用一元一次方程解实际问题

PAGE10/10用一元一次方程解实际问题一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解．例1某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的，第三季度销量是第二季度的2倍，问第三季度销售DVD多少台？分析：列总量=各分量之和解：设第二季度销售量为x，则x+x+2x=2800x=8402x=1680答：第三季度销售量为1680台．二、人数调配问题本类问题依调动后列等量关系例2甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？解：应从甲队调出人进乙队，则调动后的等量关系是：乙队的人数=甲队的人数×2+5，所以60+x=2（80-x）+5解之得x=35答：从甲队调出的人是35人．三、商品的销售问题商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本）商品利润率=×100%折扣率：打n折，指按售价为售出，n折可以是小数（如8.5折）例3某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15%，商品的标价是多少元？分析：本题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程解：设此商品的标价是x元，则0.9x-1530=1530×15%解得x=1955答：此商品的标价是1955元．四、数字型问题解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：①连续数设中间；②多位自然数设一位；③数字换位设部分；④小数点移动直接设；⑤数字成比例设比值；⑥特殊关系特殊设例4一个四位整数，其个位数字为2，若把末位数字移到首位，所得新数比原数小108，求这个四位数．解：设这个四位数的前三位数为x，由此四位数为10x+2，末位数移到首位后所得新数为1000×2+x，则（10x+2）-（1000×2+x）=108解得x=234所以10x+2=2342五、百分比问题例5某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？分析：本题等量关系是：一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数解：设这所学校现在的初中在校生人数为x人，则现在的高中在校生为（4200-x）人，由题意可得8%·x+（4200-x）×11%=4200×10%，解得x=1400当x=1400时，4200-x=2800答：这所学校现在的初中在校生人数为1400人，现在的高中在校生人数为2800人．六、工程问题工程问题经常把总工作量看成1，存在等量关系：工作效率×工作时间=工作量，工作量的和=1例6某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一部分人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？分析：把工作量看作1，每一个人的工作效率为，由x人先做5小时，完成的工作量为×5×x=x，增加2人后，4小时完成的工作量为×（x+2）×4=，由5小时的工作量+4小时的工作量=工作总量，可列方程解：设安排x人先工作5小时，根据工作总量等于各分量之和，得+=1解得x=8答：应先安排8人植树例7某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务，问这批加工任务共有多少件？分析：假设这批加工任务一共有x件，那么计划天完成，而实际用了天完成，所以由等量关系：计划用的时间-实际用的时间=4，列方程解：设这批加工任务共有x件，依题意得—=4解得x=3360答：这批加工任务共有3360件七、行程问题行程问题，它涉及路程、速度和时间三个基本量，在匀速条件下，它们的基本关系是：路程=速度×时间，行程问题又分为以下四种情况相遇问题基本关系式：快者路程+慢者路程=两地距离例8甲、乙两列火车从A、B两地相向而行，乙车比甲车早发车1h，甲车比乙车速度每小时快30km，甲车发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的速度行驶；而乙车加快了速度，以它原来的倍飞速行驶，结果2h后，两车距离又等于A、B两地之间的距离，求两车相遇前速度及A、B两地之间的距离。AAB2（x+30）3x甲乙AB×x甲乙×（x+30）图1解析：设相遇前乙车的速度为xkm/h，则相遇前、后两车行驶的路程可由图1表示出来依题意得3x+2（x+30）=[（x+30）+x]×，解得x=60则x+30=90（km/h），3x+2（x+30）=3×60+2×90=360（km）答：相遇前甲车的速度为90km/h，乙车的速度为60km/h.A、B两地之间的距离为360km.追及问题同地追及：基本关系式：快者路程=慢者路程例9一队学生在校外进行军事野营训练，他们以5km/h的速度行进，走了18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按原路追去，问通讯员用多久可以追上学生队伍？解：设通讯员用xh可以追上学生队伍，依题意，得5（x+）=14x解这个方程，得x=答：通讯员用h可以追上学生队伍异地追及：基本关系式：快者路程-慢者路程=两地距离例10A、B两站间的距离为448km，一列慢车从A站出发，每小时行驶60km，一列快车从B站出发，每小时行驶80km，问经过几小时快车能追上慢车？分析：本题虽未明确两车的行驶方向，但既然快车能追上慢车，则两车只能沿从A到B的方向同向而行解：设经过xh快车能追上慢车，根据题意得80x-60x=448，解得x=22.4答：经过22.4小时快车能追上慢车环形跑道问题一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第n次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于n圈长；同向而行，路程差等于n圈长例11小王每天去体育场每次都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间叔叔跑3圈，一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒两人第一次相遇，求两人的速度；第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间首次与他相遇，你能先帮小王预测一下吗？解：设叔叔的速度为3Vm/s，则小王的速度为2Vm/s根据题意，得（3V+2V）×32=400，解得V=2.5∴3V=3×2.5=7.5m/s2V=2×2.5=5m/s即叔叔的速度为7.5m/s，小王的速度为5m/s第二天同地同向跑时，设xs首次相遇，依题意，得7.5x-5x=400，解得x=160，即160s后首次相遇点评：本题隐含一个条件是小王与叔叔的速度比为2：3航行问题对于航行问题，需注意以下几点：航行问题主要包括轮船航行和飞机航行顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度；逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度；顺水（风）速度-逆水（风）速度=2倍水（风）速度。基本关系式：往路程=返路程例12有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即返回C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5km，水流速度为每小时2.5km，A、C两地间的距离为10km，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4h，问：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地多远？分析：本题C地可能在A、B两地之间，也可能不在A、B两地之间，所以应分两种情况分析解：设乙船由B地航行到C地用了xh，那么甲、乙两船由A地到B地都用了（4-x）h（1）若C地在A、B两地之间，则有（4-x）（7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10，解得x=2，所以甲船距离B地10×2=20（km）（2）若C地不在A、B两地之间，则有x（7.5-2.5）-（4-x）（7.5+2.5）=10，解得x=，所以甲船距离B地10×=（km）答：甲船距离B地km八、方案决策问题例13商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种型号每台1500元，乙种型号每台2100元，丙种型号每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种型号电视机可获利150元，销售一台乙种型号电视机可获利200元，销售一台丙种型号电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？分析：（1）本题没有明确进哪两种型号的电视机，而厂家提供了三种型号的电视机，故有三种不同的购货方案，即甲和乙，甲和丙，乙和丙，应分别求之；（2）把（1）中每种方案的获利分别求出，比较后即可得到获利最多的方案．解：（1）①设购进甲种型号电视x台，购进乙种型号电视机（50-x）台，根据题意，得1500x+2100（50-x）=90000解这个方程，得x=25，则50-x=25故第一种进货方案是购进甲、乙两种型号的电视机各25台．②设购进甲种型号电视机y台，则购进丙种型号电视机（50-y）台，根据题意得1500y+2500（50-y）=90000解这个方程，得y=35，则50-y=15故第二种进货方案是购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台．③设购进乙种型号电视机z台，则购进丙种型号电视机（50-z）台，根据题意，得2100z+2500（50-z）=90000解这个方程，得z=87.5，（不舍题意，舍去）故此种方案不可行（2）上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8750（元），第二种方案可获利：150×35+250×15=9000（元）因为8750＜9000，故应选择第二种进货方案．点评：当我们面临数学问题而无法确定其情形时，就必须进行分类讨论．分类讨论思想的实质是把问题“分而治之，各个击破”．九、图表信息问题例14在“五·一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话：爸爸：成人票每张35元，学生票5折优惠，我们共有12人，共需350元.小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以更省钱．问题：（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？（2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．票价票价成人：35元/张学生：按成人票5折优惠团体票（16人以上含16人）：按成人票6折优惠分析：（1）此题的相等关系是：买成人票的钱+买学生票的钱=350（元），其中学生票按成人票的5折优惠，即要乘以0.5．（2）虽然旅游的总共是12人，不够16人团体票的优惠，但我们可以用虚拟方式，凑成16人，用团体票的方式购买，然后再比较两种方法的优劣性，作出决策．解：（1）设他们一共去了x个成人，则去的学生有（12-x）个，由题意得35x+0.5×35×（12-x）=350，解得x=8，12-x=4．答：他们一共去了8个成人，4个学生．（2）另一种买票方式：可以多买4张票，即买16张票，享受团体票的优惠，需要费用为16×35×0.6=336（元），350-336=14（元），由此可见，虽然多买张票，便比第一种方式省14元钱，故选择买团体票更省钱评注：图表信息类的应用题，立意新颖，来源广泛，形式灵活，将数学真正融入到日常生活当中，使同学们感到数学就在我们身边．此类题主要考查同学们分析图表，并从中获取信息，应用方程的知识解决问题的能力．解这类题的关键要仔细观察，挖掘出图表中所提供的信息，通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学模型联系起来，正确地列出方程．十、利息问题：对这一问题主要是弄清什么是本金，利息，本息和，利率，税率及它们之间的关系．关系式：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，利息税=利息×税率例15一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户的一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？分析：利用等量关系：利息-利息税=450元列方程解：设该储户存入本金x元根据题意，得2.25%x-2.25%×20%x=450解得x=25000答：该储户存入25000元本金十一、配套问题：设a个甲件与b个乙件配套，那么生产m个甲件，n个乙件，配套后的等量关系为：ah=bm例16现有白铁皮28张，每张白铁皮可做甲件5个或乙件6个，若3个甲件与2个乙件配套，问如何下料正好使机件配套.解析：设用x张白铁皮做甲件，则用（28-x）张做乙件，根据题意得5x×2=6（28-x）×3解得x=18.28-x=10答：用18张白铁皮做甲件，用10张白铁皮做乙件正好使机件配套。点评：配套问题应注意比例关系，用比例关系列出相等关系．列方程解应用题设元“三招”搞定如何才能正确地设出未知数呢？一般来说有下面“三招”设元的技巧：第一招：直接设元法：例1一条环形跑道长400米.甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？分析本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系：甲的路程－乙的路程＝环形跑道一圈的周长；甲用的时间=乙用的时间.说明直接设元就是把应