⑵由tad黑1rJ,整理得3ta得.8他*3=0,解得tan?=3或tan?=

*

因所以tan?=3.

AA

sin^+cos^-tan^+l3+1

所以

~s~mA,一cosA.tan^—13^1

【解析】(1)由同角间的三角函数关系求得sirM,cosA,再由诱导公式可得结论；

(2)由正切的二倍角公式求得tan^,然后由弦化切求值.

本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题.

19.【答案】(1)证明：由条件知g(2x)=e2T2",+[g(x)]2=(2£—)2+(^―y—)2=

e2x-2+e_2xe2x+2+e-2xe2x+e~2x

1=，

4-----4--------2

所以g(2久)=[/(%)]2+[g(x)]2.

(2)解：因g(2x)=之联巴==3y2=2[5(%)]2_1；

7

2

令九(%)=0,则2[g(%)]2-1--g[x}=0BP4[.g(x)]-7g(%)-2=0,

即[g(%)-2]-[4,g(%)+1]=0,解得g(%)=2或g(%)=-；，

又g(x)=—>Vex-e~x=1,当且仅当e*=6一。即久=0时取等号，

所以g(x)=2,于是空舁=2

整理得e2x-4ex+1=0,于是靖=2+，百或1=2-

解得久=ln(2+或％=ln(2—3),

所以函数旗久)=g(2x)-gg(x)的零点为ln(2+ln(2-O

【解析】⑴分别计算g(2%)和+[g(切2可证;

(2)用换元法解方程似乃=0可得.

本题主要考查了指数运算性质，还考查了函数的性质在函数零点求解中的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)若选用y=loga(x+m)+h,

po5a(2+m)+h=*

则依题意可得|/oga(3+m)+b=：,解得Q=2,m=-1,/?=

44

[loga(5+m)+b=l

1

则y=log(.x-1)+-(%>2).

24

若选用y=cyJx+n+d.

eV2+n+d=|

c73+ri+d='解得c=1^，n=—噂，d=—p则y=xIx———

484，78

{eV5+n+d=i

kx>2).

(2)对于函数y=Zog2(x-1)+,，当％=9时，y=苧=3.25(万元);

对于函数y=义J)—,一看当久=9时，y=、5a3,525(万兀);

因为13.525—3,3|>|3.25-3.3|,所以选用模型y=/og?。T)+如22)更合理.

【解析】⑴根据已知数据列方程组求解即得；

(2)x=9代入两个模型计算后比较可得.

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由条件知/(%)=s讥2%—，^(2cos2%—1)—+a=si几2%—V~~元os2%—

7-3+a=2sin(2x—/)+a—y