不等式证明方法与技巧

关于不等式证明方法与技巧一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。两种形式①作差法：②作商法：几点说明①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；②作差法证题时,通常是进行因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断；③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。第2页,共33页，2024年2月25日，星期天第3页,共33页，2024年2月25日，星期天第4页,共33页，2024年2月25日，星期天第5页,共33页，2024年2月25日，星期天二、综合法利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这种证明方法称为综合法。1、定义2、证明思路综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直接推导出所要证的不等式。第6页,共33页，2024年2月25日，星期天已知a,b,c均为正数，证明下列不等式:第7页,共33页，2024年2月25日，星期天4、若a、b、c是不全相等得正数求证：lg＋lg＋lg

＞lga+lgb+lgc

第8页,共33页，2024年2月25日，星期天三、分析法1、定义从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方法叫做分析法。2、证明思路分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式的证明思路时是最有效的方法之一。第9页,共33页，2024年2月25日，星期天第10页,共33页，2024年2月25日，星期天典型练习证明方法一：比较法第11页,共33页，2024年2月25日，星期天证明方法二：综合法第12页,共33页，2024年2月25日，星期天证明方法三：分析法第13页,共33页，2024年2月25日，星期天

比较法（作商）分析法第14页,共33页，2024年2月25日，星期天

综合法分析综合法第15页,共33页，2024年2月25日，星期天四、换元法换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明显的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围。1、定义2、两种形式（1）三角换元对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．（2）增量代换在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。第16页,共33页，2024年2月25日，星期天增量代换典型例题增量代换第17页,共33页，2024年2月25日，星期天第18页,共33页，2024年2月25日，星期天练习:第19页,共33页，2024年2月25日，星期天是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出判别式所应满足的不等式，从而推出要证的不等式的方法.五、判别式法1、定义2、注意考虑二次项系数是否可以为零第20页,共33页，2024年2月25日，星期天第21页,共33页，2024年2月25日，星期天六、反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。1、定义2、证明思路反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．原结论词大于（>）小于（<）都是都不是至少n个至多n个反设词不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一个是至多n-1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意p，使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p，使…不成立第22页,共33页，2024年2月25日，星期天第23页,共33页，2024年2月25日，星期天七、放缩法1、定义欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小，借助一个(或多个)中间量C作比较，使得A≤C与C≤B同时成立，由不等式的传递性知A≤B显然成立，这种方法叫做放缩法。利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败。2、证明思路第24页,共33页，2024年2月25日，星期天提示：第25页,共33页，2024年2月25日，星期天放缩法第26页,共33页，2024年2月25日，星期天补充例题:第27页,共33页，2024年2月25日，星期天第28页,共33页，2024年2月25日，星期天第29页,共33页，2024年2月25日，星期天八、构造函数法(导数法）根据函数的单调性证明不等式的方法.1、定义2、证明思路（1）构造函数（2）探讨函数的单调性（3）利用单调性证明不等式第