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文档简介

四种方法计算根号114的近似值主要内容：本文通过线性穿插法、微分法、无穷小极限法和泰勒展开式法，介绍根式eq\r(114)近似值计算的主要步骤。※.线性穿插法计算近似值设eq\r(114)=x，并找与之最近的两个立方数，有：eq\r(100)=10,eq\r(114)=x,eq\r(121)=11,用线性穿插得：eq\f(114-100,121-114)=eq\f(x-10,11-x)14(11-x)=7(x-10)21x=224x=eq\f(224,21)≈10.6666.※.微分法计算近似值∵dy=f'(x)dx，f(x)=eq\r(114)，∴dy=eq\f(dx,\r(x)),对于本题有：eq\r(114)-eq\r(121)=eq\f(114-121,2\r(121)),eq\r(114)=eq\r(121)-eq\f(121-114,2*11),eq\r(114)=11-eq\f(7,22)≈10.6818.※.极限法计算近似值原理：当x趋近无穷小时，有(1±x)a≈1±ax，其中a为不为1的常数，对于本题:eq\r(114)=eq\r(121-7),eq\r(114)=eq\r(121(1-\f(7,121))),=11*eq\r(1-\f(7,121))=11*(1-eq\f(7,2*121)),=11-eq\f(7,22)≈10.6818.※.泰勒展开式计算近似值∵f(x)=eq\f(f(x0),0!)+f'(x0)eq\f(x-x0,1!)+f"(x0)eq\f((x-x0)2,2!)+O(x3)∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)eq\f((x-x0)2,2)+O(x3),其中O(x3)表示x的三次无穷小。本题涉及幂函数y=f(x)=eq\r(x),有：f'(x)=eq\f(1,2\r(x)),f"(x)=-eq\f(1,4)xeq\s\up13(eq-\f(3,2)),即：f(x)≈f(x0)+eq\f(1,2\r(x0))*(x-x0)-eq\f(1,4)x0eq\s\up13(eq-\f(3,2))*(x-x0)2²。对于本题，x=114，x0=121,x-x0=-7,代入得：eq\r(114)≈f(x0)+eq\f(1,2)*x0eq\s\up13(eq-\f(1,2))*(x-x0)-eq\f(1,4)x0eq\s\up13(eq-\f(3,2))*(x-x0)2²²≈eq\r(121)+eq\f(1,2)*121eq\s\up13(eq-\f(1,2))*-7-eq\f(1,4)*121eq\s\up13(eq-\f(3,2))*72²≈eq\r(121)+eq\f(1,4)*121eq\s\up13(eq

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