B函数与导数（理科）（高考真题+模拟新题）

B函数与导数

Bl函数及其表示

14.Bl［2012•天津卷］已知函数歹=今三的图象与函数卜=丘-2的图象恰有两个交点，

则实数k的取值范围是.

14.(0,l)U(l,4)［解析］本题考查函数的表示及图象应用，考查应用意识，偏难.

［r2-11f-(X+1),一1WxV1,ly2-II

y=一~14在同一坐标系内画出y=Ax-2与歹=匹二^的图

工一1卜+1,XV-1或X＞1,工一1

象如图,

结合图象当直线、=丘-2斜率从0增到1时，与^=亭¥在x轴下方的图象有两公共

点；当斜率从1增到4时,与、=守的图象在x轴上下方各有一个公共点.

5.81［2012・江苏卷］函数＜x)=Nl—2logd的定义域为

5.(0,^6］［解析］本题考查函数定义域的求解.解题突破口为寻找使函数解析式有

X＞0,L

意义的限制条件.由，、八解得

1-210g

2.Bl［2012•安徽卷］下列函数中，不溯比次〃)=贺x)的是()

A./(x)=|x|B./(x)=x-|x|

C.义x)=x+lD.Xx)=1x

2.C［解析］本题考查函数的新定义，复合函数的性质.

(解法一)因为外)=h与兀0=烟均满足{2尤)=於)所以A,B,D满足条件；对于C

项，若y(x)=x+l,则y(2x)=2x+1*2/)=2x+2.

(解法二)对于A项，7(2x)=2恸，2/)=2|x|,可得7(2x)=2fix)\对于B项，7(2x)=2x-2|x|,

2/(x)=2x-2|x|,可得X2x)=2/(x);对于C项，/2x)=2x+1,2/(x)=2x+2,可得大2%)去次0；

对于D项，＜2%)=-2x,"x)=-2x,可得/2x)=〃(x),故选C项.

2.Bl［2012•江西卷］下列函数中，与函数y=」-定义域相同的函数为()

希

1Inx

A.y~~~B.y~~

/sinxx

2.D［解析］考查函数的定义域、解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所满

足的条件，再通过解不等式达到目的.函数了=一匚的定义域为任卜20}.y的定义域为

［blTLX

小

{xk#E},y=个的定义域为{冲＞0},y=xe'的定义域为R,y的定义域为{x|x#0},

故选D.

［x2+1,xWl,

3.Bl［2012•江西卷］若函数")=,,则/(/U0))=()

［Igx,X>1f

A.IglOlB.2C.1D.0

3.B［解析］考查分段函数的定义、对数的运算、分类讨论思想；解题的突破口是根

据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题.，/(10)=lgl0=lWl,

-W(10))=/(1)=12+1=2,故选B.

B2反函数

B3函数的单调性与最值

7.B3［2012•上海卷］已知函数<x)=eL%a为常数).若/(x)在区间［1,+8)上是增函数,

则a的取值范围是.

7.(-8,1］［解析］考查复合函数的单调性，实为求参数。的取值范围.

令f=|x-a|,又e>l,函数/)在［1,+8)上是增函数，只需函数r=|x-a］在［1,+°0)

上是增函数，所以参数a的取值范围是(-8,1］.

11.B3、B4>B9[2012•辽宁卷]设函数<x)(xWR)满足/(一幻=兀),/)=/(2—幻，且当

x6[O,l]0'h/(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(7tr)|,则函数/7(x)=g(x)一/)在[―3，|上.的零点个

数为()-

A.5B.6C.7D.8

11.B［解析］本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破

口为根据函数的性质得到函数兀r)的解析式，结合函数图象求解.

A-x)=Ax),所以函数段)为偶函数,所以./)=/(2-》)="-2),所以函数危)为周期

为2的周期函数，且负0)=0,火1)=1,而g(x)=|xcos(兀为偶函数，且g(0)=g(，=\-，

=煦=0,在同一坐标系下作出两函数在［弓，厅上的图像，发现在［4，耳内图像共有6

个公共点，则函数〃(x)=g(x)-/(X)在［-，上的零点个数为6.

I

4

5

3

5

2

_

5

_|

3.A2、B3［2012•山东卷］设介0且a#l,则“函数犬x)=a‘在R上是减函数”是“函

数g(x)=(2—a.?在R上是增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.A［解析］本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题.

当y(x)=4，为R上的减函数时，0<a〈l,2-q>0,此时g(x)=(2-0?在R上为增函数成

立；当g(x)=(2-a)?为增函数时，2-〃>0即a<2,但1J<2时，="为R上的减函数

不成立，故选A.

8.B3、B10［2012•北京卷］某棵果树前"年的总产量S”与"之间的关系如图1—6所示.从

目前记录的结果看，前〃，年的年平均产量最高，〃，值为()

oli3456789io'11n

图1一6

A.5B.7C.9D.11

8.C［解析］本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的

快慢.

法一：因为随着n的增大，S,在增大，要使*取得最大值，只要让随着n的增大Sm

1

~Sn的值超过汽包(平均变化)的加入即可，的值不超过3户(平均变化)的舍

去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变

量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.

法二：假设要是当取的最大值，所以只要亲苴哈即可，也就是邑二为汨言，即可

以看作点2,“(〃"S”)与。(0,0)连线的斜率大于点。,”7(加+i,s“T)与。(0,0)连线的斜率，所

以观察可知到第09(9.$9)与。(0,0)连线的斜率开始大于点2H)(10,So)与。(0,0)连线的斜

率.答案为C.

14.A2、A3、B3、E3［2012•北京卷］已知/(x)=w(x-2/n)(x+w+3),g(x)=2'—2,若

同时满足条件：

@Vx£R,-)<0或g(x)〈O；

②mxc(—8,—4),y(x)g(x)<o.

则m的取值范围是.

14.(-4,-2)［解析］本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指

数函数等基础知识和基本技能.

满足条件①时，由g(x)=2*-2<0,可得要使X/x£R,./(x)<0或g(x)〈O,必须使

时，J(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立，

$=0时,/(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件，所以二次函数«v)必须开口向下，

也就是/«<0,要满足条件，必须使方程危)=0的两根2办-机-3都小于1,即

［-m-3<1>

可得用6(-4,0).

满足条件©时，因为x£(-8,-4)时，g(x)〈0,所以要使AC(-8,-4)时,y(x)g(x)vO,

只要三即£(-8,-4)时，使火刖)>0即可，只要使-4比2〃?，-〃7-3中较小的一个大即可，

当机£(-1,0)时，2而>一加一3,只要一4>一加-3,解得加>1与加£(一1,0)的交集为空集；

当加=-1时，两根为-2;-2>-4,不符合；当〃?6(-4,-1)时，2机v-m-3,所

以只要-4>2加,

所以加£(-4,-2).

综上可知相£(-4,-2).

20.B3、D4、M4［2012•北京卷］设力是由〃个实数组成的加行〃列的数表，满足:

每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零，记S(M功为所有这样的数表构成的集合.

对于力£S(m,在记4A)为A的第i行各数之和(1WiWm),以力)为A的第j列各数之

和(1qw〃)；

记码)为，M)|,,2⑷I，…，|%")|，匕")1，匕⑷I，…，■⑷I中的最小值.

(1)对如下数表a求斤①)的值；

11-0.8

0.1—0.3-1

(2)设数表”GS(2,3)形如

]1c

ab

求人(4)的最大值；

(3)给定正整数f,对于所有的ZeS(2Q+l),求*(/)的最大值.

20.解：(1)因为M4)=1.2,r2(A)=-1.2,q⑷=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8,

所以k(A)=0.7.

(2)不妨设.由题意得c=-\-a-b.

又因c》T,所以4+于是aWO.

rt(A)=2+c^l,r2(A)=-rt(A)^-1,

C1(A)=1+a,C2(A)=1+b,ci(A)=-(1+a)-(1+b)W-(1+a).

所以网/)=1+aWl.

当。=6=0且。=-1时，后(/)取得最大值1.

(3)对于给定的正整数/,任给数表N£S(2,2/+1)如下：

・・・

a2。2/+1

…

bih2瓯+1

任意改变力的行次序或列次序，或把4中的每个数换成它的相反数，所得数表/£S(2,2,

+1),并且%(4)=%(/).

因此，不妨设尸i“)20,且以4)20(/=1,2，…，，+1).

由a4)的定义知，网4)(心⑷，1,2,…，1+1).

又因为c}(A)+C2(A)+…+。2八")=0，

所以。+2)左⑷W片⑷+C\(A)+C2(A)+・・•+♦+](/)

/*12t*1

=rx(A)-C”2(4)-----------C2“i(=)=工的-»>,

八1八尸2

wa+i)-fx(-i)=2f+i.

2t+1

所以

对数表4：

第1列第2列…第f+1列第f+2列…第2f+1列

,t-\t—\

11・・・11・・・—1-H

B+2)改+2)

/—1

Z-1L1・・・

7+27+2•••7+2-1-1

„.e2/+1

则Ao£S(2Q+1),且k(A0)=775.

2f+1

综上，对于所有的ZES(22+1),左(4)的最大值为7”.

2.B3、B4［2012•陕西卷］下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A.y=x+1B.y=—xi

C.D.y^x\x\

2.D［解析］本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、

奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升;

若函数为奇函数，其图像关于原点对称.经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是

奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的

图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D,我们也可利用x>0、

x=0、x<0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求.

12.B3、D2［2012,四川卷］设函数危)=2x-cosx,他”}是公差为方的等差数列/0）+/2）

H----"(%)=5兀，则［/(。3)］2一。以5=()

A.0B.育

C.〉c13，

05

兀兀兀7T

12.D［解析］设s=a,则。|=6(-不42=a-M，m的=&+］,

由於D+/2)+…+加5)=5兀，

得2X5a-cos(a-方)+cos(a+cosa+cos(a+^J+cos(a+/)=5兀,

即1Oa-(啦+耳2+/+1)cosa=5兀.

当OWaWn时，左边是a的增函数，且a=^满足等式；

当a>兀时，10a>10兀，而（啦+^2+啦+l）cosa<5cosaW5,等式不可能成立;

当a<0时，10a<0,而-（小+、2+g+［）cosa<5，等式也不可能成立.

故6=a

网3)f-132

函数的奇偶性与周期性

9.B4［2012•上海卷］已知界=危）+，是奇函数,且与）=1.若g（x）=/（x）+2,则以―1）

9.-1［解析］考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用y=/(x)+f为奇函

数.

已知函数y=Xx)+x2为奇函数，则/(-1)+(-1y=-［/(1)+1］=-2,解得./(-1)=-3,

所以g(-1)=4-1)+2=-3+2=-1.

8.B4［2012・山东卷］定义在R上的函数危)满足,/+6)=危).当一3Wx<一1时，,/)

=—(X+2)2；当一1<XV3时，/(X)=X,则/(1)+42)+{3)+…+<2012)=()

A.335B.338

C.1678D.2012

8.B［解析］本题考查函数的性质，考查运算求解能力，应用意识，偏难.

由於)=加+6)知函数的周期为6,火1)=1,

7(2)=2,/3)=义-3)=-1,

«4)=卜2)=-(-2+2)2=0,/5)=/-1)=-1,X6)=/0)=0,

•・决1)+用)+加)+…+<6)=1,

••贝1)+12)+”・+<2012)

=335网)+九2)+…+<6)]+3)+/(2)=335X1+3=338.

4.B4[2012•广东卷]下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.y=ln(x+2)B.y=1

C.y=g>D,y=x+^

4.A［解析］根据函数图象，B选项在(0,+8)上为减函数，C也是减函数，D在(0,

+8)上有减区间也有增区间，所以A是正确答案.

［1,x为有理数，

7.B4［2012•福建卷］设函数£>(》)=“上皿贴则下列结论错误的是()

0,x为无理数，

A.。(幻的值域为｛0,1｝B.0(x)是偶函数

C.£>(x)不是周期函数D.O(x)不是单调函数

7.C［解析］考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题利用定义、图象等

解决.若当x为无理数时，x+7也为无理数，则於+与=外)；故")是周期函数，故C错

误；

若X为有理数，则-X也为有理数，则｛-x)=/(x)；若X为无理数，则-X也为无理数,

则寅-x)=/(x)；故外)是偶函数，故B正确；结合函数的图象，A选项D(x)的值域为｛0,1｝,

正确；且D(x)不是单调函数也正确，所以C错误.

7.A2、B4［2012•重庆卷］已知/(*)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，贝U“外)为

［0,1］上的增函数”是"y(x)为［3,4］上的减函数”的()

A.既不充分也不必要的条件

B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件

D.充要条件

y

-10\34x

7.D［解析］由于/(x)是R的上的偶函数，当<x)在［0,1］上为增函数时，根据对称性知

外)在［-1,0］上为减函数.根据函数人x)的周期性将外)在［-1,0］上的图象向右平移2个周期

即可得到<x)在［3,4］上的图象，所以外)在［3,4］上为减函数；同理当兀v)在［3,4］上为减函数时,

根据函数的周期性将/(x)在［3,4］上的图象向左平移2个周期即可得到Hx)在［-1,0］上的图象,

此时负刈为减函数，又根据外)为偶函数知外)在［0,1］上为增函数(其平移与对称过程可用图

表示，如图1-1所示)，所以“义x)为［0,1］上的减函数”是“外)为［3,4］上的减函数”的充要

条件，选D.

2.B3、B4［2012•陕西卷］下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+lB.y——x3

C.y=-D.y=x\x\

2.D［解析］本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、

奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升;

若函数为奇函数，其图像关于原点对称.经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是

奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的

图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D,我们也可利用x>0、

x=0、x〈0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求.

11.B3、B4、B9［2012•辽宁卷］设函数/(x)(xeR)满足人一月=%)，/(x)=/(2—x),且当

13

xe［O,l］时，,危）=*3.又函数g（x）=|xcosg）|,则函数〃（x）=g（x）一危）在一/，2上的零点个

数为（）

A.5B.6C.7D.8

11.B［解析］本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破

口为根据函数的性质得到函数./（X）的解析式，结合函数图象求解.

/（-x）=y（x）,所以函数/（x）,偶函数，所以7（x）=/（2-x）=/（x-2）,所以函数小）为周期

为2的周期函数，且<0）=0,<1）=1,而g（x）=|xcos（7tr）|为偶函数，且g（0）=g（；）=4-，

=4|）=0,在同一坐标系下作出两函数在［弓，土上的图像，发现在［弓，［内图像共有6

个公共点，则函数h（x）=g（x）-段）在［|上的零点个数为6.

4

_

5

3

_

5

r

•

考

1OlTT

Tit2312

B5二次函数

12.B5[2012•山东卷]设函数/)=%g(x)=af+6x(a,bCR,qWO),若y=/(x)的图象

与夕=8（刈的图象有且仅有两个不同的公共点NS，乃），8（X2,及），则下列判断正确的是（）

A.当4<0时,为+了2<0，y\+y2>0

B.当K0时,1]+工2>0，川+y2Vo

C.当心0时,xi+x2<0,y+y2Vo

D.当a>0时,xi+x2>0»yi+y2>0

12.B［解析］本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难.

当的图象与丁=虱力图象有且仅有两个不同的公共点时，夕<0时，其图象为

作出点Z关于原点的对称点C,则C点坐标为（-X”-乃），由图象知-X|〈X2，-%>力，

故为+》2>0,%+%<0，同理当a>0时，有X］+X2<O,Ji+），2>0，故选B.

17.B5、B9［2012•浙江卷］设a』R,若x>0时均有［（。-l）x-1］（1一以一1）20,则“=

3

17.|［解析］本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数

形结合和转化化归的数学思想.令刃=（。T）xT,丁2=#-OY-1,则函数为=（4-1卜-1,

及=/-外-1都过定点尸（0,-1）.考查函数为=（。-1卜-1,令y=0,得MUp0）,同

时只有a-1>0即q>l时才有可能满足x£（0，+8）时，功力》。；

考查函数H=f-ax-1,显然只有过点“J匕，0）时才能满足x£（0，+8）时，

为》2》0，代入得：（黄7）-黄7-1=必可得（aT）2+a（。-1）-1=0,2/-3q=0解得〃

3.B13、B5［2012•湖北卷］已知二次函数里=段）的图象如图1―1所示，则它与x轴所

围图形的面积为（）

图1一1

-3-兀

C.2D.2

3.B［解析］(解法一)设危尸加+加+c(a#0).因为函数外)的图象过(-1,0),(1,0),

。-6+c=0,(a=-1,

(0,1),代入得＜a+6+c=0,解得卜=0，故於)=1-工2.

C=1,U=1,

故S=/1_1(1-x2"x=(x_,)\故选8.

(解法二)设f(x)=a(x-l)(x+D，将x=0,y=1代入f(x)=a(x-l)(x+1),得a=-l,

所以f(x)=-(X-l)(x+1)=1-X?,所以S=/-1(1-x2)dx=(x-5")1-1=3.故选B.

(解法三)观察函数图象可知，二次函数f(x)的顶点坐标为(0,1),故可设f(x)=ax?+l,又

函数图象过点(1,0),代入得a=-l,所以fi(x)=-x2+l.所以S=/-l(l-x2)以=(x-?

L=*故选8.

B6指数与指数函数

5.B6［2012•四川卷］函数y=，一］(。＞0,且aWl)的图象可能是()

5.D［解析］若。>1,则7U）为增函数，排除C、D,而0<^<1,图象与y轴的交点

应该在（0,1）内，A、B也不符合，故不合题意.

若0<。<1,则人幻为减函数，排除A、B,此时：>1,故图象与y轴的交点应该在负半

轴，排除C,选D.

B7对数与对数函数

9.B7［2012•全国卷］已知x=ln7t,y-iog52,z—e—^,贝(1()

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

9.D［解析］本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作

比较.

10.B7［2012•课标全国卷］已知函数|x)=［nQ.1］)二*.，则V=於)的图像大致为()

B

y\

图1一3

|一x

10.B［解析］设g(x)=ln(x+1)-x,则g'(工)=377-1.所以1〉。时，(x)〈0,

g(x)=ln(x+l)-x单调递减，所以g(x)〈g(0)=0，所以?(x)=］，单调递增且小于0；

当-IvxvO时，g'(x)>0,g(x)=ln(x+l)-x单调递增，所以g(x)<g(O)=0,所以J［x)=

单调递减且小于0•故选B.

B8基函数与函数的图像象

B9函数与方程

4.B9［2012•天津卷］函数兀0=2*+/—2在区间(0,1)内的零点个数是(

A.B.1C.2D.3

4.B［解析］本题考查函数的方程与零点，考查数据处理能力，容易题.

法一：,••加)=2*+。-2在(0,1)上单调递增,且式O)X<1)=-1X1=-1<0,。函数次x)

=2'+/-2在(0,1)上有一个零点.

法二：将2*+1-2=0化为2、=2-乩在同一坐标系内画出了=2、与y=2-d的图象，

如图所示，

结合图象可知函数负x)=2、+d-2在(0,1)上有一个零点.

9.B9、Cl［2012・湖北卷］函数<x)=xcos?在区间［0,4］上的零点个数为()

A.4B.5

C.6D.7

9.C［解析］令y(x)=0,得x=0或COST2=0,由x£［0，4］,得x2£［0，16］.因为

cose+far)=o(%£Z),故方程cosx?=0中f的解只能取=5,y,苧，y,^€［0,16］.

所以零点个数为6.故选C.

11.B3、B4>B9［2012•辽宁卷］设函数4x)QeR)满足大-x)=/(x)，,/)寸2—x),且当

r131

xd［0,l］时，於)=丁.又函数g(x)=|xcos(7tx)|,则函数〃(x)=g(x)—/(X)在—2>'上的零点个

数为()

A.5B.6C.7D.8

11.B［解析］本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破

口为根据函数的性质得到函数人x)的解析式，结合函数图象求解.

,A-x)=Xx),所以函数人力为偶函数,所以Xx)=m-x)=Xx-2),所以函数於)为周期

为2的周期函数，且./(0)=0,川)=1,而g(x)=|xcosg)|为偶函数，且g(0)==

=41)=0,在同一坐标系下作出两函数在［-右引上的图像，发现在［-；，|］内图像共有6

个公共点，则函数力(x)=g(x)-y(x)在［-3，|上的零点个数为6.

1

4

5

3

5

2

5一

1

143x

1。T31T

FZ_T1I

21.B9、E8［2012•陕西卷］设函数工(x)=/+E+c(〃£N+,b,c£R).

(1)设〃22,6=1,c=-1,证明：工(x)在区间6，1)内存在唯一零点；

(2)设〃=2,若对任意为，必可一1,1］，有%Qi)一力(处)|<4,求b的取值范围；

(3)在(1)的条件下，设％,是工(x)在6，1)内的零点，判断数列为，不，…，X”…的增减

性.

n

21.解：(1)6=1,c=-1,勿22时，fn(x)=x+x-1.

'•工削⑴心一步―工(X)在(；，1)内存在零点.

又当xeg1)时，/''"(x)=«%”"+1>0,

,•工(x)在6，1)上是单调递增的，「/(x)在(；，1)内存在唯一零点.

2

(2)当〃=2时，f2(x)=x+bx+c.

对任意小，冷£［-1」］都有加8)-力(M)|W4等价于无⑴在［-1,1］上的最大值与最小值之

差A/W4.据此分类讨论如下：

b

①当2>1>即网>2时，

“=依1）-/（-1）|=2网>4,与题设矛盾.

②当-IW-gO,即0<bW2时，

加=力（1）一力（一3=（g+l）2W4恒成立.

③当OW-^<1,即-2Wb<0时，

M="（_1）-小翡隹-1卜4恒成立.

综上可知，-2W6W2.

注：②，③也可合并证明如下：

用max｛a,力｝表示a,/>中的较大者.

当-IW-^WI,即-2W6W2时，

M=max出⑴，/（-1）｝-/（一乡

_£（T）+为⑴+以7）二力⑴I_小3

=1+c+\b\-^-^+c）

=（1+当）2・4恒成立.

（3）法一：设％,是工（x）在（；，1）内的唯一零点（〃22）.

工（X"）=x"+X”—1=0,工+i（x”,［）=x〃+］+X"7-1=0,X"*］。（2，l）'

于有工（X〃）一0~fn+1（X”♦1）-X"*1+/+I-1<甚*|++1—~fn（^n♦1），

又由（1）知/“（x）在（；，1）上是递增的，故为,<乂7（"22）,所以，数列M，*3，…，X”,…

是递增数列.

法二：设局，是工（x）在6，1）内的唯一零点，

启依乩7⑴=（落"+%-1）（1"7+1-1）

=x"*'+x„-l<x；；+x„-1=0,

则%T（x）的零点x”,i在（x..l）内,故X“<X"+1（〃22）,

所以，数列X2,X3,…，X”…是递增数列.

17.B5、B9［2012•浙江卷］设adR,若x>0时均有［（“一l）x-1］（—一以一1）20,贝ija=

3

17.|［解析］本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数

形结合和转化化归的数学思想.令刃=（。-1卜-1,及=/-办-1,则函数修=（。-1）1-1,

刃=/-ax-1都过定点尸（o,-1）.考查函数刃=（。-1卜-1,令y=o,得d/rp0）,同

时只有a-1>0即。>1时才有可能满足x€（0，+8）时，刈“20；

考查函数次=/-办-1，显然只有过点玲匕，0）时才能满足x£（0，+8）时，

为）220，代入得：（Ui）一黄T一1=°，可得（。-I）?+心-1）T=0,2.2-34=0解得a

=叔4=0,舍去4=0,得答案：a=1.

/

\yi=x2-ax-\

BIO函数模型及其应用

21.BIO[2012•上海卷]海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原

点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在

失事船正南方向12海里/处，如图1-4.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线丁=方

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发，小时后，失事船所在位置的

横坐标为7t.

(1)当f=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速

度的大小和方向；

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

y

/P

,4,

图1-4

712

21.解：(1)/=0.5时，尸的横坐标如="=],代入抛物线方程y二方口得尸的纵坐标

%=3.

由="要，得救援船速度的大小为4丽海里/时.

77」、7

由tanNCMP=而，得NONP=arctan4,故救援船速度的方向为北偏东arctan元弧度.

(2)设救磬船的时速为。海里,经过f小时追上失事船，此时位置为(7f,12』).

由“=叱71)2+(12*+12)，

整理得材=144卜+3|+337.

因为?^玄必，当且仅当f=l时等号成立.

所以斯2144X2+337=252,即。225.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.

18.BIO、B1LB12[2012•北京卷]已知函数次x)=af+i(a>o),g(x)=x3+bx.

(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求。，6的值；

(2)当时，求函数形)+g(x)的单调区间，并求其在区间(-8,—1]上的最大值.

18.解：(1)/(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.

因为曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，所以

一)=g⑴,且/(l)=g'⑴.

即。+1=1+b,且2〃=3+6,

解得a=3,b=3.

⑵记h(x)=fix)+g(x).当b=%时,

h(x)=x3+ar2+^a2x+1,

hf(x)=3x2+lax+^a2.

令〃'(x)=0,得“1=-*X2=一看.

V-6)

当一-1>即0<白<2时，

函数〃(%)在区间(-8,-1］上单调递增，〃(%)在区间(-8,-1］上的最大值为久-1)=

12

〃一产•

当发7,且爷f-

函数检)在区间(2，J)内单调递熠，在区间(J，-1上单调递减，贴)在区间(-

8,T］上的最大值为=1.

当-“-1,即心6时，函数〃(x)在区间(-8,内单调递增，在区间(一玄福)内

单调递减，在区间(4-1］上单调递增，

又因6(_彳)_力(-1)=1-a+；/

=^(a-2)2>0,

所以6(x)在区间(-8,-1］上的最大值为

代)=1.

22.BIO、B1EB12［2012•浙江卷］已知a>0,bSR,函数兀0=4赤3—2旅一。+6.

(1)证明:当04W1时,

⑴函数./)的最大值为|2a-b|+a；

(ii)/(x)+|2Q—6|+a20；

(2)若一对工£［0』］恒成立，求。+人的取值范围.

22.解：⑴(加(x)=12ax2-2b=12a(x2-^j.

当6<0时，有/(x)》0,此时/(x)在［0,+8)上单调递增.

当6>0时，/

此时危)在0,+8上单调递增.

3a-b,bW2a,

所以当OWxWl时，/(x)max=max伏0),/(I)}=max{-a+b,3a-b}=J

-a+b,b>2a

\2a-b\+a.

(ii)由于OWxWl,故

当bW2a时，

J(x}+\2a-h\+a=j{x)+3a-b=4ax3~2bx+2a^4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).

当b>2a时，

/(x)+\2a-b\+a=J[x)-a+b=4ax3+26(1-x)-2a>4c/x3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+

设8(》)=2?-入+1,0忘工忘1,则

于是

0

X0出1

A坐3

g'(X)—0+

蛉)1减极小值增1

所以，g(X)min=g^g)=1-竽>0.

所以当OWxWl.，2x3-2x+1>0.

故於)+|2Q~b\+a^2a(2x3-2x+1)^0.

(2)由⑴知，当OWxWl时，")皿x=|2o—〃+。，所以

\la-臼+QW1.

若[2〃-旬+oWl,则由②知

fix)^-(|2a-b\+a)^-1.

所以-1W/(x)Wl对任意00W1恒成立的充要条件是

J|2Q-〃+QW1,

U>0,

2a-bNO,2a-b<3

即《3。一旧,

或<b-aWT,③

°>0a>0.

在直角坐标系aOb中，③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段

BC.

b

2-

b=〃+l力

b=2a

b=3a-\

做一组平行线。+b=R),得

-1<6Z+bW3.

所以a+b的取值范围是(-1,3].

23.“数学史与不等式选讲”模块

已知〃GR,设关于x的不等式|2x—a+k+3]22x+4的解集为A.

(1)若。=1,求小

(2)若Z=R,求。的取值范围.

解：(1)当xW-3时，原不等式化为-3x-222r+4,综合得xW-3.

当-3<rwT时，原不等式化为-x+4N2x+4,综合得-3<xW0.

当时，原不等式为3x+222x+4,得x)2.

综上，N={x|xW0或x22}.

(2)当xW-2时,|2r-a|+|x+3|2022x+4成立.

Q—1

当了>一2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+322%+4,得x2a+l